全等三角形热考模型（期中复习讲义）原卷版-2024八年级数学上学期（人教版）

专题04全等三角形热考模型（期中复习讲义）

明•期中考情.

核心考点复习目标考情规律

掌握倍长中线的方法，能利用该模型构造全常作为几何证明与计算的辅助手段，在中档

倍长中线模

等三角形，解决线段和角的等量关系、线段及较难题型中出现，用于转化线段或角的关

型

的位置关系等问题系

高频出现在几何证明题中，尤其是涉及线段

截长补短模熟练运用截长补短的策略，构造全等三角形，

和差的问题，是解决此类问题的核心模型之

型证明线段的和、差、倍、分关系

理解•线三等角模型的特征，能识别并利用在三角形、四边形的几何题中较为常见，常

一线三等角

该模型证明三角形全等，进而求解线段长度、结合全等三角形和相似三角形（后续学习）

模型

角度大小等考查，是几何图形中的典型模型

明确手拉手模型的构成条件，能运用该模型常以综合题的形式出现，可与旋转等图形变

手拉手模型证明三角形全等，推导线段和角的关系，解换结合，考查学生对全等三角形的综合运用

决相关几何问题能力

熟悉半角模型的结构，能借助该模型构造全

多在较难的几何综合题中考查，需要学生具

半角模型等三角形，处理含有半角的线段和角的关系

备较强的图形分析和模型应用能力

问题

掌握对角互补模型的性质，能利用该模型结常与圆（后续学习）、角平分线等知识结合，

对角互补模

合角平分线、全等三角形等知识，解决角度在几何证明与计算中应用，考查学生的知识

型

和线段的相关问题综合运用能力

理解婆罗摩笈多模型的内容，能运用该模型

婆罗摩笈多主要在涉及等腰直角三角形的几何题中出

解决与等腰直角三角形、中点相关的线段长

模型现，是解决此类特殊三角形问题的重要模型

度、位置关系等问题

能灵活运用角平分线的性质（角平分线上的

与角平分线常与三角形、四边形的知识结合，在几何证

点到角两边的距离相等）和判定（到角两边

有关的热考明与计算中广泛应用，是角的相关问题的核

距离相等的点在角的平分线上），结合全等三

模型心考点

角形等知识，解决角和线段的相关问题

■记•必备知识.

知识点01倍长中线模型

1.倍长中线模型

条件在AABC中，AD是AABC的中线

图示

辅助线作法延长AD至点E,使AD=DE,连接BE延长AD至点E,使AD=DE,连接CE

结论

【总结】

1）口决：见中线（或中点），可倍长，得全等，转边、角：

2）倍长中线后，具体逐按哪两点，可根据需要转化的边、角来判断；

3）倍长中线后，将两边都连接可构成平行四边形，可将三角形问题转化为平行四边形问题，再借助平行四

边形的相关性质解题.

2.倍长类中线模型

条件：在AABC中，D是BC的中点

作法：延长FD至点E,使FD=DE,连接CE

1知识点02截长补短模型

模型思路：证明一条线段等于两条线段的和，通常采用“截长法”或“补短法”.“截长法”的基本思路是

在长线段上截取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段：“补短法”的基本思

路是延长短线段，使延长的部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段.

截长法补短法

题目在AABC中AD平分NBAC,ZC=2ZB,求证：AB=AC+CD

图示

辅助在AB上截取AE二AC,连接DE延长AC到点E,使CD二CE,连延长AC到点E,使AB二AE,连接

线作接DEDE

法

结论△DEB是等腰三角形△CDE是等腰三角形△CDE是等腰三角形

【总结】

1）“截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是

在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解

决问题.

2）截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该

换一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路.

1知识点03一线三等角模型

一线三等角模型

已知ND=NACB=NE,AC=BC

图示

结论

一线三垂直模型

已知ZABC=ZACE=ZCDE=90°,AC=CEZABC=ZACE=ZCDE=90°,AC=CE

图示

结论

模型介绍：两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经

典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”.

模型特点：共顶点，等顶角.

条件如图，直线AB的同一侧作AABC和AAMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、

CN,两者相交于点E

图示M

KAN

结论\)AABM^AACN2)BM=CN3)ZMEN=Z2=60°(拉手线的夹角等于顶角)

4)AANF^AAMD5)AAFC^AADB6)连接DF,DF〃BN

7)连接AE,AE平分NBEN

知识点05半角模型

正方形内含型半角邻边相等且对角互补的四边形半角

iF方形ABCD,ZEAF=45°AB=AD.ZB+/D=180°.ZBAD=2/EAF

GAC

.肾

E_\E

------BOBB

条件:如图，已知NAOB=2NDCE=120°，CD=CE.

2.模型引申

条件：如图，已知NAOB=2NDCE=120",CD=CE,NDCE的一边与BO的延长线交十点D,•

【总结】对角互补模型：在四边形中，①一组邻边相等;②另外一组邻边的顶点所在的对角线是这组邻边组

成的角的平分线;③对角互补.三者知二推一.

知识点07婆罗摩笈多模型

题目特共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂

征现中点.直.

条件四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG,四边形A3CD、CEFG为正方形，连接BE、DG,I、C、

I、C、II三点共线，点I为DG中点H三点共线,C1I1BE

图示

辅助线延长IC到点P,使PI=IC,连接PG分别过点D、G作DMJ_CI与点M,NG_LCI于点N

作法

结论CH_LBE（知中点得垂直）DI=IG（知垂直得中点）

BE=2ICBE=2IC

知识点08与角平分线有关的热考模型

类型描述图示结论

见角平分线，用性已知BD平分NABC,PE±BC

质定理作法：过点P作PFLAB于点F

角平分线+垂直一已知BD平分/ABC,PE±BD

三线合一作法：延长PE,交AB于点F

平行线+垂直一等BD平分NABC,PE〃BCBE=PE

腰^

DF平分NBDE,DE〃BCBD二BF

・破•重难题型.

仅题型一中点处理方法

解I题I技I巧

遇到中点的时候，通常会延长过该中点的线段.倍长中线指延长一边的中线至一点，使所延长部分与该中

线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等.

重难点一倍长中线模型

1.（2425八年级上•全国•期末）综合与实践

【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如卜问题：

如图1,△力中，若48=6,AC=4,求8。边上的中线力。的取值范围.

小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长40到£,使0E=4D,连接8£请根据小

明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△4DC空△ED8,依据是；

A.SSSB.AASC.SASD.HL

（2）由“三角形的三边关系"，可求得40的取值范围是.

解后反思：题目中出现“中点""中线"等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证

的结论集合到同一个三角形中.

［初步运用］

（3）如图2,力。是△48C的中线，BE交AC于E,交4D于F,AE=EF.若EF=3,EC=2,求线段8F的

长.

2.（2526九年级上•陕西西安•开学考试）问题探究

（1）如图1,在A4BC中,点。、E分别在BC、4C边上,连接BE、DE,过点力作BC的平行线,交。£的延

长线于点巴若BE1AC,DE=FE,求证：Z.ABE=Z.CBE；

问题解决

（2）某校计划修建校园科创角，其平面规划示意图如图2所示，在四边形48CD中，ABWCD,AB=CD,

设计师计划在5c边上取点E,在48边上取其中点F,连接OE、EF、FD,使得乙川咕=90。，将△DE/呕域

规划为研发区，为合理预算，需要知道BE、CE、EO之间的数量关系.请你帮助设计师求出BE、CE、ED之

间的数量关系，并说明理由.

3.（2425七年级下•陕西咸阳•阶段练习）【问题提出】

（1）如图①，在a/lBC中，若48=10,AC=6,4）是边BC上的中线，求24。的取值范围.小明的做法

如下：如图①，延长力。至点E,使DE=4）,连接BE,则△BDEwZiCDA,依据的判定方法是,由

三角形的三边关系可知的取值范围为；

（2）如图②，AB=AE,AC=AF,48AE=尸=90°,点。为BC的中点，试说明：EF=2AD；

【问题解决】

（3）如图③，四i力形/8C0是某公园的一片玫瑰园，对角线/1C是中间的一条通道,现正俏玫瑰盛开的肝季，

为方便游客观赏，要沿对角线铺设一条小路，在两条小路的交点处修建一座观景塔E（观景塔大小忽略

不计），在边BC的中点广处设置一个出入口，再沿EF铺设一条小路将游客分流，采购部需要知道80与EF之

间的数量关系购买原材料.按照设计要求，NCE尸=/.BAC+Z-BAD=180°,请你帮采购部探究线

段BD与£尸之间的数量关系（小路宽度忽略不计）.

重难点二倍长类中线模型

4.（2223八年级下•广东深圳•期中）如图（1）,己知C4=CB,CD=CE,R^.ACB=Z.DCE,将△QCE绕C

点旋转（4、C、。三点在同一直线上除外）.

（1）求证：&ACDGBCE；

（2）在△£）（?£绕C点旋转的过程中，若初人48所在的直线交于点F,当点F为边的中点时、如图2所示.求

证：LADV=^BEF（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）；

⑶在（2）的条件下，求证：AD1CD.

5.（2425八年级上Z南昆明•期木）综合与实践；

【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图1，在△力3c中，AB=6,AC=4,求BC边上的中

线40的取值范围.

【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：

①延长力。到E,使得。E=AD；

②连接BE,易证△4CD三△E8D，于是我们把48,AC,24D转化在△力中；

③利用二角形的二边关系可得的取值范围为48-BE<AE<AB+BE,从而得到4。的取值范围.

【总结方法】解题时，条件中若出现“中点〃、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已

知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(1)如图1,相和BE的位置关系是：/W的取值范围是.

(2)如图2,在△/18C中，点。是BC的中点，点E在/W边上，与CE相交于点F若区4=EF,求证：AB=CF

【问题拓展】

(3)如图3,在△ABC中，ABAC=90°,/W平分点E为8c边的中点，过点E作EFII/W交AC于点F,

交B4的延长线于点G,若SMBC=15,CF=6,求4G的长度.

6.(2425七年级上•山东烟台・期中)数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：

如图1,在△ABC中，AB=10,AC=6,。是8C的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.

【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：

(1)如图1,延长4。至点£,便DE=AD,连接根据,可以判定仆ADB三4EDC,得出48=EC.这

样就能把线段力8、4。、24。集中在4/1。£中.利用三角形三边的关系，即可得出中线/I。的取值范围.

【模型构建】

当条件中出现“中点〃、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”一一把中线延长一倍，构造全等三角形，把分

散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线〃法.

【类比应用】

(2)如图2,在中，。是9C边上的中点，AB=6,AD=4,AC=10,贝ijDC?=.

【拓展提升】

(3)如图3,在△48C中，。是8。边上的中点，DEJ_Q尸于点D,0E交48于点E,DF交AC于点F,连接E凡

求证：BE+CF>EF.

「题型二截长补短模型

解|题|技|巧

截长;在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；；

补短;将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段；或者将短线段直接延

长至等于长线段.

【小结】无论截长还是补短都需要将几条线段的和差问题转化为证两条线段相等的问题，一般情况要通过

全等实现.

重底点一截长法

7.（2223八年级上•山东济宁・期中）阅读下面文字并填空:

数学习题课上李老师出了这样一道题:“如图1,在A/IBC中，力。平分=2”.求证：4B+B£）=4C〃.

李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD=4C就是要证线段的和差问题，李老师采用了，截长法:如图2,

在HC上截取4£=力8,连接0E,只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段

相等问题，只要证出4=△，得出28二乙1E0及80=,再证出

Z=Z,进而得出ED=EC,则结论成立.

请仿照上题方法解决以下问题：

变式应用：如图，△48C和△BDC是等腰三角形，月.AB=4C,BD=DC,^BAC=70°,^BDC=110°,

以4为顶点作一个35。角，角的两边分别交边CD,08延长线于点£、F,连接EF,则BE,EF,FC之间存在

什么样的关系？并说明理由.

8.（2324八年级上•重庆江北•阶段练习）阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、

差、倍、分等问题中有着广泛的应用.具体的做法是在某条线段卜截取一条线段等干某特定线段，或将某

条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.

（1）如图，4。平分Z84C,NB=2zC,探究4B、BC与AC之间的关系.

解决此问题可以用如下方法：在力C上截AM=AB,易证△ABDNAAMD,则8。=DM,乙B=4AMD=2zC,

利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到及AC的数量关系是.（此方法为截长法，

当然我们也可以考虑延长48）

（2）问题解决：如图2,在四边形/BC0中，AB=AD,^.ABC4-/.ADC=180°,E、F分别是边8C,边CO上

的两点，^EAF=-Z.BAD求证：BE+DF=EF.

2f

（3）问题拓展：如图3,在△48。中，Z.ACB=90°,AB=2AC,4。平分△力8c的外角4B4E,DE_L力。交C4延

长线于点E,F是AC上一点，且0尸=08.求证：AC-AE=^AF.

重难点二补短法

9.（2324八年级上•江西南昌・期中）综合与实践

问题提出如图1,在△4BC中，＜。平分NB4C,交BC于点D,R^ACB=2zF,贝必8,CD,4c之间存在

怎样的数量关系？并说明理由.

方法运用

（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题.如图2,延长力C至点E,使得力E=AB,连接DE,.......

请判断48,CD,4c之间的数量关系并补充完整解题过程.

（2）以上方法叫做“补短法〃.我们还可以采用“截长法〃，即通过在48上截取线段构造全等三角形来解题.如

图3,在线段4B上截取AB,使得,4F=（D,连接②.请补全空格，并在图3中画出辅助线.

延伸探究

（3）小明发现“补短法〃或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题.如图4,在五边形A8CDE中，

EA=FD,AB+DC=BC,Z.A+Z,D=180°,若乙BCD=120°,求，8CE的度数.

10.（2425八年级下•陕西榆林•期中）（1）【阅读理解】如图1,在四边形4BCD中,对角线82平分乙4BC,

ABAD+乙BCD=180°.求证：DA=DC.

思考：“角平分线+对角互补"可以通过"截长、补短”等构造全等去解决问题.老师给出一个方法：延长84到

点N,使得8N=8C,连接。N,得到全等三角形，进而解决问题；结合图1,根据老师提出的方法，添加

辅助线并完成证明；

（2）【问题解决】如图2,在（1）的条件下,连接AC,当H4C=60。,乙48。=120。时，探究线段力8,BC,

之间的数量关系，并说明理由.

国题型二一线二等角模型

解|题|技|巧

“一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条

直线上构成全等图形，这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直

线的异侧.

重难点——线三垂直模型

11.（2425八年级上•湖北武汉•阶段练习）如图，4、C、E三点在同一条直线上，AB=AD,LB=^DAC,

BC=AE.

（1）求证：BC=DE+CEx

（2）当△ABC满足时，BCIIDE?

12.（2425八年级上•云南•阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】

某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1,由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图

（如图2、图3）,即“一线三等角“模型和伙字〃模型.

【问题发现】（1）如图2,已知△力BC中，以1=。氏Z.ACB=90°,一直线过顶点C,过4£分别作其垂

线，垂足分别为E,F,求证：△AECWACFB：

（2）如图3,若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出£入AE,B尸之间的数量关系，并说明理

由：

【问题提出】（3）在（2）的条件下，若BF=4AE,EF=5,求△B尸C的面积.

13.（2324八年级上•山西大同•阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图

形.

⑴如图1.己知：在△48C中，^BAC=90°,AB=AC,直线/经过点4BO_L直线/,CEJL直线/,垂足

分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.

（2）组员小明对图2进行了探究，若N84C=90。，AB=AC,直线/经过点A.8DLS线/,CE_1直线/,垂

足分别为点。、E.他发现线段DE、8D、CE之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段DE、BD、CE之

间的数量关系，

⑶数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：

如图3,过的边48、〃•向外作正方形48DE和正方形4CFG（正方形的4条边都相等，4个角都是直

角），4H是3c边上的高，延长从4交EG于点/,若BH=3,CH=7,求力/的长.

重难点二一线三等角模型

14.（2122八年级上•贵州铜仁•阶段练习）（1）如图1,已知△/BC中，乙BAC=90°,AB=AC,直线m经过

点4BD1直线m,CEJL直线m,垂足分别为点D,E.求证：DE=BD+CE.

（2）如图2,将（1）中的条件改为：在A/IBC中，AB=AC,。,4E三点都在直线m上，并且有48。力=^AEC=

乙B4C.请写出。氏8。,CE三条线段的数量关系，并说明理由.

15.（2324八年级上•湖南岳阳•期末）“一线三等角〃模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角〃

指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角〃模型的出现，还

经常会伴随着出现全等三角形.

根据对材料的理解解决以下问题团

（1）如图1,Z-ADC=Z.CEB=^ACB=90°,AC=BC.猜想DE,AD,BE之间的关系：

（2）如图2,将（1）中条件改为乙4。。=4。£8=乙4c8=履90。＜。＜180。），AC=BC,请问（1）中的结

论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3,在△48C中，点。为月8L一点，DE=DF,乙4=乙£。/二乙5,AE=2,BF=5,请直接写出力3

的长.

重难点三构造一线三垂直模型

16.（2425八年级上•四川成都•期中）（1）如图1,△ABC与中，乙8==AC=CD,B、C、E

三点在同一直线上，AB=8,ED=4,求BE的长.

（2）如图2,在△力8c中，Z-ABC=60°,BC=6,以AC为边在△ABC外部作等边△力CD,连接EO,＞RABCD

的面积.

（3）如图3,四边形ABC。中，LABC=LCAB=^ADC=45°,若△ACD面积为21且CD的长为8,求△48。

的面积.

17.12324八年级上•广东潮州•期中）如图,在RtZkABC中,乙4cB=90。,AC=BC=1,P为射线BC上一

动点（点?不与点8重合），以4P为直角边在4P的右侧作等腰直角三角形力PQ，^PAQ=90°.

⑴如图1,当点P在线段8。上时，求点Q到直线4C的距离；

⑵如图2,当点P运动到的延长线上时，连接BQ,交直线4C于点M,求证：BM=QM；

⑶点P在运动过程中，连接BQ,交直线47于点M,若SM8P=35-攻，则BP的长为.

18.（2223七年级下•广东深圳・期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用

三种不同方式摆放一副三角板（在△ABC中,〃BC=90°,48=CB；△DEF中，乙DEF=90。,“。尸=30°）,

并提出了相应的问题.

【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点8摆放在线段DF上时，过点力作AM1OF,

垂足为点M,过点C作CN_LD”,乖足为点N,

①请在图1找出一对全等三角形：在横线上填出推理所得结论；

•••Z.ABC=90°,

£ABM+Z-CBN=90°,

MM1DF,CN1DF,

:.Z.AMB=90°,乙CNB=90°,

:.NABM+=90°,

Z.BAM=乙CBN,

包4B4M=乙CBN

44M8=乙CNB=90°

AB=BC,

②AM=2,CN=7,则MN=:

【类比】（2）如图2,将两个三隹板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段E尸上E寸，过点C作

CP1DE,垂足为点P,猜想4E,PE,。尸的数量关系，并说明理由；

【拓展】（3）如图3,将两个三角板叠放在一起，当顶点4在线段DE上旦顶点B在线段E/上时，若AE=5,

BE=1,连接CE,则的面积为.

重难点四坐标系中构造一线三垂直模型

类型一两点在轴上，“一点垂”

19.(2425八年级上•青海西宁•期末)如图，在直角平面坐标系中,AB=BC,乙ABC=90°,71(3,0),B(0,-1),

则点C的坐标是.

20.(2425八年级上•新疆乌鲁木齐•期末)【建立模型】(1)萌萌学完全等三角形的知识后，遇到了这样一个

问题：如图1,Z-ACB=90°,AC=BC,过点力、B作AD1DE于点D,BE工DE于点E.求证：AD=CEf

CD=BE.萌萌发现只需证明△一以—即可；

【类比迁移】(2)在平面直角坐标系xOy中，Zi/IBC为等腰直角三角形，乙4cB=90。，点4(0,3),点C(—l,0),

点B在第四象限.

①如图2,求点B的坐标；

②如图3,若48交汇轴于点交y轴于点M,N是BC匕一点，且BN=CM,连接DN.求证CD+DN=AM,

【拓展延伸】(3)如图4,点4(0,3),点。(一1,0)，若点力不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以力C,

OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△/1CE与等腰直角△。。凡其中4力。£=乙。。尸=90。，连接EF交

无轴干P点，问当点C在汇轴的负半釉卜.移动时，C0的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，靖真

接写出其长度.

类型二一点在轴上，“两点垂”

21.(2425八年级上•江苏南通•阶段练习)课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角尺放在黑板上画好了

的平面直角坐标系内(如图)，已知直角顶点H的坐标为(0,1),另一个顶点G的坐标为(6,6),则顶点K的

坐标为.

22.(2425八年级上•广东广州•期末)如图3,在平面直角坐标系％Oy中，已知点力(2,0),9(a,b)(a>2,b>2),

ACA.AB,且4c=4B,则点C坐标为.

类型三无点在轴上，“一平两垂”

23.(2425八年级上•福建宁德•期中)如图，△ABC顶点在同一平面直角坐标系下，力点的坐标为(3,4),B点

的坐标为(5,9),AB=BC,AB上BC,则点C的坐标为.

24.(2021八年级上•黑龙江哈尔滨•期末)我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判

定，在些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题,例如：我们在解决：”如图1,在△A8C中，

/-ACB=90°,AC=BC,线段OE经过点C,RAD1DE于点、D,BE1DE于点E.求证：AD=CE,CD=BE"

这个问题时，只要证明△/I。。三△CEB,即可得到解决，

图1

积累经验：（1）请写出证明过程：

类比应用：（2）如图2,在平面直角坐标系中，△<8。中，乙AC8=90。，AC=BC,点2的坐标为（0,2）,

点C的坐标为（1,0）,求点8与x轴的距离.

拓展提升：（3）如图3,△ABC在平面直角坐标系中，LACB=90°,AC=点4的坐标为（2,1）,点C

的坐标为（4,2）,求点8的坐标.

类型四顶点不确定，分类讨论

25.（2425八年级上•河南省直辖县级单位•期末）如图，4（一2,0）,8（0,-4）,以点4为直角顶点，4B为腰作

等腰直角△力8C.则点C的坐标为.

26.（2425八年级上•江苏泰州•阶段练习）在平面直角坐标系中，点力（-2,0，8（1,-1）,连接力B,现将

线段48绕点4旋转90。，点8的对应点为夕，则点夕的坐标为

国题型四手拉手模型

解I题I技I巧

重难点一等腰三角形手拉手模型

27.（2324八年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，

并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

⑴发现问题：如图1，△A8c和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC、DE分别是底边.求证：BD=CE；

（2）解决问题：如图2,若△A8C和均为等腰直角三角形，乙44c=4D4E=90。，点8、D、E在同一

条直线上，71M为中边上的高，连接8E,请判断线段AM,CE,8E之间的数量关系尹说明理由.

⑶尝试探究：如图3,在（2）问的条件下，延长交8。于点P,BE与AC交于点、N,连接PN,乙4PB=乙NPC,

AM:PM=3:2,CN=7.5,求BE的长度.

28.（2324七年级下.山东泰安•期末）综合实践在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模

型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角

形.兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此

图形为"手拉手全等模型〃.因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型〃,

如图1,△/WC与△710E都是等腰三角形，其中乙/E,则△4B0三△ACE（SAS）.

【深入研究】如图3,已知△48C,以AB、4c为边分别向外作等边A4BD和等边A4CE,BE、CD交于点Q.求

乙DQB的大小，并证明：BE=CD.

【拓展延伸】如图4,在两个等腰直角三角形4力"和4ADE^,AB=AC,AE=AD,乙BAC=皿E=90°,

连接B。，CE,交于点P,请判断BD和CE的关系，并说明理由.

重难点二等腰直角三角形手拉手模型

29.（2425八年级匕黑龙江哈尔滨•期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉

手”图形.数学兴趣小组的几名同学对“手拉手〃图形进行了探究.

(1)初步探究：如图LaAOB与ACO。的顶点。重合，乙力08=乙COD=90。,。A=OB,OC=OD,连接4D、8C,

他们通过测量发现在△4。8和4COD绕点。转动的过程中，AD=BC,请你证明他们的结论；

(2)大胆猜想：如图2,在(1)的条件下，连接力C、8D,他们猜想△/IOC的面积与AB。。的面积相等，请证

明他们的猜想是正确的；

⑶拓展延伸：如图3,在(2)的条件下，当乙4。。=90。时，延长。。交BD于点G,CG=8,△BCO的面积

为18,求4c的长度.

30.(2425八年级上•辽宁沈阳•开学考试)综合与实践

某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共顶角的顶点，并把

它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为"手拉手〃图形.

⑴［材料理解］如图①，分别以△力8C的边48"。为边向外作等腰直角△力3。和^ACE.Z.BAD=Z.CAE=90°,

AC=AE,AB=AD.连接BE、CD,问BE与G9有怎样的等量关系，并说明理由；

⑵［深入探究即图②,连接。£,若/。=12.AB=14,DE2+BC2=：

(3)［实际应用］如图③,要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得乙48C=45°,Z.CAE=90%AC=

AE,48=50米，BC=30米，BE的长为.

重难点三等边三角形手拉手模型

31.(2021八年级上•广东广州•期中)如图，已知点8,C,D在同一条直线上，A/WC和△(?/)£1都是等边三

角形.BE交AC于F,4。交CE于G,BE交AD于O.

(1)求证：AACD^△BCE：

(2)求〃08的度数;

⑶求证：△CFG为等边三角形.

32.(2023八年级上•山东滨州•竞赛)如图1,A,8,C三点共线，分别以48,4c为边在BC同侧作等边三角

形48。和等边三角形力EC,则有8E=DC,乙BOD=60°.

⑴如图2,若4B,C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明：若不成

立，请说明理由.

⑵如图3,若把图2中“等边三角形力80和等边三角形4EC",改为"以点八为直角顶点的等腰直角三角形4BD

和等腰直角三角形力EC”,其余条件不变，则乙8。0=。；若。。=6,则8E=.

⑶在图2中，若把“等边三角形48。和等边三角形AEC",改为其他的特殊三角形，其余条件不变，BE,DC

要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，ZBOD会变化吗？若变化，设

乙4BD=a,请用含a的式子表示Z80D.

重难点四【跨章节】构造手拉手模型

33.(2425八年级上•浙江杭州•期中)定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那

么称此图形为“手拉手全等模型”.例如，如图①，△4BC与Zi/iDE都是等腰三角形，其中4B4C=，DAE,

则三△力CE(SAS).

(1)如图②，△48C与△40E都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,R/.BAC=Z.DAE,求证：BD=CE.

⑵如图③若和AOCE均为等腰直角三角形，^LACB=^DCE=90°,点4。，E在同一条直线上，CM

为ADCE中DE上的高，连接BE,求N4EB的度数以及线段CM,AE,BE之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图④，在四边形4BCD中，AD=4,CD=3,^ABC=^ACB=/-ADC=45°,求BD的长.

34.(2122八年级上•贵州遵义•期末)央视科教频道播放的《被数学选中的人》节FI中说到，“数学区别于其

它学科最主要的特征是抽象与推理几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何

模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题.

(1)【模型探究】如图1,△48。和4力0£1中，AB=AC,AD=AE,R^BAC=Z.DAE,连接BE,CD.这一

图形称“手抖手模型求讦△48E三△ACO,请你完善下列过程.

证明：v/-BAC=^DAE,

•••Z.BAC—Zl=Z.DAE—Z1.

即，2=Z3.

(AB=AC

在△482和4ACDW⑴

(⑵

:.△ABE^△ACD()(3).

(2)【模型指引】如图2,△ABC中，AB=ACtZ.BAC=40°,以8为端点引一条与腰4c相交的射线,在射

线上取点。，使4W8=乙4C8,求48DC的度数.小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在8。上找一点E,

使4E=4D,最后使问题得到解决.请你帮他写出解答过程.

⑶【拓展延伸】如图3,^ABC^P，AB=AC,4BAC为任意角度，若射线BC不与腰4c相交，而是从端点8向

右下方延伸.仍在射线上取点D，使"DB=£ACB,试判断乙8力C与4BDC有何数量关系？并写出简要说明.

35.(2324七年级下•山东济南•期木)在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样个模型：它是

由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相府位置变化时，始终存在一对全等三角形.通过查询资

料，他们得知这种模型称为"手拉手模型"，兴趣小组进行了如下操作：

⑴观察猜想

如图1,在A/BC中，分别以4B,4c为边向外作等腰直角ZM8D和等腰直角△4CE,ABAD=/-CAE=90°,

连接BE,CD,则8E与CD的数量关系为_，位置关系为二

(2)类比探究

如图2,在△48C中，分别以AC为边作等腰直角△4BD和等腰直角ZiACE,/-BAD=^.CAE=90%点

D,E,C在同一直线上，力M为aACE中CE边上的高，猜想DC,BC,力M之间的数量关系并说明理由：

⑶解决问题

运用(1)(2)中所积累的经验和知识，完成下题：如图3,要测量池塘两岸相对的两点。，C的距离，已经

测得N/KB=45。，Z.DAB=90°,AB=AD,4c=15近米，BC=40米，CO的长为一米.

36.(2425八年级上•湖南岳阳•期中"综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，

则称此图形为“手拉手全等模型因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手

模型〃.

【问题初探】

(1)△ABC和△D8E是两个都含有45。角的大小不同的直角三角板，当两个三角板如图1所示的位置摆放时，

D、B,C在同一直线上，连接力0、CE,请证明：AD=CE

【类比探究】

(2必/BC和△08E是两个都含有45。角的大小不同的直角三角板，当三角板ABC保持不动时，将三角板05E

绕点8顺时针旋转到如图2所示的位置，判断4D与CE的数量关系和位置关系，并说明理由.

【拓展延伸】

(3)如图3,在四边形48CD中，LBAD=90°AB=AD,BC=-CD,连接力C,BD,LACD=45°,A到直

t4-

线CD的距离为7,请求出△BCD的面积.

重难点五【跨章节】正方形手拉手模型

37.(2025九年级上•全国•专题练习)如图，正方形ABCD的边长为3.E为与点。不重合的动点，以DE为一

边作正方形。EFG.设。后二由，点F、G与点C的距离分别为d?、d3,则由+d2+的最小值为.

38.(2425九年级上•湖北襄阳•期中)已知正方形力BCD和正方形CE/C

⑴如图1,当正方形CEFG在正方形48CD在外部时,连接BG,DE.求证：△BCGSADCE；

(2)如图2,将(1)中正方形CE/G绕点C旋转，使点G落在DE上.

①若=EF=V2,求线段BG的长；

②如图3,4C与BD交于点0,连接。G.判断线段0G与4B的数量关系并说明理由.

。题型五半角模型

解|题|技|巧

1)“半角”模型的核心识别条件是“共端点的等线段”和“共顶点的倍、半角”，也可以拓展到邻边相等

且对角互补的四边形中.

2）“半角”模型结论在证明过程中有两次重要全等:一次是旋转型全等:一次是对称型全等.只有将两次全

等证明完毕，才能继续向下推进.

重难点一90°半角模型

39.（2025•山东东营•中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的

几何问题.若四边形48。。是正方形，M,N分别在边CD,BC上，且乙AMN=45。，我们称之为"半角模型"，

在解决“半角模型〃问题时，旋转是一种常用的方法.

⑴【初步尝试】如图1,将△4OM绕点4顺时针旋转90。，点。与点B重合，得到△48E,连接MN.用等式

写出线段OM,BN,MN的数量关系.

（2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2,点M,N分别在正方形A8CD的边CD,的延

长线上，4M4V=45。，连接MN,用等式写出线段MN,DM,BN的数量关系，并说明理由：

⑶【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3.在四边形4反;0中./夕=AD.Z.BAD=120%zF+zD=

180°,点N,M分别在边8C,CD上，LMAN=60°,用等式写出线段8N,DM,MN的数量关系，并说明理

由.

40.（2024•江西•模拟预测）如图,四边形48CD是正方形,M,N分别在CD、BC上,且乙M4N=45。，我们

把这种模型称为“半角模型〃，在解决“半角模型"问题时，旋转是一种常用的方法，点。与点B重合，得到△AEB,

连接AM、AN、MN.

（1）求证；AAEB三AADM.

（2）如图，己知△RDM旋转