江苏省泰州市2024-2025学年高一年级下册期末调研测试数学试卷（含答案解析）

江苏省泰州市2024-2025学年高一下学期期末调研测试数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

I.已知向量屋二（4,2）,6二（8/）,若//后，则实数，的值为（）

A.16B.4C.-4D.-16

2.某工厂6月份生产人民。三种产品的数量比为5:4:3,现用分层抽样的方法抽取一个容

量为〃的样本，若样本中A产品的数量为600,贝何的值为（）

A.1200B.1440C.1800D.2400

3.已知复数Z1/2在复平面内所对应的点分别为和（0,1）,则3=（）

A.JSiB.>/3+1C.—5/3—1D.—♦i

4.已知事件A和事件8独立，若尸Q）二P（8）=0.3,则P（4+8）=（）

A.0.21B.0.51C.0.79D.0.91

5.已知平而。和不重合的两条直线〃?，〃，则下列说法正确的是（）

A.若fw_LIIor,贝_La

B.若/〃」_〃,/〃」_cr,则“IIa

C.若mIIn,m]]a,则〃Ha

D.若〃7n则〃_La

.-I

6.已知函数Ax）;sinx-•、i3co&r,/”,J-,x0G（0,n）,则sinq的值为（）

A3>/5I口Vl5-I「屈7n3@\

888g

7.已知一个圆锥型容器的底面直径与母线长相等，若容器壁和底的厚度不计，该容器内部

所能容纳的最大球的体积为36兀，则该圆锥的侧面积为（）

A.36兀B.45兀C.54兀D.637r

8.已知V44c的内角儿用C的对边分别为4也C.若“'<-，•Wcsinl则

的面积为（）

试卷第I页，共4页

二、多选题

9.设元是z的共粕复数，则下列说法正确的有（）

A.z-3是纯虚数B.z+3是实数

C.法是实数D.^-z\<2同

10.已知M（、「uui\.b若“叩,竹则（

A.O+/>|=2B.5・司・2

..41.a

C.cos（cr-^）=—D.在J上的投影向量为5

11.半径为1的球。,完全在半径为R（R>1）的球。的内部，且两球球面有唯一的公共点P,

球。表面上三点48,C确定的平面与球Q相切，若P4=3,±PAB=上PAC

4

cos上'X8・；・则（：

A.。,0,,尸三点共线

B.*=萍

C.直线与平面/1BC所成角小于7

D.三棱锥P-/18C的体积为丫

三、填空题

12.已知一组数据。+1,。+2,。+3,“+4,a+5,则这组数据的方差为.

13.已知四棱锥尸的底面为平行四边形，过点A的平面a与棱尸艮尸。,尸。分别交于

E,EG.若三棱锥八力G尸的体积是三棱锥尸-EG尸体积的二倍，则普的值为.

14.连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6）,

记录抛掷结果向上的点数.设事件A:第一次点数为1,事件8：两次点数之和为

/（/GN\2</<12）,若事件A与事件8互斥，贝M的最小值为：若事件A与事件8

相互独立，则/的值为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)整理后画出的频

率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题:

檄率潮巨

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

------------------------->

-O39.549.559.569.579.589.599.5成绩/分

(1)[79.5,89.5)这一组的频率和频数分别为多少？

(2)估计该次环保知识竞赛的及格率(60分以上为及格):

(3)估计这组数据的80百分位数.

16.已知Linfa求下列各式的值.

(1)tana;

14-sm2a

(21-、、

1.sm2zz4cosl/z

17.如图,已知力8=2,CD=4,7尸;力的夹角为三.

(怵7%一外+升,C/j+C/j+D：。)-的值；

(2)若线段40,8。的中点分别为「。,尸月♦“7)

<i)求实数x,y的值；

(ii)求线段产。的长.

18.如图，在长方体48CD-小山G3中，点P在平面4&G3内，必是棱C。上一点(不

包括端点)，的中点为E,PA=PMJB=PC.

试卷第3页，共4页

《江苏省泰州市2024-2025学年高一下学期期末调研测试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BBACDACBBCDAD

题号11

答案ACD

1.B

【分析】根据向量平行的坐标表示可求/

【详解】・.・方/4,：4/-16=0-*/=4.

故选：B.

2.B

【分析】利用各层数量比可得答案.

[in600,解得〃=1440.

故选：B.

3.A

【分析】根据复数的几何意义，可得然后利用复:数的乘法、除法运算可求.

【详解】因为复数在复平面内所对应的点分别为(1八月)和(0,1),

所以二二I+、工二二1,

川五・史叵■色型L―L6.

力i।-I

故选：A.

4.C

【分析】根据独立事件的概率公式计算尸(IB),再利用概率的加法公式即可.

【详解】由题意可得，P[AB]=P(J)PP(4)[1PP)]-0.3K()-03>021,

则依/♦月)=片/)♦个刁-(狗=03+07-021=071

故选：C

5.D

【分析】根据平面的基本性质，结合空间线线、线面位置关系判断各项正误.

【详解】对A：若帆_Ln,mIIa,则〃JLct或〃Ha,或〃l。或〃与a相交，错误:

答案第I页，共13页

对B：若〃?a,则〃I【a或〃ua,错误；

对C：若mII"，mIIQ,则〃Ha或〃Ua,错误;

对D：若加II〃,"?_La,则〃_La,正确.

故选：D

6.A

【分析】根据给定条件,利用辅助角公式及和角的正弦公式求解即得.

[ittfl函数-瓜o®r*2*n（x-；）由/（%）=-；,得前24-：）=-；＜。

x,穴"、",穴八、xvTs

由飞£（0㈤，得1一;£（-..丁「则1-二♦（一鼻」）），COS（X

436Ji0S4

所以siiu”=刈山/-：)+y]=sm(x0-jkos*coMx0-j)sin:

1IG375-1

=—x*.x——■..

4541X

故选：A

7.C

【分析】设圆锥底面半径、球的半径和表示相关参数，利用相似三角形建立关系，根据球体

积公式计和球的半径，代入圆锥底面半径和母线长，最后利用圆锥侧面积公式求解即可.

【详解】设圆锥底面半径为〃，圆锥高为〃，底面直径与母线长相等，则母线长/=2-，

再设圆锥内部所能容纳的最大球的半径为R,

根据勾股定理.h=v/-r=^（2r）'-r=、'，/•1

画出圆锥的轴截面，此时圆锥的轴截面是一个等边三角形，其内部的最大圆是该等边三角形

的内切圆，根据轴截面的相似三角形关系得：

I_

RrR=r=c

,Lj,即-FToi*2R=^＞一人，「■，

h-R/J3r-R2r2

己知球的体积为36兀，则:瓶=3M,解得*=27,R=3,

所以r-瓜Sl-1r

根据圆锥的侧面积公式，该圆锥的侧面积为灯/=x,3、阡•gQ=5E

故选：C.

答案第2页，共13页

8.B

【分析】由正弦定理得sinC=2csin4,求出cosC和sinC,利用余弦定理和题目条件得到

方程组，计算出。和力即可求解.

1

【详解】因为一三=一£/，所以」__。，

A<inC———：一二

<inAKinC

所以sinC=2csinA，因为cosC=csinA>0,

所以2cosc=sinC,所以4cos'C=1-cos*C,

因为cosC>0,所以CO5（=?',

5

所以VnC=2^,因为u・2cos8・cc»S=a

5lac

所以）J-"［所以/=/」，

C=2•--------------9

将代入上式得』+,解得〃=双5负值舍去），

242510

所以。=且©（负值舍去），所以$=—aAsinf'--x—xx.

522210520

故选：D.

9.BCD

【分析】复数z=a+bi（a,方£R）,贝归二a-历，再利用复数的概念，四则运算及模长公式逐

项验证即可.

［详解】设复数z=a+bi（a,bGR）,则z=a-bit

所以z-z=2bi,当/）=0时，z-z-=2〃i=0为实数，故A错误：

z-z-=2a£R,故B正确；

答案第3页，共13页

zz-(T-+/r£R,故C正确:

—同训，n：-2|</-6i|-2v'7-iT>2V'F=|^|.

所以P-z次2目,故D正确；

故选：BCD.

10.AD

AS

【分析】根据向量线性运算及相等的条件可得，再利用三角恒等变形可得g、(a-").：，

继而可判断各项.

【.斛】，，-(川3),，卜+4|・475・2.故A正确;

\a+Z>"=(cosorcossina+sinp)=(1、'』

，，'

cosa4\I5CDS3=I8s'aCeos'8・2£cosaa»I

H-即｛,，尸

sina-V2&m8=sin，a-2sitr8+2Ssrnasin8=3

相加得♦«(cosacmB^sinasn3)«♦瓜("B)=4,

解得cc、(a阴二I"，

•;d-b=(cosacosd,sina-72sin0.

；.|ii-fr|=J(coscr-Ceos")+giner-6M3)

-J3・2&8s(a-6)・6.故BC错误：

•「(a-£)a=o-aA=1-<5(coascos9^sinasin6)

*I-&cos(a

\£«叫1》I-

a-b在f上的投影向量为K-Ncos(n-，

丁•故D正时

故选：AD.

11.ACD

【分析】由题易知两球有唯•公切线/即可判断A选项，根据人民。确定的平面与球。9相

切，可得尸。1J_平面48C，尸。1=2,接着可得到V/8C外接圆半径为广，利用正弦定理可

求8c•得到B选项，上产力。就是直线/"与平面力8c•所成角，得到正弦值比较即可判断C

答案第4页，共13页

选项；由V/8C外接圆半径为「及尸。1=2,可计算P8/C,再得到48,力。，然后利用体积

公式可算体积.

【详解】

因为两球球面有唯一的公共点P，所以它们有唯一公切线/,所以。,。,4三点共线，故A

正确：

设V48。外接圆半径为广，外心为。…又。确定的平面与球O,相切,

所以产。1_L平而POf=2,r二石,

41

在V48C,cos上「।"-g，则sin±(AB=,

.—=2r—BC=245*—=,故B错误：

&inZ.RAC55

因为POi±平面/8c,所以上HO1就是直线P/1与平面18。所成角，

pn?JV

sin上24。一一(、；故C正确；

1PA?2

又。s=qr=，=A,所以PB=IC==3,

又上PAB=±PAC=+、所以AP48JP4C为直角三角形,

则AB35/2•S,.■sinZfi/IC,卜3£x3瓜%].

i177iv

J]出=PO、故D正确；

故选：ACD.

12.2

【分析】求出这组数据的平均数，利用方差公式可得答案.

【详解】这组数据的平均数为QQI"2”"：34”一.‘…3.

则这组数据的方差为

答案第5页，共13页

s2—+1-a-3y+(a+2-a-3)+(a+3-a-3)+(a+4-a-3)+(a+5-a-3)-]=2.

故答案为：2.

33PE

【分析】由题可得力8//平面尸产G,即1；一.“「“,，然后即可得方

的值.

【详解】

因为底面为平行四边形，所以48〃。。，

又/18丈平面PC。，COl平面PC。，

所以彳8//平面PC。，即48//平面PFG,

所以/3=几1，"号:皿=＞，》，•

所以点B到平而PR7的距离是点£到平面尸产G距离的

0nPB3^.PE2

故答案为：

14.87

【分析】根据互斥事件和独立事件的概念可解.

【详解】因为事件A与事件8互斥，所以它们不能同时发生,

所以两次点数之和为至少为8,才能保证第一次点数不为1,

所以/的最小值为8：

因为事件A与事件8相互独立，所以。（48）=P（A）P⑻,

当8WY12时，第一次点数不可能为1,此时P（”）=0,

当24Y7时,尸（/8）=5.乂〃（/）=?.所以『（町="

答案第6页，共13页

IIII5I

又f=2,3,4,5,6,7时，对应概率分别为二T7-工，

inInIJ.WSnn

所以,的值为7.

故答案为：8,7.

15.（1）频率为0.25,频数为15：

（2）75%

⑶*35

【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据即可求解，

（2）根据图中数据即可求解频率得解，

（3）根据百分位数的计算即可求解.

【详解】（1）频率为0.025X10=0.25,频数为0.025X10x60=15；

（2）及格率为1-0.01xI0-0.0I5X10=75%；

（3）因为数据落在［39.5,79.5）的频率为0.7,

数据落在［79.5,89.5）的频率为0.25.

设这组数据的80百分位数为x,

所以［79.5,89.5）,

所以了:月,故x=83.5,

ROS-T01>

即这组数据的80百分位数为83.5.

16.（1）tana=2

（2百

【分析】（I）直接使用两角差的正切公式展开已知等式后计算即可;

（2）方法一：使用二倍角公式化简所求式子后弦化切，代入正切值即可：方法二：根据正

切值，结合同角三角函数关系式，先算出正弦值和余弦值，然后代入所求式子.

【详解】（I）因为■（"-：）=；，

tan<rtan

Una-I

所以

1♦Uincr3

I4ijmaUn

所以tana=2.

（2）方法一:

答案第7页，共13页

1♦sin2a(sina+cosaF(sina+cosaf

因为I♦cos2a-sin2a

I+(2cos2a-1)-»-Zsinacosa2cga-2sinacosa

分母不能为0，故cos。W0,

所以(sinrz+cosa)2(tana+l):_3

7cx•"♦?vinf/r(K/r74

:

印2a<uncr*l)3

+cm2a*”n2a2♦2tanor

方法二:

由tana=2>0得角a的终边在第一象限或第三象限,

(i)当角。的终边在第一象限时,

275

sma、sana■5-

tana»--------*2

全由cosa得'石

sui*a*cos*aICOS"■T

所以sin2a=2smacosa=；8s%=2cos%-l=一(

1+

I♦sm2a3

所以

I♦cm2。♦，而2a3

(ii)当角。的终边在第三象限时,

?、:

t-ina--2,.

由，cost/得

、■:a♦cos;a»I

OHfZ■

5

所以sink=2sinacosa=:,cos2a=2cos%-1="^

I♦sin2a3

所以

I♦cm2"r，n2a3

-h、4+smla3

综上明述，।、、-

1.cos2a.sinZrz2

17.(1)-28

⑵⑴X=-.J'=-y：II'

【分析】(I)根据向量的线性运算可得即可根据数量积的运算律求

解

答案第8页，共13页

(2)G)方法一：根据/>()PA^\B-W.PQPD+【X-(0,即可根据相反向量化简求

解：方法二：连接8力，利用中位线的性质求解，Gi)根据模长公式即可求解.

【详解】⑴因为7•813:+/"八.2；：+270~：+。-，.1%1

=5r.(JB+CD)+D)=(Bd+D.j).8+C6),

UHMIft^lIXA1Uill1——z———L

由/月+放\「/)+八/=0得*DA--^4B^CDj,

■,■■)111,1111)>■■>™，1)■■,1'>1)

所以4B.BC+BC.CD+CD.DA+DA.AB=—(AB+CD)2

®.(/启.CT/+lAB'CD^=-(2*♦4'*»-2x2x4xcos60)■-281

(2)G)方法一：

因为丽1PA+AB+B^PQ=PD+DC+6^7

因为力。.AC的中点分别为P.Q,

所以2夕0工必+/&*/6。+〃力+以，00・RA.Pb卜.勿♦.

»iw=ij/i--c/5.

22

由P0-xAB+yC/j,JB，。八不共线就'r----

22

方法二：

连结8。，取4。的中点/“，

则PQ=p\i♦,底=1,而1ix,.

22

£K二泼丁+看必78T36不共线露」1.

所以/x?=pa=G

18.(1)证明见解析

答案第9页，共13页

(2)证明见解析

【分析】(1)根据线面平行的判定可证4。II平面「8C；

(2)根据线面垂直的判定可证8C_L平面/〉£/、继而可得PEJ_8C；

<3)由(2)知上巴方就是二面角。一8C一彳的平面角，过E作EN_L48,垂足为N,连

结PN,继而可证上尸NE为二面角产一48一历的平面角，即上二上/八£=?,再利用四

棱锥PTBCM的体枳为:，可得力小的长.

4

【详解】⑴在长方体/BCD—4与G2中，

所以四边形48。为矩形，所以力。IIBC,

又因为AD丈平面P8C,3cL平面尸5c,

所以力。II平面P8C.

(2)取8C的中点b,连接跖，尸尸，

因为£为4W的中点，所以EFIIAB,

因为48J.4C,所以EFJ_BC,因为P8=PC*为8c的中点，所以PFJL8C,

因为EF,PFu平面PEREFCPF=F,所以8C_L平面PM，

因为PEL平面尸石尸，所以BC_LPE.

(3)因为二面角。一8C—4的大小为三，

0E

由(2)可知上巴法为二面角P—8C—4的平面角，所以上。卜£所以尸£=耳,

过E作EN_L/I8,垂足为N,连结PN,因为产力二为4W的中点,

所以尸因为8C_L平面必下,PEL平面尸£尸，

所以PE_LBC,因为8C,/M/相交，且8C4MU平面//CQ,

所以PEJL平面/8CO,因为/8T面48。，所以PE_L4B.

答案第10页，共13页

因为PE,ENU平面尸EN,P£nEN=E,所以J_平面PNE,

因为PNu平面PEN,所以PN_L/4,

-PE

所以上PNE为二面角尸一AB—M的平面角，即上P'E=-,所以£、'=,

2PF

因为E为417的中点，所以反「W，

1।I1pic41「七3

所以％=；/£=§•耳.西产£=[,

所以尸月=：,因为尸£_!_平面/8C。，点P在平面4与GA内，

所以PE为平面ABCD与平面的距离，故PE=幺4,

所以44=；.

19.(I)(i)0：Gi)3

【什机】II'由（2/〃,8。）向）〃可得答案；5）方法一：由

3初4/B：利用基本不等式得coMN立，再由a的范围可

[1AD+B15)B6.0得ccw/4=

44D.4/)

得答案；方法二：谀上BDC=&AD;x,由正弦定理得2cos6kin（e—访二sina,再利用弦

花切由"二黑二再利用基本不等式可得答案;

（2）设彳。=工,48=歹方。=用，由正弦定理得sin上4ZM=sin上4OC,由余弦定理得

COU.X?,求出斤=立6.y=,再由余弦的二倍角公式可得答案.

2xy2

【详解】（1）G）因为上）*=：，（力=27万，

.

所以（2/力♦8/5）60■（IX\BDJBD»BCB6»0.

(ii)方法一：

[h(2AD^BD)BD^Q对(3/0-AB\\AD=0.

即0=3心+/那-4石•布

=3AD2+AB2—4AD.ABcosA,

所以czl