求解二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册专项突破（北师大版）

专题5.4求解二元一次方程组(知识梳理与考点分类讲解)

在一・.知识梳理

【知识点1］代入消元法解二元一次方程组

代入消元法：

(1)定义：将其中一个方程组中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另

一个方程组，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代

入消元法，简称代入法.

(2)用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤:

步骤具体做法目的注意事项

(1)变形选取一个系数比较简单的二元变形为x=ax+b（或一般选未知数系数比较

一次方程变形，用含一个未知数x=ay+b）（a,b是常数,简单的方程变形

的式子表示另一个未知数

aWO）的形式

(2)代入把y=ax+B(或x=ay+b)代入另消去一个未知数，将二元变形后的方程只能代入

一个没有变形的方程一次方程组转化为一元另一个方程(或另一个方

一次方程程变形后的方程)

(3)求解解消元后的一元一次方程求出一个木知数的值去括号时不能漏乘，移项

时所移的项要变号

(4)回代把求得的未知数的值代入步骤求出另一个未知数的值一般代入变形后的方程

(1)中变形后的方程

(5)写解把两个未知数的值用大括号联

立起来

特别提醒：将方程组中的一个二元一次方程写成用含一个天知数的式子表示另一个未知数的形式，是

用代入法解二元一次方程组的前提和关键，其方法就是利用等式的性质将其变形为y=ax+b(或x=ay+b)的

形式，其中a,b为常数,a#0.

用含一个未知数的式子表示另一个未知数后，应代入另一个方程求解，否则只能得到一个恒等式，并

不能求出方程组的解.

【知识点2】加减消元法解二元一次方程组

1.加减消元法的定义通过将两个方程相加（减）消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为

一元一次方程来解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.

2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤

步骤具体做法目的注意事项

（1）变形根据绝对值较小的未知数（同一个未使某一个未知数在两个给某个方程乘一个数

知数）的系数的最小公倍数，给方程方程中的系数相等或互时，方程两边的每一项

的两边都乘适当的数.为相反数.都要和这个数相乘

（2）代入两个方程中同一个未知数的系数互为消去一个未知数，将二把两个方程用加（减）

相反数时，将两个方程相加；同一个元一次方程组转化为一时，一定要把两个方程

未知数的系数相等时，将两个方程相元一次方程两边分别相加（减）.

减.

（3）求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值

（4）回代把求得的未知数的值代入方程组中某求出另一个未知数的值回代时选择系数较简

个较简单的方程单的方程

（5）写解把两个未知数的值用大括号联立起来

特别提醒：

L两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时.解方程组应考虑用加减消元法.

2.如果同•未知数的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系，我们应设法将•个未知数的系数的绝对

值转化为相等关系.

3.用加减法时，一般选择系数比较简单（同一未知数的系数的绝对■值相等或成倍数关系）的未知数作

为消元对象.

【考点目录】

【考点1］代入消元法解二元一次方程组；［考点2］加减消元法解二元一次方程组；

【考点3］同解方程组；【考点4］整体思想解二元一次方程组；

【考点5］求解二元一次方程组一一错题复原问题；【考点6］求解二元一次方程组一一参数问题；

【考点7】构造二元一次方程组求解。

【考点一】代入消元法解二元一次方程组

［例1］（2020下•江苏苏州•七年级校考阶段练习）解方程组（用代入法）

2x-)，=54x+3y=5

(1)(2)

3x+4)，=2x-2y=4

x=2x=2

【答案】（1）(2)

y=TJ=T

【分析】（1）把①变形为y=2x-5,再代入②求出x的值，故可求解;

（2）把②变形为x=2y+4,再代入②求出y的值，故可求解.

2x-y=5①

解;(1)

3x+4y=2②

由①得y=2x-5③

把③代入②得3x+4(2x-5)=2

解得x=2

把x=2代入③得y=-l

国原方程组的解为《x=2.

y=-l

j4x+3y=5①

'x-2y=4®

由②得x=2y+4（3）

把③代入①得4（2y+4）+3y=5

解得y=-i

把y=-l代入③得X=2

x=2

团原方程组的解为.

1尸-1

【点拨】此题主要考查二元一次方程方程组的求解，解题的关键是熟知代入法的运用.

【举一反三】

【变式1】（2020下•七年级统考课时练习）用代入法解下列方程组：

x-y=\f2x-3y=4

（1）1.（9）

x+3y=9'[5x-3y=19*

x=3[x=5

【答案】（1）…（2）r

y=21y=2

【分析】（1）由①，得x=y+l③，把③代入②，求出y,再把y的值代入③求得X的值从而得到

方程组的解；

（2）由①，得3y=2x-4③，把③代入②，求出x,再把x值代入③求得y的值从而得到方程组的解

把x=2代入③得：y=l,

x=2

所以方程组的解是:

y=T

。=3

3x-2y=18①

2」3:可化为:

…一9=牛31Oy=32②

①变形得：3x=2.y+18@,

把③代入②得：2.y+18-10y=32,

7

解得：y=-->

4

把y=—1代入③得：x=2-9

46

2-9

6

所以方程组的解是：•

【点拨】本题主要考查利用代入消元法解二元一次方程组的方法与步骤，可以结合代入法的特征进行

解答.

【考点二】加减消元法解二元一次方程组

4v+8y=12

【例2】（2019下•七年级课时练习）解方程组：,；

3x-2v“=5

x—2

【答案】1

卜=5

［分析］根据加减消元法解二元一次方程组即可求解.

4x+8y=12①

3x-2y=5®，

②x4得：⑵=8），=20③，

①+③得：I6x=32,

解得：％=2,

把k2代入②得：6-2y=5

解得：y=p

x=2

则方程组的解为41.

【点拨】本题考查了加减消无法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的

关键.

【举一反三】

【变式1]（2023下•七年级课时练习）解方程组：

2x+3y=7f217x+314y=177

⑴4（2）■

3x+2），=3'[314.r+217j-=177

I

彳__]x=—

【答案】⑴\X=~;（2）:

??=3

【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；

（2）方程利用加减消元法求出解即可.

2x+3y=7®

解:

3x+2y=3®

由①+②，得5（x+），）=10,则x+y=2,③

①-③x2,得y=3,

②-③x2,得x=-l.

x=­I

所以原方程组的解为《,.

1y=3

J2l7x+314y=177@

<2）^314x+217），=177②•

由②一①，得（314—217）x+（2l7—314）y=0,

化简，得“一），=。，即工=儿

把x=y代入①，得217x+314x=177,解得X=），=；.

1

X=­

所以原方程组的解为:.

y=-

r3

【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元

法.

2x+3y-2=0

【变式2】（2023上•辽宁沈阳•八年级校考期末）解方程组

4x-9y+l=0

x=l

【答案】I

y=-

['3

【分析】利用加减消元法求解即可.

2x+3y-2=O®

解：

4.r-9y+l=0@

①x3+②得：I0x-5=0,

解得：x

2

把％=g代入①得：y=p

1

X=—

2

所以方程组的解为：

【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解方程组的方法有代入消元法与加减消元法，会根据方程组

的特点选择适当的方法解方程组.

【考点三】同解方程组

【例3】（2022下•河南南阳•七年级统考期中）某中学七年级数学兴趣小组在一次活动口，遇到这样

一个问题:

3x+7y-5m-3

已知X、），满足x+2.y=5,且，2x+3)，=8，求'〃的保

3^+7y=5/72-3

小璐同学说：先解关于工、），的方程组⑵+3；=8，再求,〃的面

小明同学观察后说：方程组中含有字母，解方程组可能比较麻烦.但A2y=5中不含母..…请你用一利

比较简单的方法，求出，〃的值.

【答案】〃，的值为4

【分析】先由不含〃?的两个方程组成的方程组解得小,，的值，再把小），的值代入包含小y、m的方程,

即可得到〃，的值.

2x+3y=8①

解：解方程组：

x+2y=5②

由②得x=5-2y③

代入①得2(5-2)，)+3y=8

解得产2

代入③中得x=l

团方程组的解为《一.

〔）=2

x=1

把《c代入3x+7y=5，〃_3中

1>'=2

得3xl+7x2=5/I

解得〃尸4

0m的值为4

【点拨】本题考杳二元一次方程组和一元一次方程的综合应用，熟练掌握二元一次方程组和一元一次

方程的解法是解题关键.

【举一反三】

2工+3y=]93x—2y=9

【变式1]（2023卜・重庆•十年级西南大学附中校考期末）关干X,），的方程如</"।与%，一7

or+〃），=-1bx+ay=-1

有相同的解，则a（4/2（3的值为（）

A.（1B.（6C.（10D.（12

【答案】C

2x+3y=19广分二中求出a=1

【分析】先求出3Ty=9的解，再将解代入〈-2’即可求解.

bx+ay=-/

2八十3y=193r-2v=9

解：团方程组〈与^有相同的解,

ax+by=-\kbx+a*y=-7

2x+3)，=19(法ar++Z」?y=-l的解相同

3x-2y=9J

⑶2x.+32y1==199解得|x=5

由，

j=3'

5a+3Z?=-l

5b+3a=-l

a=\

解得

b=-2

团。+4〃-3=—10,

故选：C.

【点拨】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含

义，能利用其中系数确定的方程先求出它们的解，再求出其中字母系数的值.

2x+3_v=13

【变式2］（2023下•内蒙古呼和浩特•七年级统考期末）已知关于x,V的二元一次方程组

4av-Z?y=5

bx+2ay=S

和Ls”有相同的解，则2a+〃的值为______

4x-10y=-22

【答案】3

2x+3y=13bx+2ay=8

【分析】联立[41。-22'求得""的值’代入4g力=5,求得的值,进一步求解即可•

2x+3y=13.bx+2ay=St,入一

解：；关于x，）'的二元一次方程组〈；和《【廿1。尸-22有相同的解,

4ax-by=5

2x+3y=13

联立

4x-10y=-22'

x=2

解得：

1k3

加+2缈=8

将《x=2二代入《

）'=34ar-/?y=5

,2〃+6。=8

得：\Sa-3b=5'

解得：

b=1

「27+〃=2+1=3,

故答案为：3.

【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，联立两个已知的方程求出为和》的值是

解题的关键.

【考点四】整体思想解二元一次方程组

【例4】（2022匕吉林长春•七年级吉林省第二实验学校校考期末）阅读以下材料:

x-y-\=00

解方程组:

4(.r-y)-y=0(2)

小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做"整体代入法"，解题过程如下:

解：由①得③，将③代入②得：

（1）请你替小亮补全完整的解题过程;

3%-y-2=0

（2）请你用这种方法解方程组:6x-2y+\

+3y=10

5

,_5

【答案】（1）见分析；（2）f=3

），二3

【分析】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可：

（2）由①得3、-），=2代入②得到关于），的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组

的解.

x—y—\=0①

（1）解:

4(x-y)-y=0@

由①得x-y=1③，

将③代入②得：4x17=0,

解得：¥=4,

把y=4代入①得：x-4-l=0,

解得：x-5,

x=5

故原方程组的解是：，：

y=4

3x-y-2=0①

（2）解：'"匕1+3广10@'

3x-y=2®

整理得：［2（3x-y）+l+15^=50@，

把③代入④得：2x2+l+15,y=50,

解得尸3,

把y=3代入①得：3x-3-2=O,

解得：x=|，

_5

故原方程组的解是："=3.

）=3

【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减

消元法.

【举一反三】

【变式1】（2022下•福建福州•七年级福建省福州屏东中学校考期中）已知关于x,y的二元一次方程

=c.x-2[4（x+2022）+A（y-2022"

组・的解为，则关于x，y的方程组，%（%+2022）+力2（/-2022）=。2的解为（）

』=3'

a2x+b2y=C2

x=2014x=2024fx=-2020x=-2020

A.•B.<C.<D.<

y=-2019y=2025y=-2019y=2025

【答案】D

+2022=2

【分析】将第二个方程组变形成和第一个方程组形式一样，根据整体思想得：,，从而得出

y-2022=3

答案.

解：由题意可知，关于”,，的方程组岑a(x》+2022)晨+a(晨y-22002222)"=的c.解为:"1+-22002222==23,

fx=-2020

y=2025

故选：D.

【点拨】本题考杳/解二元一次方程组，对方程组进行整体换元是解题的关键.

【变式2】(2022下•江苏盐城•七年级校考阶段练习)用换元法解方程组勺一若设

4(x-y)-3(x+y)=l

x+)，=",x-y=v,则原方程组可化为方程组

u+5v=3

【答案】

4v-3w=1

【分析】根据题意，整体代入即可得出结果.

（A+.V）+5（X-.V）=3

解:

4"一\—）=1

设x+y=u,x-y=v,

u+5v=3

则原方程化为：

4v-3M=1

M+5V=3

故答案为：,

4v-3〃=1

【点拨】题目主要考查代入消元法，理解题意是解题关键.

【考点五】求解二元一次方程组——错题复原问题

【例5】(2017下•福建漳州•七年级校联考阶段练习)一个被墨水污染的方程组如下：、/

*r-7y=8

x=3[x=-2

小刚回忆说：这个方程组的解是而我求出的解是.，经检查后发现，我的错误是由于看错了

卜=-2[y=2

第二个方程中的”的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来.

4x+5y=2

【答案】,

-2x-7y=S

ax+by=2

【分析】设方程组为《而两个解都是第一个方程的解，将两个解代入到第一个方程中得到

ifix-ly=S

x=3

关于，、方的一元一次方程组求出a和〃，再将。代入第二方程得到加的值.

ax+by=2

解；设被滴上墨水的方程组为1

nvc-7y=S

由小刚所说，知｛r=3'.和x=-2c都是原方程组中第一个方程的解,

y=-2Iy=2

3a-2b=2a=4

则有＜解之,得

-2a+2b=2b=5

卜=3

乂因方程组的解是'=-2

所以，3^+14=8,

解得，/〃=-2.

4A+5>=2

故所求方程组为，

-2x-7y=S

【点拨】本题考查二元一次方程组的解，关键是根据给出条件求出方程组中待定的系数.

【举一反三】

ar+5y=15①

【变式1】（2023下•云南昆明•七年级统考期末）甲、乙两人在解方程组＜时，甲看错了

4A=by-2®

方程①中的“，解得二］，乙看错了方程②中的人解得4,贝U/必—（一V）的值为（）

A.2B.-2C.0D.-3

【答案】B

x=2Y-s

【分析】把代入②中求得〃值，把日14代入①中求得a值，后求值计算即可.

x=2

解：把1"弋入②中,

l>,=1

得8=〃一2,

解得〃=1（）；

把114代入①中，

得5a+20=15,

解得a=T，

Viojv7Iio；

故选B.

【点拨】本题考查了方程组的解法，代数式的值计算，熟练掌握解方程组是解题的关键.

【变式2】(2022下•江苏泰州•七年级校考期中)已知方程组［=一的解应为［小

Icx+20y=-224ly=-10

明解题时把。抄错了，因此得到的解是"，则/+〃_2______.

y=-13c=

【答案】16

【分析】将两对解代入方程组的第一个方程求出“与人的值，将第一对解代入第二个方程求出c,的值,

即可求出的值.

8«-10^=-16

解：依题意得，

12。一13。=一16

。=3

力=4

代入cx+20)，=-224,解得c=-3

则a2+/?2-C2=32+42-(-3)2=16,

故答案为：16.

【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键，方程组的

解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.

【考点六】求解二元一次方程组——参数问题

［例6］(2023下•江苏盐城•七年级校联考阶段练习)已知关于x,y的二元一次方程组

x+2y=\+2m

(实数机是常数)

(1)若x+y=l,求实数机的值

(2)若-50-/2,求实数〃［的取值范围.

(3)在(2)的条件下，化简|〃?+2|+|2加一3|.

【答案】(1)〃?=；；(2)-2</H<1；(3)5—〃?

【分析】（1）本题先将两式相加求出〃?的值；

（2）再将两式相减可求出〃?的范围；

（3）根据的范围以及绝对值的性质进行化简.

2x+y=4加O

解：（1）在方程组

x+2y=\+2tn®

①+②得，3x+3y=6/"+l

^x+y=2m+-

2m+—=1

3

2x+y=4/n0

（2）在方程组，

x+2y=l+2〃?②

①-②得，x-y=2m-\

T-5<x-y<2

—5K2/zz—1K2

3

-2</??<—

2

3

(3)*：-2<m<-

0/??+2>O,2/?/-3<O.

0|/n+2|+|2w-3|

=〃7+2-(2/〃一3)

=m+2-2m+3

=5—m

【点拨】本题考查了已知二元一次方程组解之和或差求参数，以及己知字母的取值范围化简绝对值，

解题的关键是对方程组进行适当的恒等变形.

【举一反三】

【变式1］（2021下♦上海闵行•六年级上海上师初级中学校考期中）已知二元一次方程组无

2x-y=\

解，则。的值是（）.

A.±1B.-1C.1D.以上都不对

【答案】D

【分析】由②得出）=2x7③，把③代入①得出（。+6）1=5,根据方程组无解，得至此+6=0,求

出即可.

]or+3），=2①

解：[2x—尸1②

由②得y=2x-l,③

把③代人①得如+3（2/-1）=2,

国（〃+6）x=5,

0方程组无解，

团a+6=0,

团a=-6,

故选D.

【点拨】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出

一个关于〃的方程（a+6=0）.

,x=-2（3x+2y=in

【变式2】（2023下•河南南阳•七年级统考期中）已知〈।是二元一次方程组＜,的解，则

y=\[zu-y=1

〃?-〃的值是.

【答案】-3

【分析】利用二元一次方程组解的意义将x,y值代入方程组，得到关于小，〃的方程组，解方程组求

得如〃值，代入代数式中化简运算即可.

x=—2f3.v+2y=m

M：v,是二元一次方程组।的解，