江西省景德镇市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

景德镇市2024—2025学年度高二下学期期末质量检测卷

数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第（II）卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120

分钟.

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.若数列｛“J的前4项依次为20,11,2,-7,则数列｛见｝的一个通项公式为（）

M+,

A.an=（-l）x2wB.4〃=—9〃+29

C.an=9/?+11D,an=9〃-18

【答案】B

【详解】对于B,从前四项看，这是一个以20为首项，以-9为公差的等差数列，

由等差数列的通项公式有。”=-9〃+29,故B正确；

对干A,当〃=1时，4=2,这与条件不符，故A错误；

对干C,当〃=2时，生=29,这与条件不符，故C错误；

对于D,当〃=1时，％=-9,这与条件不符，故D错误.

故选:B.

2.一个物体沿直线运动，其位移S与时间，的关系为5（。=3/-2〃+5/+1,求物体在f=1秒时的瞬时速

度（）

A.7B.8C.9I）.10

【答案】D

【详解】因为5。）=3/一2?+5I+[,所以S'（I）=9/-4I+5,

则S'（1）=1O,

所以物体在/=1秒时的瞬时速度S'（l）=10.

故选：I）.

3、

3.已知数列的通项公式4,二一，/+3〃+.,则数列｛4｝的最大值是()

II

A.3B.2C.—I

4

【答案】C

【详解】因为q=-/+3〃+w，其对应的函数为二次函数y=-f+3x+a，

3

开口向下，对称轴x=—,又〃£N"，

2

所以〃=1或2时，/取得最大值，故数列｛%｝的最大值是4=%=｝

故诜：C.

4.已知函数y=/(x)的图象如图所示，则不等式尤广。)〈0的解集为()

A.(-l,0)U(2,5)B.(—1,2)U(5,一)

C.(9,0)U(2,5)D.(-oo,-DU(0,5)

【答案】A

【详解】由函数“X)的图象可得/'(">()的解集为(T,2)U(5,欣)，/'(x)<0的解集为

(-℃-1)D(2,5),

/、fx<0[x>0

“(力<。等价于伉力0或近“0，

所以-lvx<0或2</<5，

所以不等式号/'(“<0的解集为(T0)U(2,5).

故选：A.

5.在等差数列｛%｝中，若％o+4=—2,则其前20项和为（）

A.-20B.20C.-10D.10

【答案】A

【详解】Qq+%0=4o+4i=-2,

所以其前20项和Sa。-2°（*：&））--20.

故选:A.

6.景德镇"玲珑瓷"工匠在雕刻多层透光瓷孔时，采用元代数学家朱世杰《四元玉鉴》记载的“堆枳招差"

术，使每层瓷孔数形成等差数列.已知第三层有12个瓷孔，第七层有28个瓷孔，且总瓷孔数为312个，那

么这个玲珑骁共有（）层.

A.10B.12C.14【）.15

【答案】B

【详解】设每层瓷孔数形成等差教列为｛%｝,公差为d,

则%=12,%=28,所以%-%=4d=16,解得4=4,「.q=%-2d=12-8=4,

...S“=4〃+"（""x4=312,解得〃=12或一13（舍），

”2

所以这个玲珑瓷共有12层.

故选:B.

7.函数/（x）=xlnx+@在（0,+3c）上单调递增，则参数〃的取值范围（）

X

（1-B.18,-表

A.-oo,---

1e-J

c.（-T）（1­

"1-2火

【答案】D

..a

【详解】因为/（x）=xlnx+3,所以r（x）=Inx+1——-,

XX

由题,可得r（x）N0,对任意X£（0,~F8）,

对于A,B,结合已知得Ivavb,令日幻二£1,而g，(])=在不1二红牛12,

XX'x~

令g’(x)<0,XG(O,1),令g'(x)>o,xe(l,+oo),

e“

则g(x)在(0」)上单调递减，在(1,y)上单调递增，可得故A错误，B正确.

ab

故选：B

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列求导正确的是()

3

A.若/*)=ln(3x+l),则/'(工)=^--

3x+1

B.若/。)=可，则八x)=[+2T

x-\(x-1)

22]

C.若/(x)=4/---,则f'(x)=12厂H『

xx2、x

D.若/(x)=elcos2x,则(x)=-2crsin2x+evcos2x

【答案】ACD

【详解】对于A,若/(k=111(3》+1),则/(力=一)—.(34+1)'==一，故A正确；

。人I1。人I1

V21

对于B,若/(X)=上可，则

=(f+1)(1)-(1)(F+1)=2矣一])-卜2+])=1-2丁-1故B俨误

(I)?__Gv-1)2

22|

对于C,若/(工)=41---1-\fx,则f(x)=12x2\f~,故C正确;

对于D,若/(力=e'cos2x,则,=e'cos2x+e'(cos2.r)'=-2e'sin2x+e'cos2x»故D正确.

故选:ACD.

10.若等比数列｛%｝中，首项为6,公比为“，则下列条件中，使数列｛%｝一定为递减数列的条件是()

A.\q\<\B.4>0,qvl

C.«1>0,0<</<ID.a｝<0,^>I

【答案】CD

【详解】若9c0,则等比数列｛%｝是摆动数列；

若4=1,则等比数列｛4｝是常数列；

当0(q且4工］时，由=。闻"一2(4_1)

对于A,若冏<1,当夕<0时，则等比数列｛〃”｝是摆动数列，故A错误；

对干B,若4>0国<1,当4<。时，则等比数列｛&｝是摆动数列，故B错误；

对干C,当4>0,。<9<1时，《一可7=44"2(夕一［)<(),即凡</T，等比数列｛q｝是递减数列，故

C正确；

对干D,当0<0应>1时，。“一外1=。©1._］)<0,即可<4一，等比数列｛q｝是递减数列，故D

正确.

故选：CD.

11.已知函数氏。)=(1一1)(1-2)(4-3)...。一口,左£2，其导函数为耳(4),则下列说法正确的是

()

A.函数y=£(x)有三个零点B.函数>=居(X)的图象关于(2,0)对称

C.若k>2,则耳⑴+(k一1)&'(2)=0D.若攵=2〃,〃£N",则号——=0

【答案】BCD

【详解】对于A,由题意可知鸟(x)=(x—1)(无一2)(比一3)=f—6/+11元—6,

则居'(x)=3f—12x+ll为二次函数，不可能有3个零点，故A错误；

对干B,由7^(4-x)=(4-x-l)(4-x-2)(4-x-3)

=(3-x)(2-x)(l-x)=-(x-l)(x-2)(x-3)=-/^(x),所以函数用(力的图象关于(2,0)对称,故B

正确;

对于C若k>2,则斤(%)=(/-1)[(X-2)(X-3)---(X-^)]+(X-1)[(X-2)(X-3)---(X-/:)]

=[(%一2)(工一3户.(工一女)]+"-1)[(工一2)(工一3>..(工-%)],

耳⑴=(1-2)(1-3)…(1-左)=(-1)(-2)..41-左),

同理，&'(X)=(X-2)'[(X-1)(X-3〉・.(X-A)]+(X—2)[(X—1)(X-3)・・・(X—Z)]

=(X-1)(X-3)---(X-Z:)4-(X-2)[(X-1)(X-3)---(X-Z:)],

••・瓜(2)=(-1)(一2)…(2-2)，

所以及⑴+。-1)岑(2)=(-1)(-2)…(1-川+。-1)(-1)(-2)・・(2-2)

=(-1)(-2)…1)(-2)・・・(2-1)(1-1)=0,故C正确;

对于D,若k=2n,6〃(2〃+l-x)=(2〃-x)(2〃-l-x)(2〃-2-x)...(l-x)

=(X-2/7)[X-(2M-1)][X-(2ZI-2)]---(X-1)=

所以函数入〃(x)的图象关于直线方=号4，即工=早时称，且此函数在对称轴处有意义且可导，

即与“(X)在x=*时取至I」极值，则必有凡'(*)=0,故D正确.

故选:BCD.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知函数/*)=x+sinx,则lim"")-八°)=__.

AsOAx

【答案】2

【详解】由/'(x)=l+cosx,

(竺必叽八。

ADAXV7

故答案为：2.

13.已知数列｛4｝的前〃项和S“，且满足S“+2〃〃二〃-1,〃£此，则勺=____.

2

【答案】i-(-r'

【详解】令〃=1,得到£+2%=1-1=0,解得4=0,

因为S”+2%=〃-1,所以S.二〃一1一2勺，

当〃之2时，5n,,=7?-1-1-2an_｝=n-2-2an_i,

贝IS〃一S”T=〃-1-2an-(/i-2-2c%),

得到an=2%-2〃“+1,即3〃“=2%+1,

212

故q,二1a,I+g，设/+X=§(《I+x)，

2221

则知+X=5〃〃T+§X，即%=-4"一§工，

得到一:X=(,解得X--1,故%-1=4(%_1-1)，

JJJ

2

而4-1二一1工0,则｛勺一1｝是公比为§的等比数列，且首项为4一1二一1,

22

可得q—l=—lx(§尸，故氏=1_(1)〃T.

2

故答案为：l-(-)n-'

14.若曲线)=lnx与曲线)，=/-女有公切线，则实数%的最大值为.

【答案】-+-In2#ft-ln2+-

2222

【详解】令)，=g(x)=lnx,则g'(x)=L,^y=h(x)=x2_kf则〃(x)=2x,

设在曲线y=\nx上的切点为(为』n』)，则切线斜率为g'($)二—,

x\

在曲线y二V一左上的切点为(W，£-k),切线斜率为h\x2)=lx2,

所以切线方程分别为y-ln玉=’(工一玉)、y-x^+k=2x2Cx-x2),

即y=_x+lnx「l、y=2x2x-x；-k,

x\

」=2居

有<玉2,整理得2=由2%2-考+1，

In-1=-x：—k

ii7r2

设f(x)=ln2x_x2+l(x>0),则f\x)-__2x~———，

XX

令r（x）＞0n0＜x＜乎，令r（x）＜onx＞¥，

故函数/（用在上单调递漕，在（二,+00）上单调递减,

则在（0,18）上/（©皿--In—=-+-1112>如图,

2222

故答案为：—I—In2

22

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步保.

15.已知函数/（幻=屁'-1

（1）求/（%）在点（0,7（0））处的切线方程;

（2）求/0）的极值.

【答案】⑴大一^一1=0

（2）极小值为----1；无极大值

【小问1详解】

因f(x)=xeK-1,所以/'(x)=e、+xe",

由导数的几何意义得切线斜率为/(0)=1,

由题意得/(0)=-1,则切点为(0,-1),

可得切线方程为、=丫-1,即x-y—1=O.

【小问2详解】

由上问得f\x)=ev+xe"=e'(l+x),

令r(X)<0,XG(-00,-1),令广(X)>0,X€(-l,+oO),

则/(x)在上单调递减，在(-1,*。)上单调递增，

故、「。)的极小值为/(-I)=-e-'-l=---l,无极大值.

e

16.已知等比数列｛(｝首项为2,且一8q,%,%成等差数列.

(1)求｛凡｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝是递增数列，且为也=明求数列｛2｝的前〃项和S”.

【答案】(1)当4=2时，勺=2"；当“=-2时，/=(—1)-2〃

(2)S“=2-2~-〃2”

【小问1详解】

设等比数列｛%｝的公比为V,由q=2,则〃3=。4=2/,%=a"=2q',

由-84外,%为等差数列，则2a3=+/，即4〃=-16+2",

化简可得(^一暇夕2+2)=0,解得^=4,则4=±2,

n'，，-，,r

当q=2时，/=qq"T=2"；当q=-2时，an=axq~=(-1)-2.

【小问2详解】

由数列｛可｝为递增数列，则夕=2,即。“二2",由则勿=〃-2-〃，

所以S”=仄+b2+b3+...+bn=1x2"+2x23+3x2-3+2一”

等式两边乘2T可得2一位〃=lx2-2+2x2-3+3x2T+…+,

2-,(l-2-n)

两式相减可得2Ts“=2-1+2-2+2-3+...+2~n-n•2一=1一2一"一〃N-t，

1一2T-

所以S〃=2-2»〃―〃・2-〃.

17.已知函数/(x)=ailnx+l

(1)讨论函数/(x)的单调性;

(2)若/(2x)N0恒成立，求参数。的取值范围.

【答案】(1)答案见详解

(2)[0,e]

【小问1详解】

当〃=0时，，/(x)=l,无单调性；

当刈工0时,由r(x)=a(l+ln工)，XG(0,+OO),

若〃〉0,令/'(x)>0,得x>l,令/'(x)v0,得0<x<1,

ee

即f(R)在(0,1)上单调递减，在(5+8)上单调递增，

若〃<0,令/'(x)>0,得0<戈<!，令/'(x)v0,得X>1,

ee

即/(/)在上单调递减，在(0，，)上单调递增,

综上，当4=0时，/(力无单调性；

当心0时，/(X)在(咱上单调递减，在g,+8)上单调递增;

当〃<0时，”X)在(：,+8、上单调递减，在(0，!)上单调递增.

【小问2详解】

/(2力20恒成立等价于之。恒成立,

由(1),当4=0时，/(x)=l>0,符合题意:

当心0时，"X)在(oj上单调递减，在(“8卜单调递增，故/(x)”g)=-?+l,

只需一州+120,解得0<QWe，

e

当4<0时，/(X)在上单调递减，在(0,3)上单调递增，

当H->+8时，inxf+8,则adnxfYo,即不合题意.

综上，。的取值范围为[0,e].

18.数列｛4｝的前〃项和工吗=e2,eZe—e",4=e2*2

(1)证明：数列｛*■｝是等差数列；

(2)若2=*'设数列卜的前〃项和为I,证明：T

11

ebn\2

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【小问1详解】

因e"*y"%=e2H+2,且e”.en+,0，

所以两边同除e〃•e向可得索-2二e,

ee

则数列之是公差为。的等差数列.

e

【小问2详解】

由上问结合已知得幺=Z=e,数列*｝是公差为e的等差数歹ij,

eee

ci〃11

则-^=©+©(〃-l)二e〃，故〃〃=e〃xe",因为"二3，所以“=〃，—

ee%〃

而鼠।一〃+1,则久讨一勾-1,故数列出｝是公差为1的等差数列,

则数列低｝的前〃项和为彗D=dp,设数列•:，的前〃项和为g,

222

八,.TEn+3nn+nn+3n门口、〒/

秋证T”<-------,则证------+c<-------,即证q,«〃即可，

“22t>2

而Ca=1H---1•…H—,因为〃21,所以一41,

2nn

n~+3〃

则c.W〃得证，故得证.

2

19.设函数f(x)=e*+asinx.

(1)证明：当。=一2时，/'(X)在区间(-几兀)内存在唯一极小值点：

(2)当。二一1时，/(X)之灰+1在［0,+8)上恒成立，求实数6的取值范围；

(3)若。>0,/。)在［0,+x>)上存在零点，求实数。取值范围.

【答案】(1)证明见解析

⑵口,0］

■把、

(3)aeyf2e4,+8

./

【小问1详解】

证明：当〃=—2时，/(x)=e'-2sinx,则/'(x)=e'-2cosx,

①当x£((),兀)时，y=e\y=-2cosx单调递增，

所以尸(x)=e-2cosx在(0,兀)单调递增，又八0)=1-2=-1,坦)=—>0,

所以存在玉使得/'(3)=0,

当工€(0,5)时，f\x)<0,即/.(X)在(0,%)上单调递减，

当上武不兀)时，f(x)>0,即/(x)在(与兀)上单调递增，即4为73的极小值点;

②当工£(一兀,一2)时，因为e'〉0,-2cosx>0,所以/'(x)=e'—2cosx>0,

所以/（X）在卜兀,一］单调递增,

③当xw设g(x)=/'(x)=e'-2COS.E,则g'(x)=e'+2sinx,

/\

因为y=e'),=2sinx在一?,0单调递增，

所以g'(x)=e'+2sinx(-],())单调递增，又/(一次二e万一2v0,g'(0)=l>0,

所以存在〃?€-*0使得g'O）=0,

兀、（71\

当工£1一万叫时，g'（x）vO,则g（x）在［-5,加J上单调递减,

当工£（皿0）时，g'（K）>0,则g（x）在（私0）上单调递增，

--兀（兀）一上

又目（——）=e2>0,^（0）=1-2=-1<0,g（—）=e3-2cos—=e3-1<0,

23\3J

所以存在々E—，使得且（工2）=/'（%2）=°，

I，3）

TT/TT

~~>x2时，八天2）>0,则/（x）在［一5,工2上单调递增,

I乙）、乙）

当j«W，0）时,/"。2）<0,则/“）在（W，。）上单调递减，

综上所述，当xw（一兀,七），/"）单调递增，

当X£（W，X）,单调递减，

当M£（N，7T）,/（X）单调递增，

所以/（X）在区间（-兀,兀）内存在唯一极小值点.

【小问2详解】

当〃二一1时，f（x）=ex-sinx,

所以/（x）之Zzx+1在［0,+8）上恒成立，转化为e'—^v—sinx-120在［0,+c0）上恒成立,

令h(x)=eA--sinx—1,则/?'(工)=e'-b-cosx,

若040,则/z'。)20在[0,+8)上恒成立，则〃(x)在|0,+8)上单调递增,

所以版x)N〃(0)=0,符合题意;

若b>0,令〃?(x)=ev-b-cosx,则m(x)=ev+sinxN。在［0,+8)上恒成立,

所以〃?(x)在[0,y)上单调递增，/n(0)=-Z?<0,当工一内时，〃z(x)f+co,

所以m%€(0,~F8),使得根(2))二。，

当M€(0,x°)时，h\x)<0,则力")在(0,天)上单调递减，

当x«%,+oo)时,h\x)>0,则/z(x)在(如+X))上单调递增,

所以/?(%)<〃(0)=0,不合题意；

综上所述，实数〃的取值范围是(F,0].

【小问3详解】

因为f(x)=e、+asinx,大£[0,”)，令/*)