矩形菱形和正方形（讲练）-中考数学二轮复习

专题12矩形、菱形和正方形复习考点攻略

一、考点归纲与例题讲解

考点一矩形

1.矩形的性质：

（1）四个角都是直角；

（2）对角线相等且互相平分；

（3）面积=长x宽=2S&所4s乩（如图）

2.矩形的判定:

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形;

（2）有三个角是直角的四边形是矩形；

（3）对角线相等的平行四边形是矩形.

【答案】D

【解析】•・•四边形ABCD是矩形，.\ZABC=90°,AC=BD,OA=OC=OD=OB,

故选：D.

【例2】如图，已知平行四边形中，E是8。的中点，连接AE并延长，交QC的延长

线于点R且AF=AQ,连接8/W求证：四边形4/3FC是矩形.

B

E

【答案】见解析

考点二菱形

1.菱形的性质：

（I）四边相等：

（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角;

（3）面积=底x高二对角线乘积的一半.

2.菱形的判定：

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四条边都相等的四边形是菱形.

【答案】115。

.,.ZBCD=18O0ZB=13O°,ZACE=—ZBCD=65°,

2

【例4】如图，在AABC中，八。是N84C的平分线，OE〃人C交AB于七，。尸〃人8交4c

于凡求证：四边形AED尸是菱形.

【答案】见解析

【解析】TOE〃人C,DF//AB,

・・・四边形AEQ厂为平行四边形,

：.ZFAD=ZEDA,

:A。是N8AC的平分线，：.ZEAD=ZFAD,：,ZEAD=ZEDA,

：,AE=ED,J四边形AEDF是菱形.

考点三正方形

1.正方形的性质：

（1）四条边都相等，四个角都是直角；

（2）对角线相等且互相垂直平分；

（3）面积=边长x边长二25乙八以尸45“08.

2.正方形的判定：

（I）有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；

（2）一组邻边相等的矩形是正方形；

（3）一个角是直角的菱形是止方形；

（4）对角线相等且互相垂直、平分的四边形是正方形.

【例5】如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD,AD上，8E与C/交于点G.若BC=4,

DE=AF=\,则G/的长为（）

1312

A.—B.

5T

C,史16

D.

5T

【答案】A

【解析】正方形"CO中，•••8C=4,

：,BC=CD=AD=4tNBCE=NCOQ90。，

'：AF=DE=\,:.DF;CE=3,：.BE=CF=5,

:.ABCEWACDF(SAS),：.ZCBE=ZDCF,

⑦

①两组对边分别平行：②相邻两边相等：③有一个角是直角；④有一个角是直角：⑤相

邻两边相等；⑥有一个角是直角，相邻两边相等；⑦四边相等；⑧有三个角都是直角.

［例7］如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是

AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE,则四i力形EFGH的形状是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】C

【解析】由点E、F、G、”分别是任意四边形A8CO中AZXBD、BC、CA的中点，根据三

角形中位线性质，得EF=GH=L\B,EH=FG=-CD,又由AB=CD,得EF=FG=GH

22

=£〃时，四边形EFG”是菱形.

二•点、E、F、G、，分别是任意四边形4BCO中40、BD、BC、C4的中点，

2

AB,EH=FG=—CD,VAB=CD,:.EF=FG=GH=EH时,四边形EFG”是菱形，故选

2

C.

考点五中点四边形

（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.

（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.

（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.

（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.

【例8】如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一

定满足的条件是（）

A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分

【答案】c

根据题意画出图形如卜.：答：AC与BD的位置关系是互相垂直.

证明：•・•四边形EFGH是矩形，・・・NFEH=90。，

又：点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，JEF是三角形ABD的中位线,

，EF〃BD,.\ZFEH=ZOMH=90°,

又•・•点E、H分别是AD、CD各边的中点，...EH是三角形ACD的中位线，

，EH〃AC,.\ZOMH=ZCOB=90°,即ACJLBD.故选C.

二、眼踪拓展训烁题

第一部分选择题

一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）

1.如图，在平行四边形48CO中，〃、N是3。上两点，BM=DN,连接AM、MC.CN、NA,

添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）

2

【答案】A

【解析】由平行四边形的性质可知：OA=OC,O8=OD再证明OM=ON即可证明四边形

4MCN是平行四边形.

证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

：,OA=OC,OB=OD

•・•对角线4。上的两点N满定BM=DN,

：.OB-BM=OD-DN,即OM=ON,

/.四边形AMCN是平行四边形，

・.・OM=LC,

2

:・MN=AC,

・•・四边形AMCN是矩形.

2.如图，四边形A8CO为菱形，A8=2,NOA8=60。，点E、厂分别在边。C、BC±,且

CE=—CD,CF=—CB,则以位尸=()

33

A.返B.返C.返D.返

2349

【答案】D.

【解答】•・•四边形人8CO为菱形，人8=2,ZDAB=60°

：.AB=BC=CD=2,NDCB=60。

*：CE=—CD,CF=—CB

33

：.CE=CF=—

3

•••△CE/为等边三角形

:&CEF=*~xg)2音

3.顺次连接菱形四边的中点得到的四边形一定是()

A.正方形B.菱形C.矩形D.以上都不对

【答案】C

【解析】解：如图，•••四边形ABCD是菱形，・・・ACJ_BD,

VE,F,G,H是中点,；・EF〃BD,FG〃AC,AEF±FG,

同理：FG1HG,GH1EH,HE±EF,•••四边形EFGH是矩形.故选：C.

4.把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）

（亚⑻：（C）l（。）：

6354

【答案】八

211

【解析】阴影部分面积=lx—x—=上

326

5.如图为矩形ABCD,一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别

为a和b,则a+b不可能是（）

4I-------1。

5'-------T

A.360°B.540°C.630°D.720°

【答案】C.

【解析】一条直线将该矩形ABC。分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180。的

倍数，都能被180整除，分析四个答案，

只有630不能被180整除,所以a+h不可能是630°.

6.如图，矩形4BC。中，对角线4c的垂直平分线所分别交BC,于点E,F,若BE=

A.4^5B.4立C.10D.8

【答案】A

【解析】连接AE,由线段垂直平分线的性质得出OA=OC,AE=CE,证明

COE得出AF=CE=5,得出AE=CE=5,BC=BE+CE=8,由勾股定理求出AB=

22=4,

7AE-BE再由勾股定理求出AC即可•

连接AE,如图：

VEF是AC的垂直平分线，

：.OA=OC,AE=CE,

•・•四边形A8CO是矩形，

AZB=90°,AD//BC,

：・/OAF=/OCE,

rZAOF=ZCOE

在“OF和aCOE中，，OA=OC,

ZOAF=ZOCE

:.(ASA),

：.AF=CE=5,

：.AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=S,

A^=7AE2-BE2=V52-32=4,

Z.AC=AyAB2+BC2="2®=4%；

7.如图，在菱形ABC。中，AB=5,4。=6,过点。作Z）E_L84,交B4的延长线于点E,则

线段DE的长为（）

E

BC

24

C.4D.

T

【答案】D

故选D.

8.如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形,那么原来四边形的对角线一定满足

的条件是（）

A.4相平分B.相等C.C相垂直D.互相垂直平分

【答案】C

【解析】根据题意画出图形如下：答：AC与BD的位置关系是互相垂直.

证明：•・•四边形EFGH是矩形，・・・NFEH=90。，

又•・•点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，，EF是三角形ABD的中位线,

，EF〃BD,AZFEH=ZOMH=90°,

又•・•点E、H分别是AD、CD各边的中点，JEH是三角形ACD的中位线，

，EH〃AC,.\ZOMH=ZCOB=90°,即AC_LBD.故选C.

【答案】B

9.如图①，E为矩形A8CD的边A。上一点，点。从点8出发沿折线8-E-。运动到点。

停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1c加s.现P,Q两点

同时出发，设运动时间为.Ms），的面积为y（c加2）,若），与x的对应关系如图②所示，

则矩形48C。的面积是（）

A.96cm2B.84。〃尸

【答案】C

【解析】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x=IO,y=30,

AED=4,.'.BC=AD=I2,・••矩形的面积为12x6=72.

故选：C.

第二部分填空题

二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）

12.如图，已知菱形ABCQ的对角线AC,8。交于点O,E为的中点，若OE=3,则菱

形的周长为.

D

0

B

【答案】24

【解析】•・•四边形A8CD是菱形,

：,AB=BC=CD=AD,BO=DO,

•••点七是4c的中点，

•••0E是△BCO的中位线，

，CO=2OE=2x3=6,

，菱形48CD的周长=4x6=24

13.如图，在正方形纸片44CO中，E是CO的中点，将正方形纸片折叠，点3落在线段AE

上的点G处，折痕为AF.若AQ=4C7〃，则C/的长为cm.

【答案】6-2V5.

【解析】设贝ijFG=x,CF=4-x,在即AGE尸中，利用勾股定理可得七产=(2加

-4)2+7,在MAFCE中,利用勾股定理可得后产=(4-x)2+22,从而得到关于x方程，

求解x,最后用4-x即可.

设BF=x,则FG=x,CF=4-x.

在Rt^ADE中,利用勾股定理可得AE=2A/5.

根据折叠的性质可知AG=AB=4,所以GE=2在-4.

在RfAGEF中,利用勾股定理可得£产=(275-4)2+x2,

在RfNCE中,利用勾股定理可得后产=(4-x)2+22,

所以(2加・4)?+/=(4-x)2+22,

解得x=2-\/5-2.

则FC=4-x=6-2加.

14.如图，在2x6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶

点叫格点，点A,B,C在格点上，连接A8,BC,则tan/A8C=.

【答案】i

2

【解析】连接AQ，根据网格利用勾股定理求出AB,AD,3。的长，利用勾股定理的逆

定理判断出三角形人以）为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出所求即可.

连接A。，由勾股定理得：AD=r]2+]2==^^,AB=个/+2?=2^"^,BD=^]2+32="10,

222

•・,（V2）2+（2讹）2=（V10）2,cpAD+AB=BD,

•••△AB。为NB4D是直角的直角三角形，

B

15.如图，矩形ABCO中将其沿E/翻折后，。点恰落在B处，ZBFE=65°,则

NAEB=.

【答案】50°

【解析】如图所示,

由矩形ABCO可得A£)〃BC,.\Zl=ZBra=65°,由翻折得N2=N1=65。,

AZAEB=1800-Zl-Z2=180o-65o-65o=50°.故答案为：50°.

【解析】解：由题干•描述可作出两种可能的图形.①MN交DC的延长线于点匕如下图所

示

②MN交DC的延长线于点F,如下图所示

第三部分解答题

三、解答题(本题有7小题，共56分)

17.已知：如图,在同AACD中,AEIRC,CFIAD.E,尸分别为垂足.

(1)求证：AABEQACDF；

(2)求证:四边形4EC尸是矩形.

【答案】（1）见解析：（2）见解析.

【解析】（I）证明：•・•四边形A8CQ是平行四边形,

B=/D,AB=CD,AD//BC,

'：AE±BC,CF1AD,

，NAEB=ZAEC=ZCFD=ZAFC=90Q,

"ND

在八A“上前中，，NAEB二NCFD，

AB二CD

・••△ABE/ACDF（A4S）；

（2）证明:YAD//BC,

：.ZEAF=N4£4=90°,

，ZEAF=ZAEC=NArC=90°,

J四边形AEC产是矩形.

18.如图，在菱形A4C。中，点£：、产分别为A。、C。边上的点，DE=DF,

求证：Z1=Z2.

【解析】证明：•・•四边形48C。是菱形,

：.AD=CD,

rAD=CD

在AA。/和△(?£)£中，，ND二ND，

DFRE

:•△ADF沿XCDE(SAS),

AZ1=Z2.

19.如图，在菱形A8c。中，点£F分别为AD.。。边上的点，DE=DF,求证：Z1=Z2.

【答案】见解析.

【解析】•・•四边形A8CO是菱形,

：.AD=CD,

：.^ADF^^CDE(SAS),

AZ1=Z2.

【答案】见解析

【解析1证明：连接BD,交AC于O,如图所示:

•・•四边形ABCD是菱形，・・・OA=OC,OB=OD,AC±BD,

VAE=CF,Z.OE=OF,工四边形BEDF是平行四边形，

,••EF_LBD,J四边形BEDF是菱形.

21.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,AD=4cm,EF经过对角线BD的中点O,分别交

AD,BC于点E,F.

(1)求证：aBOF&ADOE；

(2)当EFJ_BD时，求AE的长.

7

【答案】(1)见解析；(2)-cm

【解析】(1)•・•四边形ABCD是矩形,

，AD〃BC,

.\ZBFO=ZDEO,NFBO=NEDO,

又TO是BD中点，

.\OB=OD,

AABOF^ADOE(ASA)

(2)连接BE.

VEF1BD,O为BD中点，

.\EB=ED,

设AE=xcm,由EB=ED=AD-AE=(4-x)cm,

在RIAABE中,AB=3cm,

根据勾