空间直线、平面的垂直-2026高三一轮复习讲与练

7.4空间直线、平面的垂直

冢

1

1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.

2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用.

陛备知识回顾自主学习•甚啾回扣

教材回扣©

i.直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线/与平面。内的任意一条直线都垂直,我们就说直线/与平面

。互相垂直，记作/_La.

(2)判定定理与性质定理

项目文字语言图形语言符号语言

mUa

如果一条直线与一个

〃Ua

判定平面内的两条相交克mn=P

定理线垂直，那么该直线I±m

与此平面垂直/_L〃

=>/±a

性质垂宜于同一个平面的

定理两条直线平行

a//b

(3)直线和平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的见邀所成的角，叫做这条直线和这个平面所成

的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角是，；一条直线和平面平行，或在平面内，它们

2

所成的角是。.

n兀

②范围：L'zJ.

2.平面与平面垂直

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任

取一点。，以点。为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线0A和OB,则射线CM

和OB构成的叫做二面成的平面角,二面角的平面角的取值范围是HLU1W.

(2)判定定理与性质定理

项目文字语言图形语言符号语言

如果一个平面过另一

判定►

个平面的垂线,那么h

定理a

这两个平面垂直

aU

两个平面垂直，如果a_L8

一个平面内有一直线anF=a

性质A

垂直于这两个平面的

定理

支线，那么这条直线力17IUB

与另一个平面垂直=>l_i_a

3.空间距离

(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这

个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的蛇遹W.

(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的

距禽，叫做这条直线到这个平面的距离;

(3)两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一

个平面的距离都龙隹，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

4.垂直、平行关系的相互转化

T士欣

教材拓展

1.三垂线定理

若平面内的一条直线和平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂

直.

2.三垂线定理的逆定理

若平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.

基础检测

Q------

1.判断(正确的画“善'，错误的画“X”)

(1)若直线/与平面a内的两条直线都垂直，则/_La.(X)

(2)若直线a_La,b_La,则a〃6.(7)

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(x)

(4)若a_LA则a〃a.(x)

2.(人教A版必修第二册P151例3改编)已知直线。，力和平面a,若a〃a,则*_La”

是“，6(”的(B)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：必要性：若则存在直线/〃ua,a//m,由于方J_a,mua,得bL〃，因为b

±w,a//m,所以力J_〃，必要性成立；充分性：如图，若平面48c'。为平面a,直线4囱为

直线明直线81cl为直线5,满足“〃a,bLa,但平面力BCD,即力〃出充分性不成

立.所以*"La"是"_La”的必要不充分条件.故选B.

3.（人数A版必修第二册P158例7改编）如图，以垂直于矩形/18CO所在的平面，则

图中与平面PCQ垂直的平面是（C）

A.T:iEABCD

C.平面以。D.平面PAB

解析：因为R1_L平面/4CQ,CDu平面ABCD,所以Ri_LCQ,由四边形/也C。为矩形

得CO_L4O,因为玄0%。=力，所以CQ_L平面R1D又COu平面PC0,所以平面尸。。_1平

面口。.故选C.

4.（人教A版必修第二册P162练习T1改编）已知直线a,b,/和平面a,则下列命题

正确的是（B）

A.若a〃b,a"a,则。〃a

B.若a〃b,a《a,bta,a//a»则8〃a

C.若/_La,1工b,aua,bua,贝！J/J_a

D.若a_Lb,a.La,则/）〃a

解析：若。〃b,a//a,则可能Z）ua,所以A错误；若。〃儿aCa,b（Ha,alia,则力〃

a,所以B正确；若/_La,/_Lb,qua,bua,当〃〃力时，/与a不一定垂直，所以C错误；

若“_1_儿ala,则可能力ua,所以D错误.故选B.

直键能力

提升互动探究考点精讲「

考点1直线与平面垂直的判定与性质

【例1】如图，在三棱柱/JBC-4SG中，点囱在底面力8C内的射影恰好是点C.

（1）若。是4C的中点，RDA=DB,求证：J51CC1：

（2）已知51c=2,81c=23,求△8CG的周长.

(2)求证：力NJ_平面PBM；

(3)若力。，尸8,垂足为。，求证：NQLPB.

解：(1)・.18为OC的直径,

又4"=8M=2,

8M=2,

2

又以垂直于。O所在的平面，PA=2,

114

・'・1/P-4RM=S/\ARMPA=X2X2=,

333

・.・。为PB的中点，

・r/_lrz_14_2

•・VQ-ABM=八Vp-ABM='：＜、=、.

〜2233

(2)证明：由(I)知力历_LBM.

又以J_平面ABM,8Mu平面ABM,

又以。4"=4,RI,,4Mu平面以M,

・・・5M_L平面PAM.

又ANu平面PAM,:・BM】AN.

义ANLPM,且〃MnPW=M,BM,PMu平面PBM,・・./NJ_平面PAM.

(3)证明：由(2)知4VL平面尸BM,

•:PBu平面PBM,C.ANLPB.

又AQLPB,ANC\AQ=A,AN,/Qu平面力N0,，P4_L平面/1N0.

义NQu平面ANQ,:.NQIPB.

考点2平面与平面垂直的判定与性质

【例2】如图，在三棱柱43。451G中，侧面34GC为菱形,

NCBBi=60°,AB=BC=2,AC=AB\=2.求证：平面力。81_L平面88iGC

【证明】如图，连接8G,交囱。于点。，则。为8G,81c的中点，连接力D

因为4C=/18i,所以4O_L8iC

因为侧面88CC为菱形，NCB8i=60。，AB=BC=2,AC=AB尸2,

所以、BD=3,AD=],所以/出2=4。2+4>2,即力。_L8D

因为&CCBD=D,BC,8Qu平面88cle所以力平面88CC.

因为/lOu平面力。囱，所以平面ZC8i_L平面88cle

/规律总结k

1.判定面面垂直的方法

(1)面面垂直的定义.

(2)面面垂直的判定定理.

2.面面垂直性质的应用

(1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的

直线

(2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.

［对点训练2］如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,平面平面ABCD,

PA工PD,PA=PD,£为力。的中点.求证：

(1)P£_L8C；

(2)平面平面PCD

证明：(1)因为为=PD,E为力。中点，所以PE_L力。.

又因为平面以。，平面48CQ,平面HOC平面PEu平面PAD,所以PE

J_平面ABCD.

又BCu平面ABCD,所以PEA.BC.

(2)由(1)知，尸E_L平面/8CO,因为CDu平面力BCD,所以PELCD.

在矩形4/(。中，ADICD

又因为ADC\PE=E,AD,尸Eu平面以。，所以CO_L平面以。.

又ZPu平面以。，所以CO_L4P.

因为以J_PD,CDC\PD=D,CD,PDu平面PCD,所以以_L平面PCD

因为以u平面总伉所以平面以8_L平面PCD

考点3垂直关系的综合应用

【例3】如图，在四棱锥P-48C。中，底面"CZ)是ND48=60。且边长为。的菱形，

侧面口。为正三角形，且其所在平面垂直于底面力BCD

(1)求证:ADLPB.

(2)若E为棱8c的中点，则棱尸C上是否存在一点尸，使平面。£7二1_平面/8CQ?若存

在，证明你的结论；若不存在，请说明理由.

【解】(1)证明：设G为4。的中点，连接PG,BG,如图.

p

,:APAD为正三角形，

：,PGVAD.

在菱形中，ZDAB=60°,

为正三角形，又G为力。的中点，

：.BGA-AD.

义BGCPG=G,BG,PGu平面PGB,

・・・AOJ_平面PGB.

•:PBu平面PGB,：.AD±PB.

(2)存在，当少为PC的中点时，满足平面OE/LL平面月4CD

证明如下：在△P8C中，EF//PB.

叉EFu平面DEF,PBU平面DEF,

・・・P8〃平面DEF.

在菱形48C力中，GBHDE,

义DEu平面DEF,GBC平面DEF,

；・G4〃平面DEF,

又PBu平面PGB,G8u平面PGB,PBCGB=B,，平面DEF〃平面PGB.

由(1)得PG_L/i。，又干面平面/J8CO,且平面均。CI平面48co=4),PGu平面

PAD,

...PGJ_平面/ACO,而PGu平面PGB,

・•・平面PGB工平面4BCD,

・•・平面OET7,平面ABCD.

规律总结

1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

2.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系

的相关定理、性质进行推理论证.

【对点训练3】如图，在三棱锥中，平面以CL平面45C,PAA.AC,PA=AB

=BC=\,PC=3,“为ZC的中点.

B

⑴求证：平面PRCI平面PAR

（2）线段尸C上是否存在点M使得PCJ_平面8MN?若存在，求的值；若不存在，请

说明理由.

解：（1）证明：因为平面以C_L平面力8C,左u平面以C,PALAC.平面RlCn平面力8c

=AC,所以以_L平面/14C,又4Cu平面48。，所以以_L4C,又A4=l,PC=3,PALACf

所以4C=PC2~PA2=2,

义AB=BC=l,所以力（^二力尸+以〉，所以43_L8C,又H_L3C,PA,是平面P44

内的两条相交直线，所以BC_L平面R14,又BCu平面PBC,所以平面08C_L平面18.

（2）存在.过点M作MN_LPC,垂足为N,如图，连接N8,

由（1）知以_L平面力8C,因为M8u平面力8。，所以RILWA,

又M为/1C的中点./1B=BC=1.

所以〃8_LXC,又以J_M8,PA,力C是平面R1C内的两条相交直线,

所以M8_L平面R1C,又PCu平面刃C,所

以MBLPC,又MN_PC,MB,MM是平面8MV内的两条相交直线，所以PC1平面

BMN,

由匕已门知左h付si•nZ/PmCA/=以=1==3MN,

PC33Ale

i73MN6

又/HC=~C=,即=、nMN=°,

22326

2

所以CN=(2]—、61=?,

323PN2

所以PN=PC-CN=3-=,所以

33PC3

即线段PC上存在点V使得PC_L平面BMN,且::=；・

课时作业48

，业基础巩固.

1.（5分）（2024•山东泰安模拟）已知两条不同的直线机，〃和平面a,p,a邛,aC\fi=

m,则〃_L夕的必要不充分条件是（C）

A.tn//nB.n//a

C./n±nD.〃J_a

解析：因为。0夕=加，所以相u夕，当〃_L〃时，由线面垂直的定义可知〃J_〃?；只有当m

_L〃且〃ua或〃〃a时才能得到〃_L〃.所以〃_L6的必要不充分条件是〃.故选C.

2.（5分）设小/2为两条不同的直线，ai，M为两个不同的平面，下列说法正确的是

（D）

A.若八〃。1,，2〃-2,则

B.若八,/2与内所成的角相等,则/

C.若内_1_伙，/1/7«1»，2〃12，贝

D.若囚_1_。2，71.Lai>/2-La2»贝！1/I_L，2

解析：若人〃如，l2//a2,I山2,则内，CC2可能相交，也可能平行，故A错误；h,卜与

如所成的角相等，则%〃可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误；若如_L&,八〃内，

l2//a2t则/i,/2可能平行、相交或异面，故C错误：若3_LC（2,/）±ai,/2±«2,则八_1瓦故

D正确.故选D.

3.（5分）（2024•天津卷）若小，〃为两条直线,a为一个平面，则下列结论中正确的是（C）

A.若〃?〃a,〃〃<z,则，〃_L〃

B.若？„〃a,〃〃a,则〃?〃〃

C.若小〃a,〃_La,则m_L〃

D.若m〃a,〃_La,则加与“相交

解析：若"i〃a,n//a,则用与〃可能异面、平行或相交，故A,B错误：若〃M'a,n

±af则"与〃垂直，且用与〃可能相交，也可能异而，故C正确，D错误.故选C.

4.（5分）（2024•山东济南二模）已知正方体Z8CQ-小BiG。1，M,N分别是小O,Diff

的中点，则（C）

A.AQ//D1B,MN〃平面ABCD

B.A\D〃D\B,MN_L平面BBiDiD

C.A\DA.D}B,MN〃平面ABCD

D.A\DA.D\B,A/N_L平面BB\D\D

解析：如图，连接由已知48_L平面XOOMi,/liQu平面力。。।小，则48_1_小。，

又力。1_1_4。，/80力。|=彳，48,4。仁平面ABD\,所以/Q_L平面ABD\,又。山u平面2BD1,

所以4O_L。4，排除A,B：因为M,N分别为彳。|,85的中点，所以MN〃/18,义MNC

平面48CZ）,力Bu平面力BCQ,所以MN〃平面48C。，C正确；若MN上平面BBQiD,则

MNA.BD,义MN//AB,所以4BLBD,显然不成立，D错误.故选C.

5.（5分）（2024•四川广安二模）如图，菱形ABC。的对角线4。与8。交于点。，EF是

的中位线，月。与E尸交于点G,已知△PE/7是ACE尸绕EF旋转过程中的一个图形，且P©平面

力8c。.给出下列结论：

£)C

7E

----------^B

①8。〃平面PEF；

②平面R1C'J_平面ABCD；

③“直线PF_L直线力。始终不成立.

其中所有正确结论的序号为（B）

A.①②③B.①②

C.①③D.②③

解析：由石尸是△8CZ）的中位线，得EF〃BD,而EFu平面PEF,BDU平面PEF,因此

BD〃平而PEF,①正确；

如图，连接夕G,由菱形/AC。的对角娱/C与“。交于点O,得“O_L/C,则EF_/G,

EF工PG,而力GflPG=G,AG,PGu平面％C,则上-L平面E4C,又EFu平面力BCD,所

以平面R/C_L平面力6。。，②正确；显然NPG4是二面角尸的平面角，4PEF由ACEF

绕£/旋转过程中，ZPGA从180。逐渐减小到0°（不包含180。和0。），当NPG4=90。时，AG

IPG,PGClEF=G,PG,EFu平面PEF,则/G_L平而PM,而PRz平面PEE因此。尸_1

4G,③错误.故选B.

6.（5分）（2024•四川眉山三模）如图，该组合体由一个正四棱柱力BCQ-44C1。和一

个正四棱锥P-4BCDi组合而成,已知力8=2,AA\=2,刈i=2,则(C)

A.刃i〃平面力BCIOI

B.PBi〃平面4BGDi

C.尸GJ•平面

D.尸。i_L平面8。。

解析：如图，因为以|=QG=2,4G=22,OC=CCi=2,在平面/CGRh中有/

n

PA}C}=ZAyC]O=ZCiOC=,所以以i〃OG,又OGu平面4OG,PAt平面BDCi,所以

4

〃平面〃力G,则与平面力8Goi不平行，故A错误；同理P8i〃OQi,尸小与平面

9

不平行，故B错误；PO=2+/x2=22,PCi=Ci<9=2,有PG+CQ2=PO2,所以产G

2

_LGO,又BDtAC,BDlCCi,ACCiCCi=C,AC,CCi<=平面尸CQ,所以BO_L平面PCQ,

又因为PGu平面PC。，所以PC]_L8D,又8£）nCiO=。，BD,GOu平面8力G,所以PG

，平面8OG,故C正确；又因为PCjnPQi=P,且过一点有且仅有一条直线与已知平面垂

直，所以尸。।不垂直于平面4OG,故D错误.故选C.

P

7.（6分）（多选）（2024•河北保定三模）已知四边形力3C'。为等腰梯形，AB//CD,I

为空间内的一条直线，且以平面力4c。，则下列说法正确的是（AC）

A.若/〃48,则/〃平面X8CQ

B.若l〃AD,则/〃BC

C.若山。,l±BC,贝h_L平面力8co

D.若/_U8,IA-CD,贝h_L平面力8C。

解析：因为l〃AB,且｛Bu平面4BCD,IC平面ABCD,所以/〃平面力8。£>,故A正确；

因为4/J与4c是等腰梯形的腰，二者不平行，故若/〃41,则/与4c不平行，故B错误；

因为直线力。与8c能相交，所以若/_!_力。，l±BC,ADu平面/iBCD,BCu平面ABCD,则

/_L平面44C3,故C正确：因为4?〃CO,两者不相交，所以若/_L4以LCD,推不出/_L

平面力BCD,故D错误.&攵选AC.

8.（6分）（多选）（2024•安徽马鞍山三模）已知四棱锥Pd8c。中，巴_L平面片8CO,

则（AC）

A.若PCLBD,WOACLRD

B.若力C_L8。，则尸8=尸。

C.若•PB=PD,则44=力。

D.若AB=AD,则尸C_L4。

解析：如图，因为以_L平面力8cO,AB,AD,BQu平面48CQ,«'）PALAB,PA_AD,

PA1BD,若PC_L8O,K/MAPC=P,PA,PCu平面/MC,可得8O_L平面必C,且4Cu平

面总C,所以％CJ_4力，同理，若力C_LB。，则可得PCJ_B。，由力8=/。不能推出NC_8。，

即48=力。不能推出PC_L8。，故A正确，D错误；若PB=PD,可知Rt△叫BgRt△阳。，

所以AB=4D,反之，若AB=4D,可知RdRlAgRl△叫。，所以PB=PD,即PB=PD等

价于44=40,由/C_L30不能推出<4=力。，即4C_L8。不能推出Q8=尸。，故B错误，C

正确.故选AC.

9.（5分）（2024•陕西或阳三模）如图，四边形月8CQ是圆柱的轴截面，E是底面圆周上

异于48的一点，则下面结论中正确的序号是谑④.

/>

A二二一—*、-,*■-

E

①AELCE；②BE1DE；③OE_L平面〃CE；④平面/。£_1_平面〃CE.

解析：因为四边形/8CQ是画柱的轴截面，则线段力6是底面圆的直径，BC,力。都是

母线.又£是底面圆周上异于4B的一点、,于是得AELBE,而8C_L平面/4£；/Ku平面

ABE,则BCL4E.因为BCOBE=B,BC,BEu平面BCE,则力E_L平面8CE,因为CEu平面

BCE,所以力E_LCE,①正确；同理可证8E_LOE,②正确：点。不在底而48E内，而直线

AE在底面4BE内,HpAE,。石是两条不同直线，若。EJ_平面4CE,又力E_L平面8CE,则

与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，③不正确；因为NE_L平面BCE,而/Eu

平面力。£;所以平面力。E_L平面4CE,④正确.

10.（5分）如图，在三棱柱川中，已知［小_L平面4?C,BC=CCi，当底面

48c满足条件（答案不唯一）时,有力9_L8G.（填上一个你认为正确的条件

即可）

解析：如图所示，连接自C,由〃C=CG,力小，平面/AC,可得夕Ci_L8C,因此，要

证则只要证8Ci_L平面力8C,即只要证力C_14cl即可，由直三棱柱可知，只要

证/C_LAC即可.因为小。C,B\C\//BCf故只要证小G_LSG即可.（或者能推出小G

_L8iG的条件,如NCC出=90。等）

G

11.（15分）如图，在正方体力8CQ-小历GA中，E,尸分别是4。，8G的中点，棱长

为1.

（1）求证：/?/〃平面

CiCDDi.

(2)在线段力山上是否存在点G,使EG_L平面小BG?若存在，求点G到平面/"CO的

距离；若不存在，请说明理由.

解：(1)证明：如图，取8C的中点M,连接EM,FM「：E,/分别是力。，8G的中点，

:.EMIIDC,FM〃C\C,

又£"<=平面EFM,FMu平面EFM,EMCFM=M,DCu平面GCQ0i,GCu平面CC。。,

z)cnc)c=c,

・•・平面〃平面CCOOi,又EFu平面EFM,：・EF〃平面CiCDDi.

(2)存在.

如图，取力山的中点G,连接EG,AG,EA\,EB,易知EA尸EB,而G为/山的中点,

：.EGlAiB,连接/G,则尸G〃小G,

・・•正方体棱长为1,

17

在△小5G中，FG=AiCi=,

22

在中，EF=5,

2

在R££4G中，EG=③，

2

：.FG2A-EG2=FE2,即EG工FG,故EG_L4a,

=

义4B,4Gu平面力出Ci,A\BC\A\C\Aif,"7J"平面力18cl.

易得点G到平面ABCD的距离为L

2

12.(15分)如图，在正三棱柱/BC-44cl中，M,O分别为力小，8G的中点.求证:

(1)加。〃平面力4。；

(2)MO_L平面BiBCCi.

证明：(1)如图，取8c的中点。，连接O。，AD,

4C

}

因为。为BC\的中点，所以OD//CC]且OD=CC]t

2

义因为且所以。。〃4"且所以四边形41/OQ为平行

2

四边形，所以M0〃4。，

又因为MOU平面48C,4Ou平面48C,所以M。〃平面力8C.

（2）因为力AC-481G为正三棱柱，

所以48iJ_平面力8C,因为力Ou平面力BC,所以BB1L/1D,

因为△48c为等边三函形，所以4O_L4C,

义BBCBC=B,BB\,8Cu平面4|4CG,所以力。一平面SACCi,

叉MO”AD,所以MO_L平面以8CG.

要素养提升.

13.（6分）（多选）如图，在三棱柱力8c-小囱G中，NCAB=NCBA=45。,ZAiAC=

ZACB,尸为线段〃小的中点，N为线段4省上靠近办的三等分点，则（ABD）

A.AC1.BC

B.AC工CBi

C.力。_1_平面人中。

D.平面XCP_L平面8CG81

解析：因为NC/I8=NC历1=45。，故N/C8=90。，所以力C_LC8,A正确；因为N4/1C

=ZJCB=90°,所以侧面/小CC为矩形，故力CJ_CG,义4CLBC,ffCCiCCi=CtBC,

CGu平面CC出出，所以力C_L平面CC由田，而CAiU平面CC出出，故力C_LC8i,B正确；

平面NPC与平面CG3归不平行，所以力C平面NPC不垂直，C错误；因为力Cu平面4c尸，

4C_L平面CGS4,所以平面力。尸平面CG8i4,D正确.故选ABD.

14.（6分）（多选）（2024•山东聊城二模）已知四棱锥PR8CO的底面力8CQ是正方形，

则下列关系能同时成立的是（BC）

A."AB=PB”与"PB=BD"

B."%_LPC’与”尸81尸。”

C.”PBLCD”与“PC_AB”

D.“平面以