泉州市2026届高中毕业班质量监测（一）数学试题【教师版】

泉州市2026届高中毕业班质量监测(一)高三数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.若(1+i)z=2,则在复平面内z对应的点位于)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

l.【答案】D

22(1-i)

【解析】z=—二1一「复平面内z对应的点为。,一1).位于第四象限.

1+i(l+i)(l-i)

2.已知集合4={x|2<x<4},5={刘3'227},则4nB=)

A.[2,3]B.(3,4)C.[3,4)D.[2,+oo)

2.【答案】C

【解析】l={x|2Wxv4},B={x\3x>27}={x\x>3],所以力口8=[3,4).

3.已知双曲线C:一匕二1的一条渐近线的方程为2x—y=0,则〃?二)

m

11

A.4B.2C.一D.-

24

3.【答案】A

2

【解析】双曲线C：1-2L=1的一条渐近线方程为y=由题可知J£=2,777=4.

in

4.已知函数/(x)=cos(2x+°)的图象关于点巳,0中心对称，则其图象的一条对称轴方程可以是()

13)

7171冗71

A.x=---B.x=---C.x=—D.x=—

612126

4.【答案】C

【解析】函数的周期万，一个对称中心为所以其对称轴方程为7T7Tk.71,〜

/(X)7=0),x=—+—+——、keZ,

342

7F

当％=-1时，得t=二.

12

且当0<xWl时，/(x)=—d+x,则/|1=

5.定义在R上的奇函数/(x)满足/(x+2)=/(x)，

()

1]_

A.——BC.D

2-44-J

5.【答案】B

【教师版】第1页共18页

6.一条河两岸平行，河的宽度为1.2km,一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行.已知船在静水的

速嬖大小为13km/h,且船在航行过程中受水流的影响.当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时

间为6分钟，则水流速度的大小为()

A.1.3km/hB.5km/hC.10km/hD.12km/h

6.【答案】B

【解析】合速度的大小为上细=12km/h,所以水流速度的大小为而7=IF=5km/h.

O.lh

7.若实数x,乂z满足2、-2=3'-3=5:-5,则x,八z的大小关系不可能是()

A.x=y=zB.x>y>zC.z>y>xD.z>x>y

7.【答案】D

【解析】令2*-2=3)'-3=5二-5=/，得x=log2"+2)，^=log3(r+3),z=log5(r+5),r>-2,

在司一坐标系内作出函数/«)=log2«+2),g(/)=log3(r+3),〃«)=log5(f+5),]>—2的图象,

则x，〉，z分别是函数/«),g⑴,例/)的图象与直线/=〃(〃>—2)交点的纵坐标，观察图象得，当

一2<。<0时，z>y>x.当。=0时，x=y=z.当。>0时，x>y>zt因此ABC都可能，D不可

8.已知直线x+@一2缶+1=0与圆交于不同的两点力，8,若存在最

小值且最小值不大于60。，则尸的取值范围为()

A.("2]B.(73,2-73]C.(3,2⑨D.(3,6]

8.【答案】C

【解析】直线x+“—2"z+l=0过定点尸(一1,20),\OP\=3,直线与圆交于两点，所以点。在圆

内，所以/03,当最小时，点O到直线的距离达到最大值，为d=|OP|=3,当4。4=60。时,

r=25/3,所以，•的取值范围为(3,2百].

【教师版】第2页共18页

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题1=1要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.在直三棱柱力中，ZABC=90°,BB，=6AB=6BC,“为88'的中点，则()

A.A'CHCMB.4'C'〃平面4MCC.AM1BrCD.平面4WC_L平面HA/C'

9.【答案】BCD

【解析】HC与C'M为异面直线，A错误；由HC〃/。可得HC'〃平面4WC,B正确；

由"C'_L平面488W,4必0=平面48次4',可得C正确；

如图，取4c中点。，4C'的中点Q',连接QM,D'M,DD',则NQ/WQ'即为平面4/。与平面

HA/U所成二面角的平面角，不妨设BB'=®AB=®BC=2,计算得QA/=DM=近，DD'=2,

满足。河2+。，屈2=。。,2,所以即平面4〃。_1_平面0/(7,D正确.

10.在平面直角坐标系宜乃中，设b为抛物线C:/=4x的焦点，河是C上一点，点N(—1,0),若NM

的延长线与C交于点4.记N4VF=a,4AFN=。，4MFN=y,则)

A.tanor=sin/7B.tana=cos/?C.tana=sin/D.tana=cosy

10.【答案】AC

jnAHjn

【解析】如图，tana=—=——=——=sin(^-/?)=sin,A正确；

NDAA}AF

ta…邈二四二邈二si”，CM.

NEMMXMF

【教师版】第3页共18页

4丁E、I11cos4cosj?sinAcosB+co^AsinBsin(4+3)sinC

对于D,因为----+-----=------+------=-----------------------=----------=----------,

tanJtanBsinJsinBsinJsinBsin4sin8sin力sin8

又因为/+力2=202,所以cosC="+"—厂=二二s"C,

2ahlab2sinJsinB

2sin-C||2

22cosCx2sin」sin8sinC,所以——-+——-=-故D正确.故选：BCD.

—二~:~~=:~~~:~~ntart4tariotanC

tanCsinCsinCsinJsinB

三.填空题：木题共3小题.，每小题5分，共15分.

12.若一个等差数列的前3项和为9,前7项和为35,则该数列的第6项为.

12.【答案】7

【解析】=3t?2=9=>=3.S7=la4=35=>=5,

=1,6=%+4d=3+4x1=7.

13.若函数/(_r)=x(x-〃)2在R=1处取得极小值，则。=

13.【答案】1

a=1

14.已知：⑴在一系列独立重复的伯努利试验中，用X表示事件力第一次发生时已经进行的试验次数，

记每次试验中事件4发生的概率为M0<P<1)，则X的分布列为P(X=%)二2(1一p)i,A=1,2,3,…

如果随机变量X具有上式的形式，则称随机变量X服从几何分布，且石(X)=，；(ii)若随机变量X,。

P

满足*=则E(X)=£E©.).连续不断地抛掷一枚骰子，记录下它每次落地时朝上的面的点数,

J=1

直到2,4,6点均出现为止，则抛掷总次数的数学期望为.

14.【答案】11

【解析】设事件4表示抛掷一枚毂子朝上的点数为偶数.设随机变量。表示事件4第一次发生时已经进

行为抛掷次数.由于每次试验中，事件4的概率总为;，故。服从几何分布，石(。)=2.

记第一个投出的偶数点数为。.设事件4表示抛掷一枚股子朝上的点数为除/。以外的两个偶数.

设随机变量$表示从出现第•个偶数后，直到出现第二个不同利数所进行的额外抛掷次数.

【教师版】第5页共18页

在接下米的每次试验中，事件4的概率总为：，故4服从几何分布，£(务)=3.

记第二个出现的偶数点数为设事件。表示抛掷一枚骰子朝上的点数为除了。，人以外的那个偶数.

设随机变量刍表示从出现第二个不同偶数后，直到出现第三个橘数所进行的额外抛掷次数.

在接下来的每次试验中，事件C的概率总为，，故刍服从几何分布，七4)=6.

经过三个步骤，能保证2,4,6点恰好均出现，且出现次数最少的点数出现的次数为1.

随机变量X为抛掷骰子直至2,4,6均出现时已经进行的试验次数.x=q+$+刍.

故E(X)=ECJ+E&)+E6)=2+3+6=ll,故答案为：11

四、解答题：本题共5小题.，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

为比较A、B两种A1教学系统在提升教师备课效率方面的差异，研究人员在某地区随机招募了200名教

师，并随机分配其中100名使用系统A,其余100名使用系统B.经过一个月的试用后，以“备课时间减

少15%以上”作为备课效率显著畀升的标准，经整理得到如下列联表：

备课效率使用的教学系统显著提升没有显著提升合计

系统A7525100

系统B5545100

合计13070200

(1)证事件“该地区教师使用系统A后，备课效率显著提升”的概率为尸，求。的估计值；

(2)根据小概率值a=0.005的独立性检验，分析这两种AI教学系统在显著提升教师备课效率方面是否存

在差异.

附：/二——出土至——,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.0050.001

Xa3.8417.87910.828

753

6【解析】解法一：⑴尸，而」(或。支...........................................3分

3

故由频率估计概率，尸的估计值为一...................................................4分

4

(若作答未体现“估计”，或由样本估计总体，或由频率估计概率，扣1分.)

(2)零假设为“°：这两种AI教学系统在显著提升教师备课效率方面没有差异................2分

2_200x(75x45-55x25)2

根据表中数据可得,=8.791>7.879=JC5分

130x70x100x1000005

根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断“。不成立，..............................7分

即认为这两种AI教学系统在显著提升教师备课效率方面存在差异，此推断犯错误的概率不超过0.005.

【教师版】第6页共18页

.................................................................................9分

(卡方运算中，列式、运算和“>7.879”各1分.没有进行假设，满分最多为5分.)

解怯二：(1)设事件“该地区教师使用系统A”为M,事件“备课效率显著提升”为N......1分

由频率估计概率，得：P(M)=—=0.5,P(W)=—=0.375,...................2分

200200

nmP(MN)0.375…

P(NM)=-------=-----=0.75................................................3分

P(M)0.5

3

故由频率估计概率，。的估计值为一....................................................4分

4

(写出条件概率公式即给1分)

(2)同解法一.

16.(15分)

已知函数f(x)=x2,设曲线y=/(x)在点(X“,/(Z))(〃£N')处的切线与x轴的交点为(x“+”0),其中

X,=1.

(1)写出七，并求数列&”｝的通项公式；

(2)设数列｛〃相｝的前〃项和为S“，证明：\<4.

16.【解析】解法一：(1)由已知/'(x)=2x............................................1分

曲线歹=f(x)在点区J区))处的切线方程为y-/6)=/'区)。一马)，

即>一片=2x“(x-x”)............................................................2分

令y=0,得一x；=2x“(x-x”).....................................................3分

因为玉=1,所以工2=；，.................................................5分

XXI

因为％=1工0,所以五工0,得当讨二所以皿=上.

2X.2

故数列*“｝为等比数列，首项为1,公比为;............................................6分

所以"•......................................................................7分

(说明：直接写出9=3，七=；，写对一个各得1分，直接写出居=(；)再给1分;

【教师版】第7页共18页

当的过程，没有证明｛Xfl］通项公式的过程扣2分)

〃23n-\n，—+2一二+，，…2分

⑵叫二尸S”=l+]+>+・T

2〃一22〃-12〃2222^2〃-2〃

1、

lx

2)

两式相减可得：is,=i+-+4-+---+-1nn

r〃〃4分

222-2-12r

J2.

=2|1--6分

T)2"T

〃+2

所以二

S.42〃-i.................................................................................................................7分

因为安>0,所以S“<4....................................................................................................8分

2〃-1〃

解法二：%=会.............................................................................................................1分

令%二"^，则〃x”=c”+i-c,・...........................................................................................3分

所以s“=1+|+[+…+翳+£=(C2_q)+(C3_Q)+―+(C"|_c〃)............................4分

=q,+i-q................................................................................................................................6分

n+2

+4=47分

2'i

因为安>0,所以S“<4...................................................................................................8分

2〃-1〃

17.(15分)

X2v2

矩形48。的长为4,宽为2,其四边的中点恰为椭圆EiJy+RnK。〉/)〉。)的顶点.

(1俅七的方程及离心率；

(2)若尸，。，R三点在以力。为直径的圆上，且直线P。，PR均与E有且只有一个公共点，证明：△PQR

是直角三角形.

17•【解析】解法一：(1)由已知可得2〃=4,2/)=2,所以。=2,b=T,c=JJ...............2分

所以e=£=走,

....................................................................................................................3分

a2

【教师版】第8页共18页

E:—+y2=\...................................................................................................................................4分

4

（说明：求对。，6的值各得1分，写对离心率和方程各得1分）

（2）由已知，圆。的方程为：X2+/=5.........................................................................................1分

当点尸是矩形的顶点时，PQ,均与坐标轴垂直，则此时=.................2分

当点尸不是矩形的顶点时，设点P的坐标为（与，为），直线P。的方程为＞一为=勺（'—.％），

即了=%/+（%-占/）................................................................3分

联立?+/=1与广力+（%-审0），

消去y得:（1+4尢2*+防（为一左%）x+4（为一左/了一4二0.................................................5分

（说明：有联立方程给1分，化简正确再给1分）

由△=6%（%-左囱）2—4（1+%）[4（%-尢X。）2—4]=0,

化葡得（4一片）左；+2%%4+1—火=0........................................................................................7分

（说明：写出△=（）给I分，化简正确再给1分）

设直线产火的方程为＞一比=〃2（》一见），同理可得：（4一京）后+2见儿女2+1-$=°・

则尢，%是关于人的一元二次方程（4一只）公+2xoyok+1-K=O的两根，

故人左2二^4.................................................................................................................................9分

4-％

又片+y；=5,所以桃2J-C—：,）=T・.................................................................................1。分

4一*0

所以PQJLPR.

综上，ARPQ=-,△尸QR是直角三角形..............................................11分

解法二：设M,N分别为PQ,0H与七的公共点，且P（%,j%）,胡（不必），N（x29y2）.

由已知，圆。的方程为：x2+y2=5...............................................................................................1分

当点尸是矩形的顶点时，PQ,QR均与坐标轴垂直，则此时NRP0='................................2分

【教师版】第9页共18页

当PM,PN的斜率都存在时，设—y=勺（工一%），PN\y-y2=k2（x-x2）.

r2

联立、一m二4（X-X[）及：■+/=],消去＞得：（1+44；）/+8勺（必一4内）工+4（必一勺玉）2—4=0.

由△=6%（必一攵内）2-4（1+4k；）[4（必一占石）2_4]=0,化简得（4―X；）奸+2叱£+1-^=0.

又[■+"=[,所以4濡+2力£+4=0,即（2"后）=0解得匕=一含.

同理可得：鼠二一旦..................................................................3分

■仅

所以PM:歹一必二--—(x-x),可化为X1X+4%y=4.同理尸N方程可化为：x,x+4y,歹=4.

^4,■

...................................................................................................................................................4分

又PM,PN过点、P,则*%+4M％=4,工2%+4»2M)=4.所以A1,N都在直线/工+4%^=4上,

所以"N的方程为：x0x+4y0y=4........................................................................................5分

x2

2

联立/x+4%y=4及亍+)2=1,消去y得:(xl+4yl)x-8xox+16-16^=0.

nil8x016-16y；

则用+%=2：2，中2二，」，7分

x；+4y；%+4尤

因为〃色=合匚=-y---------------冷------------V•W；

16yMi6一旦为+口-人…，QX

XX}2-4x0(x)+X2)+16

I4%yj[4%-y(J

164（1*）

=x；+4y；________=土豆................................................9分

216（1-/）32片4-x;

又片+y：=5,所以A/?JT：—.F）=T・.........................................................................1。分

4—X（＞

所以PA/J.PN,4RPQ*.

综上，△尸。R是直角三角形............................................................11分

（说明：直接用二级结论给出"，N点处的切线和切点弦A/N的方程，一处扣1分，共扣2分）

【教师版】第10页共18页

18.（17分）

己知正方体ABCD-44G。的棱长为2.

（I）证明：平面44G；

⑵动点。满足章二港+4福。£[0』]）,且点P，4，G，O1在同一球面上.设该球面的球心为。，

半径为「.

⑴求厂的取值范围：

（ii）当厂最大时，求二面角4—8P—。的余弦值.

18.（17分）【解析】解法一：⑴在正方体方BCD-44cB中,连结4A，则"Q_L4G,1分

因为。Aj_平面481GA，4£u平面44GA，所以Q仅_L4G，....................2分

（直接写出DDX14G这步不给分）

因为。An42=0,Dn，BQlU平面B4DQ,所以4G，平面88QQ,...........3分

（DD1,B°u平面88QQ没写不扣分，没写4G上平面BBQ0,直接得到8。14©这步不给分）

又因为BQu平面BBQQ,所以8Q_L4G，..........................................4分

同理可得用O_L4B,..................................................................5分

又因为48r4G=4,4B，4Gu平面48G，所以/Q_L平面43G................6分

【教师版】第11页共18页

（2）（i）取4G中点a，取力。中点Q，依题意得：球心。在直线«。2上...................1分

因为而=乖+丸福（义£[01]）,所以乖一福=/1福（2£[（）J）,即即=4襦

延长QC至E,使得DC=CE,连结BE.因为44J/CC；,AA}=CC],所以四边形44。。是平行

四边形，所以力C//4G，4C=4G.同理得：BE//AC,BE=AC,所以BEI/Ag,BE=A}C],

故而=%屁（%w[0,1]）,所以点尸在线段BE上........................................2分

（直接给出点尸在线段BE上不扣分）

设|«o|=x,则|qo|=|2-M，则/=|oa『+QQ「=|oQ『+|Qp「.

易得DBLAC,则有4C7/8E,所以DB1.BE,故有|。4=幺砰+忸邛...........3分

所以/=/+2=|2_城+2+忸呼，整理得：忸P|二2j7二T,........................4分

（没写102Pl2=|0㈤2+忸尸『,直接给出尸=/+2=|2-W+2+1明2不扣分）

由0W忸P|W2vL得：1WXW3................................................5分

所以＞=〔0°『+也可2=工2+2€[3,11],所以，•的取值范围是[®JTT]...............6分

（没有任何过程直接写出结果只给1分；只画图没给严谨的推理过程或只给简单的说明，至多给3分）

（ii）当〃最大时，x=3,忸P|=2jl,此时点〃与点E重合...............................1分

【教师版】第12页共18页

因为8尸_L6。，BP1BBX,BB、CBD=B,6综6。u平面66QQ,所以8尸_L平面66QQ.

.................................................................................3分

因为QB,OBu平面BBQQ,所以QB工BP,OB1BP,

所以NQ8。即为二面角4一8尸一0的平面角...........................................4分

在△QBO中，|。冏=逐，|。4=石，|。«|=3,|0/『+|0郎二|00『，

所以/。/0=90。，所以二面角4一8〃一。的余弦值为0.............................5分

解法二：(1)以。为原点，刀的正方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系。-xyz：

(建系1分，左手系则这1分不给)

则。(0,0,0),8(2,2,0),々(2,2,2),4(2,0,2),C/0,2,2),........................2分

=(2,2,2),4^=(0,2-2),4G=(-2,2,0).

。/43=0+4—4=0DBi上AB....................................

因为,所以

Q8-4C=-4+4+0=0DB,14G.

又因为48n4G=4，48u平面45C1,4Gu平面43G，所以平面48G.y分

(2)(i)取4G中点q,4c中点a，依题意得：球心o在直线ao?上.....................1分

设0(1,1,。)，因为不=福+2福=(-24,24+2,-2),............................2分

而=西+乖二(1一242/1+1,—。)，则/=Jo4(=|。刊2,

W1+1+(2-a)2=(1-22)2+(22+1)2+a2,化简得：/l2=i(l-a)....................3分

(式子1111(202=(122>1(2411)21a2或万=；。a)只要写对一个就给分)

【教师版】第13页共18页

因为OWXWl,所以一IWOWI..................................................4分

所以r二|。4『=2+(2-。)2£[3[1],故该球半径的取值范围是[0,而]................6分

(ii)当尸最大时，点P坐标为(0,4,0),(9(1,1,-1)......................................1分

由⑴得平面48G的一个法向量是函二(2,2,2).....................................2分

设平面03P的一个法向量是3=(xj,z),为=(1,1,1),即=(-2,2,0),...............3分

n-(JB=x+y+z=O=O，一,

_____Z,取了=y=]得：〃=(1,1,一2),............................4分

n-BP=-x+y=0

——DB\-n74-2—4

因为C0S〈Q5,〃〉=1_IT=“厂.L二°，所以二面角4一8。一。的余弦值为0.......5分

阿2V3XV6

19.(17分)

已知函数/(x)=(m+l)sinx-xcosx,x€[0,万].

(1)当〃7=0时，求/(X)的值域；

(2)若/(X)存在唯一-的极值且为极小值，求〃7的取值范围；

(3)设〃wR,若存在mw(-oo,0)使得加W&(/(%)-〃)对xw[O,4]恒成立,求〃的最大值.

19.【解析】解法一：(1)当加=0时，由/(x)=siriY—xcosx,

得f(x)=co&x-[cosx+x(-siav)]=xsinx,.........................................1分

又xe[0㈤,x>0,sinx^O,所以/'(x)>0,故/(x)在[0,幻单调递增.............2分

【教师版】第14页共18页

X/(O)=sinO-O=O,/(乃)=sin/r-乃xcos%=万，故/(/)在［0,1］上的值域为［0,乃］.…3分

(2)由(1)可知〃？工0；依题意得：/'(x)=(l+，〃)cosx-［cosx+x(-sinx)］=xsinr+〃7cosx；

(i)若m<0,

①陪1时,必…,20,此时八>。，故小)在他“无极值.……1分

②当x£0,—时，令奴丫)=f\x)=Tsinr+wcosx，得(p'(x)=(1—w)siar+rcos.r.

由1一〃7>0,sinx20,xcosx20,则夕'(x)20,从而°(x)在0,y单调递增.

又火0)=0+m<0,由零点存在性定理可知，存在与€(0,1)，使得8(/)二°・

...................................................................................................................................................2分

从而当XE[O,XO),f\x)<0,当卜，f\x)>0.

/(X)在[0,须))单倜递减，在[工0,5单倜递增；...........................................3分

所以/(%)是/'(X)在［0,句上唯一的极值且为极小值；故〃?<0符合题意...................4分

(冗1

(ii)若机>0,xe\—,7r,//(x)=777COSX+xsinx=cosx(/z?+xlanx),

令外加xtanx”传T，帅)=0，

•2・)・

XSIWCsinxcosx+xcosx+xsirrxSIRYCOSX+X..

则13=------------------=2------•...........................................5分

COSXcos~x--------cosx

令p(x)=sinxco&r+x二;sin23+x,则“(x)=cos2x+130,故p(x)在(1,乃递增，

_(7171

所以p(x)2p(°)=0，即l(x)20,所以/i(x)在一，万递增.因为h(7i)=0,x—>一时，力(%)—>一8,

122

所以人(工)的值域为(-8,0].6分

【教师版】第15页共18页

故当〃?〉0时，一"?=xtanx有唯一解玉)，且当xw—,x时，/'(x)>0,/(x)单调递增；当xw(/，乃)

、20>

时，/'(x)<0,/(x)单调递减；此时/(x)在有唯一极大值点餐,不合题意，故机>0舍去.综

上，m<0..................................................................7分

(3)由(2)可知，/(x)有且仅有一个极小值点为,故f(x)min=/(x0)=(m+l)sinv0-x0cosx0.

因为/''("%)=〃7cosXo+XoSinx。=0,所以］二*卢在口()，............................1分

cosx0

由题意知，f(x)与与m+n,用得/(x)min=/(x0)=(w+l)sinx0-x0cosx0由孝洲+-,

rxosinxoYV2x0sinx0................................

•*|J1O11L-V0人fl9L/J

、cosx0J2cosx0

啦.血.

玉)一丁Xosnrr。/x---xsinx/、

化荀得〃〈sinx。-------2-------,x0e0,—,设g(x)=sinx-----------,XG0,—,3分

cosx0I2)cosxI2)

(sinx+xcosx)cosx+x--sinrsinx

又g'(x)=cosx4分

cos2x

cos\+昱siirvco^+也xcos2x-cosx-^4-也xsin、

222

cos*

【教师版】第16页共18页

cosx(cos2x-1)+sinxcosj-xsinx+x(cos2x+sin2j)