立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直

第7讲立体几何中的向量方法(一)一证明平行与垂直

［最新考纲］

1.理解直线的方向向量及平面的法向量.

2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.

3.能用向量方法证明立体儿何中有关线面位置关系的一些简单定理.

知识梳理

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

—►

(1)直线的方向向量：/是空间一直线，A,B是直线/上任意两点，则称为直

线/的方向向量，与蔡平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设〃，力是平面。内两不共线向量，〃为平

面。的法向量，则求法向量的方程组为「八

2.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表不

直线人,/2的方向向量分别h//hn\//nz^n\=hii

为M2./山2_L〃2卜〃2=0

直线/的方向向量为〃，平l//a

面a的法向量为m/_Lan//m^n=Am

平面a,4的法向量分别为a//pn//m^n=Am

〃，m.a邛〃_1_〃2台〃/九=0

辨析感悟

1.平行关系

(1)直线的方向向量是唯一确定的.(X)

(2)两不重合直线(和C的方向向量分别为砧=(1,0,-1),口=(一2。2),则/i

与/2的位置关系是平行.(J)

2.垂直关系

(3)已知AB=(2,2,1)，AC=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是no=

士生~y

(4)(2014.青岛质检改编)如图所示，在正方体A3CD—43QO1中，。是底面正方

形A8CQ的中心，M是。I。的中点，N是的中点，则直线NO,AM的位置

关系是异面垂直.(J)

［感悟•提升］

1.一是切莫混清向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方

向向量平行的差异，如(2).否则易造成解题不严谨.

2.利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证

明直线。〃〃，可证向量〃=m，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平

行，必需强调直线在平面外等.

学生用物第125^

考点一利用空间向量证明平行问题

【例1】如图所示，在正方体48co—A山Ci0中，M,N分别是CiC,B\G

的中点.求证：MN〃平面43D

审题路线若用向量证明线面平行，可转化为判定向量MN〃O4,或证明MN与

平面的法向量垂直.

证明法一如图所示，以。为原点，。4,DC,ODi所在直线分别为工轴、y

轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则可求得“0,1,

心，1,1),0(0,0,0),Ai(lQl),B(l,l,0).于是0,1j,。4=(1,0/),

―►

OB=(1』,0).

设平面4B。的法向量是〃=(x,)，，z).

ff[x+z=0,

则〃QAinO,且〃QBn。，得1,

x+y=O.

取x=l,得y=-1,z=-1.

/i=(1»-1,-1).

又MM〃=&0,；)(1,-1,-1)=0,

—►

；・MN上小

又MNQ平面44),

・・・MN〃平面4BD

-A-A-A।►।―A।-►-A।-A-A-►

法二MN=C\N-C\M=^C]B\-^C\C=^D}A}-D}D）=^DA].：.MN//DA\t

又〈MN与D4i不共线，

：.MN//DA\f

又・.・MNa平面46。，AQU平面A|6D,

・\MN〃平面413D

规律方法（1）恰当建立坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法

证明平行和垂直的关键.

（2）证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为

零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向

量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何

的证明问题转化为向量运算.

【训练1】（2013•浙江卷选编）如图，在四面体A48中，AO_L平面。CO,13C

证明(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线0P为z轴的正半轴建立空间直

角坐标系o—xyz.

则0(()。,。)，A(0,-3.0),

3(420)，C(-4,2,0),?((),(),4).

于是人户一(0,3,4),

BC=(—8,0,0)，

：.APBC=(0,34)-(-8,0,0)=0,

所以AP_LBC,BPAP1BC.

(2)由(1)知|AP|=5,

又|AM|=3,且点M在线段AP上，

・-3f公912、

・・AM=gAP=(0,5,yj,

—►—►—►

XBC=(-8,0,0),AC=(—4,5,0),24=(一4,-5,0),

.•・BM=3A+AM=(-4,—y,5，

f(.1612A

则APBW=(()34)1-4,-y,yJ=0,

：.AP±BMfB|JAPLBM,

又根据(1)的结论知APLBC,

・・・AP_L平面BMC,于是AMJ_平面BMC.

又AMU平面AMC,故平面AMC_L平面8cM.

规律方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的

坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.

(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明

面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要

能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.

【训练2】如图所示，在直三棱柱ABC—A3G中，ZVIBC为

BF

等腰直角三角形，ZR4C=90°,且A8=A4,D,E,尸分别为BiA,CiC,BC

的中点.求证：

(1)。七〃平面ABC；

(2)BiF_L平面4EE

证明如图，建立空间直角坐标系A—xyz,

令A5=A4i=4,

则A(0,0,0),£(0,4,2),尸(2,2,0。8(4,0,0),3(4,0,4).

⑴取中点为M则M2,0,0),

XC(0,4,0),0(2,0,2),

­►­►

/.£)£=(-2,4,0),NC=(—2,4,0),

——■»

:,DE=NC.：.DE〃NC,

又NC在平面4BC内，故。石〃平面ABC

—►—►-►

(2)办F=(-2,2,-4),EF=Q,-2,一2),AF=(2,2,0),

BiF«ET=(-2)X2+2X(-2)+(-4)X(-2)=0,

则B尸J_E凡ABiFlEF,

―►-►

VBiFAF=(-2)X2+2X24-(-4)X0=0,

：.BiFlAFfBPBxFLAF.

又,：AFCEF=F,・,・8凡L平面4£足

学生用书，第126页

考点三利用空间向量解决探索性问题

【例3】(2014.福州调研)如图,在长方体ABCD-43CO］中,AA\=AD=\f

E为。的中点.

(1)求证：BEJ_A£h；

B

⑵在棱A4i上是否存在一点P,使得OP〃平面若存在，求AP的长；若

不存在，说明理由.

审题路线由长方体特征，以A为坐标原点建立空间坐标系，从而将几何位置

关系转化为向量运算.第（1）问证明第（2）问是存在性问题，由0P与

平面3AE的法向量垂直，通过计算作出判定.

⑴证明以A为原点，A8,AD,A4的方向分别为x

轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）.

冬八0),3(a0,l).

设则A(0,0,0),£)(0,1,0),Di(0J,l),

故AQi=(0,l,l),1，-1)，A8i=(a,0,l),AE=(务1,0

*：AD\B\E=—?X0+1X1+(—1)X1=0,

：.B\ELAD\,

⑵解假设在棱A4i上存在一点P((),0,zo).

-A

使得〃平面8AE，此时。。=(0,—1,zo).

又设平面BAE的法向量〃=Q,y,z).

rr[or+z=0,

•・・〃_L平面BAE,：.nLAB^n±AEf得J

2+y=o.

取x=l,得平面BiAE的一个法向量〃=(1,—a)

要使OP〃平面BAE,只要〃J_QP,有/—4ZO=0,

解得zo=1.

又平面BiAE,

・•・存在点P,满足。P〃平面此时

规律方法立体几何开放性问题求解方法有以下两种:

(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再

加以证明，得出结论；

(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解,若

能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在.本

题是设出点P的坐标，借助向量运算，判定关于zo的方程是否有解.

BC

【训练3】如图所示，四棱锥S—A3c。的底面是正方形，每条侧棱的长都是底

面边长的啦倍，尸为侧棱SQ上的点.

(1)求证：AC.LSD.

⑵若SOJ•平面%C,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE〃平面附C.若存在,

求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.

⑴证明连接BQ,设AC交8。于0,则AC_L8D

由题意知SO_L平面ABCD.

—►—►—►

以O为坐标原点，0B,030S分别为K轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角

坐标系如图.

设底面边长为则高SO=*a,

于是00,o,当

乎4,0,0),

于是OC=(o,*a,o|,S£)=(一乎a,0,一当。,

-►-►

则。CSQ=0.故OC_L5D.从而ACLSD.

(2)解棱SC上存在一点E使BE〃平面以C

理由如下：

—►

由已知条件知DS是平面PAC的一个法向量，

旦OS=(乎a,0,*a),CS=(o,—乎a,乎J，

BC=[_*a,()1

-►—>">—>—►-►-►

设CE=fCS,WJBE=BC+CE=BC+tCS=

(啦啦〃、述]

I—2f)，ydth

ff1

由3EDS=O0F=Q.

J

―►—>

:.当SE：EC=2：1时，BE工DS.

又BE不在平面玄。内，故3E〃平面RIC.

|课堂小结I

1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工

具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降

低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”特“数”的转化思想.

2.两种思路：（1）选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向

量的线性运算进行判断.（2）建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算

结果的几何意义解释相关问题.

3.运用向量知识判定空间位置关系，仍然离不开几何定理.如用直线的方句向

量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.

思想方法8——运用空间向量研究空间位置关系中的转化思想

【典例】(2013•陕西卷)如图，四棱柱ABCQ-A出GD的底面43CO是正方形,

O为底面中心，4O_L平面ABCQ,AB=AA\=y[l.

(1)证明:4c，平面BBQQ；

(2)求平面OCBi与平面BBiDiD的夹角0的大小.

⑴证明法一由题设易知。4,OB,04两两垂直，以。为原点建立直角坐

标系，如图.

•・・A8=A4i=啦，

.•.04=03=04=1,

A4(1,0,0),8(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,一1,0),Ai(OQl).①

VAiC=(-l,O,-I),6。=(0,-2,0),BBi=(-l,O,l),

—>—>—>—►

：.A\CBD=O,4CBBi=0,②

：.A}C1BD,4CJ_88,且88m8Q=B,

・・.4C_L平面BBiDiD.③

法二,..AiOJ•平面ABC。，

：.A\O±BD.

又底面A8CQ是正方形，

：.BD±ACf・・・8O_L平面AiOC,

：.BD±A\C.④

又04是AC的中垂线，

：.A\A=A\C=y12,且AC=2,

：.AC2=AAI+A\C2,

：.△A4C是直角三角形，

：.AAi±A\C,

又BB\//AA\,

：.A\CA-BB\,以BBiCBD=B,

・,.AC_L平面BB\D\D.⑤

⑵解设平面OCBi的法向量〃=(x,)，，z).

V(9C=(-1AO),08=(—1,1,1),

=

ii,OC—,E=0,

{n-OB]——x+y+z=0,

x=0,

・・・取〃=(0,1,-1),

{y=­z,

由(1)知，AiC=(-l,0,一1)是平面BBOiO的法向量，

f11

Acos^=|cos<w,x啦=].®

7TTT

又OWOW],0=y

[反思感悟](1)转化化归是求解空间几何的基本思想方法：①中将空间位置、数量

关系坐标化.②和③体现了线线垂直与线面垂直的转化，以及将线线垂直转化为

向量的数量积为0.在④与⑤中主要实施线面、线线垂直的转化.⑥中把求“平面

夹角的余弦值”转化为“两平面法向量夹角的余弦值”.

⑵空间向量将“空间位置关系”转化为“向量的运算”.应用的核心是要充分

认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是

正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理

条件要完备.

【自主体验】.

如图，在直三棱柱ABC—481cl中，AC.LBC,。为A3的中点，AC=BC=

BBi.

求证：

(2)3G〃平面CAiD.

证明如图，以G点为原点，CIAI,CiBi,CC所在直线分别为x轴、y轴、z

轴建立空间直角坐标系.设AC=BC=BB=2,则4(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),

4(2,0,0),Bi(0,2,0),Ci(0,0,0),£)(1,1,2).

(1)由于BG=(O,-2,-2),

—►

AB=(—2,2,-2),

-►►

所以8G/Bi=0—4+4=0,

—►-►

因此故，GJ_A8i.

(2)连接4C,取4c的中点E,连接。七，由于E(l,0,1),

—>―►

所以匹=(0,1.1)又56=(0,-2,-2),

所以EO=-；8G,又EO和8G不共线，

所以EO〃8G,又OEU平面C4O,

8GQ平面C4O,故8。〃平面C4D

基础巩固题组

(建议用时:40分钟)

一、选择题

1.已知平面a,4的法向量分别为〃=(—2,3,-5),0=(3,—1,4),贝1」().

A.a//flB.a邛

C.a、£相交但不垂直D.以上都不正确

解析•・•・力-yW手，，〃与。不是共线向量，又•••〃》=-2X3+3X(—l)

+(—5)X4=-29W0,「・〃与。不垂直，，平面。与平面夕相交但不垂直.

答案C

—►—►—►

2.若A6=2C。+〃CE,则直线A6与平面CDE的位置关系是().

A,相交B.平行

C.在平面内D.平行或在平面内

—►—►―►—►—►—►

解析V/1B=2CD+//CE,：.AByCD,CE共面.则人8与平面COE•的位置关系

是平行或在平面内.

答案D

3.(2014・泰安质检)己知A(l,0,0),5(0,1,0),C((),0,l)三点，向量〃=(1,1,1),则以

n为方向向量的直线/与平面ABC的关系是().

A.垂直B.不垂直

C.平行D.以上都有可能

―►—►—►-►

解析易知A8=(-l,1,0),AC=(-1,0,1),・・.OB〃=-1X1+1X1+0=0,・・・AC/i

―►—►

=0,AC-Lih即AC_L/,又与4。是平面ABC内两相交

直线，..・/_!_平面ABC.

答案A

4.

如图，在长方体ABCQ—48clDi中，AB=2,44|=小，AD=2®P为CiOi

的中点，历为8C的中点.则AM与的位置关系为().

A.平行B.异面

C.垂直D.以上都不对

解析

以。点为原点，分别以D4,DC,。4所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系D-xyz,

依题意，可得，D(0,0,0),P(O,1,<3),C(0,2,0),A(2啦,0,0),M(啦，2,0).

:・PM=(枢2,())-((),!,g)=(啦，1,一，§),

—*

AM=(®2,0)一(26，0,0)=(一啦，2,0),

—►—►

:.PMAM=W，1,一市)・(一也，2,0)=0,

—►—►

即PM_LAM,：.AMLPM.

答案C

5.

如图，正方形A8CD与矩形AC£下所在平面互相垂直，AB=®A/=1,M在

EF上,且AM〃平面8OE.则M点的坐标为().

B.eq,l,l)B.惇,9,1)

C.eqD.eqD.停坐,，

解析连接0E,由AM〃平面且AMU平面ACEF,平面ACEbQ平面BDE

=0E,:.AM//EO,

又。是正方形ABCQ对角线交点，

・・・M为线段即的中点.

在空间坐标系中，E(0,OJ),F(也出，1).

由中点坐标公式，知点M的坐标。亭，乎，1/

答案C

二、填空题

6.已知平面。和平面6的法向量分别为〃=(1,1,2),b=(x,-2,3),且小成，

贝Ijx=.

解析,:a邛,，〃仍=X—2+6=0,则X=-4.

答案一4

7.已知平面a内的三点4(0,0/)，8(0,1,0),C(1,0,0),平面用的一个法向量〃=(一

1,-1,-1).则不重合的两个平面a与4的位置关系是.

—►—►—►—►—►

解析AB=(O,1,-1),AC=(1,O,-1),：.n-AB=Q,n-AC=O9：.nLAB,nA.

AC,故〃也是a的一个法向量.又,：a与B不重合、：,a〃p.

答案平行

—►

8.已知点尸是平行四边形ABC。所在的平面外一点，如果AB=(2,-1,-4),

—►―►―►

AD=(4,2,0),AP=(—1,2,-1).对于结论：®APLAB；®AP±AD；③AP是平

―►—>

面ABCQ的法向量；④4P〃&)淇中正确的是_______.

―►—►—►-►

解析・.・ABAP=(),ADAP=(),

AD1,AP.则①②正确.

又A8与AO不平行，

—►

・・・AP是平面ABC。的法向量，则③正确.

—►—►―►―►

由于3£>=4。-AB=(2,3,4),4P=(—1,2,-1),

—►—>

•••8。与A尸不平行，故④错误.

答案①②③

三、解答题

9.

如图所示，平面外£>_L平面ABC。，A8C。为正方形，△以。是直角三角形，且

PA=AD=2fE,F,G分别是线段%,PD,CQ的中点.求证：〃平面芯厂G.

证明•・•平面力。_1_平面ABCD且ABCD为正方形,

・・・A8,4P,AD两两垂直，以4为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系4

-xyzt则A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,l)»F(0,l,l),

G(l,2,0).

―►—►-►

APB=(2,0,一2),FE=(0,-1,0),FG=(1,I,-1),

—►—►—►

设PB=sFE+tFG,

即(2,0,-2)=5(0,-l,0)+/(l,l,-1),

：.<尸Ls=‘0,解得s=7=2..・・P一B=2一户E+2一FG,

【一尸一2,

又与FG不共线，：.PB,尸E与FG共面.

*/P8Q平面EFG,：.PB〃平面EFG.

1().

BA

如图所示，在四棱锥P-4AC力中，平面ABC力.PC=2,在四边形ARO

中，ZB=ZC=90°,AB=4,CD=1,点M在尸8上，PB=4PM,P3与平面

A5C。成30。的角.

⑴求证：CM〃平面以D；

(2)求证：平面%8_1_平面B4D.

证明

p

以C为坐标原点，C8所在直线为x轴，CO所在直线为），轴，CP所在直线为z

轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.

•・・PC_L平面ABC。，

・•・ZPBC为PB与平面ABCD所成的角，

AZPBC=30°.VPC=2,:・BC=25PB=4.

.,.D（0,I,0）,B（2小,0,0）,4（2小，4,0）,P（0,0,2）,・・・QP=（0,

-1,2）,DA=（2小,3,0）,CM=（孚,0,1j,

QP〃=0,

-即

{D4〃=0,

-y+2z=0,

.2小1+3y=0,_近

令y=2,得〃=（—3,2,1）.

•・,nCM=一3X坐+2X0+lx|=0,AwlCM,

又CM。平面以D,「.CM〃平面附D

⑵取AF的中点K,并连接

则七（小，2,1）,BE=（一小,2,1）,

•；PB=AB,C.BELPA.

-A-A

又BEDA=（-事,2,1）.（2事,3,0）=0,

：.BE1DA,则BEJ_OA.

•・・％GO4=A.・・・BE_L平面PAD,

又TBEU平面必8,.I平面布B_L平面布O.

能力提升题组

（建议用时：25分钟）

一、选择题

1.己知A3=(l,5,-2),5c=(3,1,z),若A5J_3C,BP={x~\,)，，一3),且

3PJ_平面A3c贝L+y的值为().

A.eqB.eqC.eqD.eq

-A-A-A-A

解析,：ABLBC,：.ABBC=0,即3+5—2z=0,得z=4,又BPJL平面ABC,

：.BPLAB,BPLBC,

则卜一叶"+6=。,

y=一号.于是x+y=4015=25