基本不等式及其应用（讲）-高考数学一轮复习（新高考）解析版

专题2.2基本不等式及其应用

1.探索并了解基本不等式的证明过程.

新课程考试要求2.掌握基本不等式竺2〃石（a,b>0）及其应用..

2

培养学生数学运算（例1.2.3.4.5）、数学建模（例5）、逻辑推理（例1.2.3.4）等核

核心素养

心数学素养.

1.利用基本不等式求最值

考向预测2.利用基本不等式解决实际问题

3.基本不等式的综合应用

【知识清单】

1.重要不等式

当，、。是任意实数时，有，+信与砧，当且仅当a=b时，等号成立.

2.基本不等式

当心0,b>0时有竺2之而，当且仅当a=b时，等号成立.

9

3.基本不等式与最值

已知X、），都是正数.

（1）若x+y=s（和为定值），则当工=y时，积孙取得最大值.

⑵若xy=p（积为定值），则当x=y时，和工+），取得最小值.

4.常用推论

212

(1)ab<~~——(a,bwR)

△-M+b/八7八、+b?、/Ci+b、2

(2)ab<(----)­(67>0,/?>0)；------>(-----)

222

(3)])]<\/ab<(a>0,b>0)

一十一

ab

【考点分类剖析】

考点一：利用基本不等式证明不等式

例1.（2021•山西高三二模（文））证明："J+i之筌;

【答案】证明见解析.

【解析】

由不等式尹之@芦，令6=1,则有，哼誓

即可证得J"'+1?五.

例2.已知〃>0,/»0,a-\~b=1,求证：1+，|1+—1>9.

I。八b)

【答案】见解析

【解析】・・・。>0，b>0,a+b=\,

=5+2|-+-|>5+4=9,当且仅当2=即a=b=，时取“=

b)cib2

.*.fl+-Yl+l>|>9,当且仅当a=b=-时等号成立.

k。八b)2

【方法技巧】

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足

使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上

一个数，力”的代换法等.

【变式探究】

4

1.求证:---\-a>7(。>3)

a-3

【答案】见解析

44

【解析】证明:——+。=——+。―3+3由基本不等式和。>3得

a-33

44।4

-------\-a--------3+322」--------------3)+3

a-3a-3\a-3

=2x〃+3=7

4

当且仅当——=a—3即。=5时取等号.

a-3

2.已知。、b、c都是正数，求证：(。+b)(Z?+c)(c+a)28a〃c

【答案】见解析

【解析】•・•〃、b、c都是正数

：.a+b>2y/Zb>0（当且仅当〃=时，取等号）

Z?+cN2痴>0（当且仅当/?二c时，取等号）

C+422而>0（当且仅当c=4时，取等号）

，（〃+〃）S+c）（c+a）2=权,（当且仅当时，取等号）

即（。+/?）（/?+c）（c+a）>8abc.

考点二：利用基本不等式求最值

例3.【多选题】（2021•辽宁葫芦岛市•高三一模）设正实数〃，〃满足。+〃=1,则（）

A.■1+1有最小值4B.冬有最大值!

aba+b2

C.G+JF有最大值④D./+〃有最小值!

【答案】ACD

【解析】

根据基本不等式结合不等式的性质判断.

【详解】

因为。且。+〃=1,

所以2]=1,当且仅当〃二〃二!时等号成立，即,心的最大值为1,

I2J424

11a+b1-,,

——-=---=—>4,A正确；

abahab

ab1

----=ab<—,B错误；

a+b4

五+加=da+b+2瓢W/+2。=&，C止确；

a2+b2=（a+b）2-lab=1-lab>l-2x—=—,D正确.

42

故选：ACD.

例4.（2021•浙江高三月考）若正实数。，匕满足从之3/+2而，则的最小值是

a2a+b

c.2+20D.3

【答案】A

【解析】由题意，因为2，〃+"=1,

1111、…、,"2m、--/〃2m__k

则nil—i—=(z—i—),(2,/TI+〃)=3H------1------23+2J—•—=3+25/2»

Mnmnmnvn

当且仅当士•=一"，即〃=应加时等号成立，

mn

所以工+工的最小值为3+2正，故选A.

mn

2.(2019年高考天津卷文)设x>0,y>0,x+2y=4,则包里乂丝里！的最小值为

不，

9

【答案】-

2

・…r(x+D(2y+l)2xy+2y+x+\2孙+5”5

［解析］-------------=----------------=--------=2+—.

盯xyxyxy

因为x>0,y>0,x+2y=4,

所以x+2y=4N2jx-2y,

即^^2,0<xyW2，当且仅当x=2)，=2时取等号成立.

519

乂因为2+—22+5X7=7，

xy22

g”(x+D(2y+l).曰［/占*9

所以-------------的最小值为

2

【总结提升】

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关犍，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面

的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

考点三：基本不等式的实际应用

例5.(2021•陕西西安市•交大附中高三其他模拟(理))已知圆锥的母线长为2,侧面积为S,体积为V,则

T取得最大值时圆锥的体积为()

S

R46rr垃冗

A.空D,也

3363

【答案】D

【解析】

设圆锥底面半径为，•，高为人,根据圆锥的侧面积和体积公式，求得二二，八/4一产，结合基本不等式求

S6

得r=0时取得最大值，进而求得圆锥的体积.

【详解】

设圆锥底面半径为，高为力，住题意可得母线/=2,

所以圆锥的侧面积为S=%"=27r,且介=尸=,4一户,

所以圆锥的体积为V=47urh=--”一产,

33

则2

S2仃6623

当且仅当厂二仁了，即r=时取等号，

333

故选:D.

【规律方法】

1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：

(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求

解.

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时

可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.

【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！

【变式探究】

（江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用

为4x万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则X的值是.

【答案】30

【解析】总费用4x+Mx6=4（x+亚）24x2师=240,当且仅当工=出，即x=30时等号成立.

XXX

考点四：基本不等式的综合运用

例6.（2021•内蒙古赤峰市•高三二模（文））的内角4,B,C的对边分别为mb,C,若

.（乃）1

sin2/4+—=—,/?+c=4,则〃的最小值为.

I6；2

【答案】2

【解析】

结合A的范围求出角A的值，结合余弦定理以及基本不等式求出a的范围，从而可得到a的最小值

【详解】

/[2、

解：因为Aw（0,/r）,所以+,

61667

因为sin(2A+f]=],所以24+工=红，解得A=工，

I6J2663

由氽弦定理得cosA=°+：_—=1-,则/『+c，2一c『二be»

2bc2

所以=b2+c2-be=(b+c)2-3bc,

因为人cK®l£L=4，力+c=4,

4

所以16—3〃。之4，当且仅当〃=c=2时取等号，

所以片24,解得。22,当且仅当b=c=2时取等号,

所以。的最小值为2,

故答案为：2

例7.（2020•黑龙江省佳木斯一中高一•期中（理））己知函数/*）=（6+以2・〃a+6-1（相6足）.

（1）若不等式/W＜。的解集为0,求〃?的取值范围;

（2）当机＞一2时，解不等式/（x）2，〃：

（3）若不等式/（X）20的解集为D,若［-1,1］口。，求，”的取值范围.

【答案】(1)w>—；(2)[x\\<x<i

卜⑶〃此里.

3in+13

【解析】

(1)①当〃7+1=0即m=一1时，/(x)=x-2,不合题意;

②当m+\*0即m。一1时，

〃2+1>0tn>-1

A=w2-4(w+l)(m-l)<03/n2-4>0

m>-1

12百战2石''?~r—

in<------或〃z>----3

33

(2)/(X)N机即-Z71V-1>0

即[(/7?4-l)X+i](X-l)>0

①当机+1=0即〃2=-1时，解集为“1x21}

②当初+1〉0即〃?〉一1时，^X+—^-jj(x-l)>0

,:一一・••解集为｛x|xW-——<r>l｝

m+1m+1

(j)

③当m+1<0即一2<〃?<一1时，x+--(^-1)<0

Irn+\J

V-2<Hl<-1*所以一1<〃7+1<0,所以------->1

m+\

・•.解集为｛x|lWx«一——)

〃7+1

(3)不等式/(式)20的解集为O，[-

即对任意的X«T[],不等式(〃?+1)工2-出x+根-120恒成立,

即〃?(“2一、_(_1)之-X2+1恒成立，

—+ID—X

因为f一工+1>o恒成立，所以阳2J+I=-]+,:X.恒成立,

x~-X+1厂—X+1

设2-3=八则/w[l,3],x=2—f,

2-x_t_z_1

所以工2_工+](2-r)2-(2-r'i+l/一3/+33,

t

3

因为1+-22石，当且仅当时取等号，

t

所以Jr工J_=迈2,当且仅当工=2-退时取等号,

x—x+12>/3—33

-x2+12百

所以当工=2—6时,亍

x~-X+1,max

所以〃2二2叵

【总结提升】

基本不等式的综合应用求解策略

(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.

(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.

(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.

【变式探究】

1.(天津市河北区2019届高三二校)已知首项与公比相等的等比数列｛&｝中，若m,〃£>1.,满足由/篦2=以2,

则三+三的最小值为__________.

mn

【答案】1

【解析】设等比数列｛Q"公比为q，则首项%=q,

由QmQ看=若得：&qmT•(aiQn-1)2=(Q]q3)2,

则：qm+2n=qQ,m+2n=8,

-4--=--(­+-)(zn+2n)=--(2+—+—4-2)=--(^44--4--

mn8\mnJ3\mnJ8