湖南省2025-2026学年高二年级上册入学测试数学试题（含解析）

邵阳市二中高二入学测试

数学试卷

满分：150分时间：120min

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.川，〃为空间两条不重合直线，1为空间平面，下列命题正确的是（）

A.m_La,n±m,则〃//a

B.m,〃与a所成角均为30°,则mHn

C.mHa,n/la,mHn,则直线〃?，〃到。的距离相等

D.m//a,〃//a,则加，"可以是异面直线

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线、平面的位置关系、等角定理，结合图形，通过举反例进行判断.

【详解】对于A,切，则有可能〃ua,A错误；

对于B,〃?，〃与a所成角均为30。，则九九可能相交或平行或异面,B错误;

对干C,mlla,n!/aymHn,直线〃?，〃到a的距离可以不相等，C选项错误;

对于D,mJ"川/a,则利，〃可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，D选项王确.

故选：D.

2025

2.已知z=——，则在复平面内，彳对应的点位于（）

1-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】由复数的运算法则求出Z,由共胡复数的概念得3,进而得其在复平面内对应的点的坐标，即可得

20252025(1+i)20252025

【详解】由题意可得z=:一二"：=+i,

l-i(1-0(1+1)22

2025202520252025

故5--——-i,其在复平面内对应的点为，位于第四象限.

2222

故选：D.

3.已知在平行四边形ABCD中，AP=2PD^CQ=2QB,记八方=肩，血=[,则崩=()

-1-1一一

A.—m+nB.一〃7——nC.m--iiD.一一in+n

4343

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量加法计算=再由平行四边形对边相等得解.

【详解】因为在平行四边形A8CD中,

所以=

_________2_i_

又因为70=中+通+苑，AP=-m,BQ=-BC.

3

211

所以P0=H4+A后+——所+乃+一比=——历+万.

333

故选：D

tan

4.已知tan("£)=2,tan(a+”)=3,则蠡

)

32

A.-6D.

B.-7T

【答案】B

【网茴斤】

(分析]由两角和差正切公式计算即可求解.

tan(cr-^)+tan(«+/?)2+3

[详解]因为tan2a=tan[(a-夕)+(。+夕)]=

1-tan(a-/?)tan(«+/?)1-2x3

tan(a+/7)-tan(a一4)3-21

tan2(3=ian[(a+0_(a-,)]二

l+tan(a+/)tan(a-/)1+2x37'

tan2a

所以

tan2/7

故选：B

5.棱长为2的正方体—中，E,尸分别是AB、CG的中点，则点B到平面的距离

为()

A2719R4历r4Mn2V2T

19211921

【答案】B

【解析】

【分析】应用三棱锥体积公式结合等体积法计算求解.

【详解】设点B到平面B、EF的距离为/?，则B(F=B、E=A/124-22=区EF=dEC?+FC?=，

-x1x2x2.—

24V21

因此5FF="FBRR=>ft=-......--------=

K21yLo-D|Crr-Q庖21

、“B\EF

2

6.如图，在V/WC中，。为8c的中点，E是线段AO上的一点，若在=不乱+(1—2司方，则工=

()

C

［发］C

【解析】

故/V-且0=一，故0<04一.

333

故选:A.

8.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题：”已知一个

三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小''它的答案是：当三角形的三个角均小

于120。时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120；当三角形

有一内角大于或等于120,时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知

COSA(TT、

。，瓦C分别是VA8C三个内角AB,C的对边，且从一(Q-C)2=6,——-=sinC--,若点尸为

2cosBI6)

VA3C的费马点，则方.夕后+尸方()

A.-6B.-4C.-3D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】由余弦定理和两角和的余弦公式化简〃一(a—c)2=6,詈。=sinfc-g］可得8=2，

2cos3I6J3

ac=6,再根据V48C等面积法即可求得|尸叶|叫+卢外归C|+|尸4卜|尸。|=6,“费马点”定义可得该

点与三角形的三个顶点的连线两两成角120，从而求得答案.

【详解】Qcos/4=2sinC--cosB,:.cos>4=2——sinC--cosCcosB,

I6JI22J

即cosiA=>/3sinCcosB-cosCcosB,

又A+B+C=TTcosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC,

/.-cos5cosC+sinBsinC=sinCcosB-cosCcosB

即sinBsinC=gsinCeosB,

QsinCwtanB==瓜又BEB=-.

cos53

由三角形内角和性质知：△A8C内角均小于120。，结合题设易知：夕点一定在三角形的内部，

22人21

再由余弦定理知，cosB=a+C-------=—,Qb2=(a-c)2+6,「.〃c=6,

2ac2

•••SVABC=g|尸山尸同sin,+5尸碎|尸0恒1】告+3］尸山.|尸。恒1】,=34536=3'6乂5由《二^^

.•.|E4|-|PB|+|PB|-|PC|+|PA|-|PC|=6.

由陷.陷+|明|PC|+|/|PC|=6等号左右两边同时乘以cos?可得：

27r2乃2万

|PA|-|P^|cos—+|PB|-|PC|cos—+|PA|.|PC|cos—=6xcos—,

33

uirmruirinmuiruni27r

：.PAPB+PBPC+PAPC=6xc^—=-3.

3

故选：C.

【点睛】本题主要考查两角和差的余弦公式、余弦定理，平面向带的数量积以及等面积法的应用；理解新

概念灵活运用，属尸较难题.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选对。分

9.下列函数中，既是偶函数，又在(0,包)上单调递增的是()

1

A.y=x2+2B.y=——x

x

A—1,A>0

C.y=lg|x|+lD.y=«

A+l,X<0

1<JAC

【解析】

【分析】对于AC：根据偶函数的定义结合函数单调性分析判断；对于BD：举反例说明即可.

【详解】对于A,设函数/(为=好+2,则其定义域为R,

且/(-x)=(-x)2+2=/(x),可知f(x)=f+2为偶函数,

根据二次函数的性质可知，/(1)=/+2在(0,+00)上单调递增，故A正确;

1(1、3

对于B,设函数〃(x)二一一X,则〃(1)=。，h-=-,

x2

(1、

可得力(l)V〃-,可知力(X)不是增函数，故B错误；

对于C,设函数〃(x)=lg|X+l,其定义域为{X|%HO},

且〃(_x)=lg|T+l=lg|X+l=w(x),可知〃(x)为偶函数，

当上>()时，〃(x)=lgx+l在(Qyo)上单调递增，故C正确；

x-l,x>0/、

对干D,令函数m(式)={,则〃?(-2)=—1,团(2)=1,

x+1,冗<0

因为机(一2)工〃?(2),可知，〃(x)天为偶函数，故D错误.

故选:AC.

10.在VABC中，内角A5,C所对的边分别为a,"c,则()

A若A>3,则cosA<cosB

B.若C钝角，则cosA>sin3

C当女>1时，若a:〃：c=/:(A+l):(Z+2),旦VAAC是钝角三角形，则

D.若A=四/=2,。=巫，则满足条件的三角形有两个

62

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A：利用三角形内角性质结合余弦函数单调性计算即可得；对B：借助三角形内角性质与诱导公

式计算即可得；对C：借助余弦定理的推论计算即可得；对D：借助余弦定理计算可得C・有两解，即可得解.

【详解】对A：由题意可得AB,C«0,兀)，又y=cosx在(0,兀)上单调递减，

若A>8，则cosA<cosB,故A正确；

对B：若。为钝角，则A+B=71—C〈巴，故0<A〈工一8〈工，

222

(71A.

故cosA>cos---13=sinZ?,故B正确；

(2)

对C：由Z>1,则故C>3>A,

设〃=々,则3=(Z+l)r,C=(Z+2)],f>0,

故c°sC，+b-；3+(E)F+2)1

2ablab

即2左2+24+1<42+42+4,化简得K一2左一3=(攵一3)(%+1)<。，

则一1〈欠<3,又k>\,有k+A+1—伏+2)=4—1>0,则lv&v3,故C错误；

对D：由余弦定理42=/?2+c2-2历cosA可得g=4+c2一2x2c•走，

42

即02-2&+」=(),解得c=2®-而，

42

即。有两解，故满足条件的三角形有两个，故D正确.

故选：ABD.

11.已知直三棱柱—的各顶点及动点。都在球。的球面上，AB=AC=2,BC=AA}=2A/2,

则()

A.ACA.BBi

B.球。的半径为2

C.三棱柱A8C—A修G的表面积为16+8近

D.点尸到平面ABC的距离的取值范围是［。,2+及］

【答案】ABD

【解析】

【分析】由直三棱柱概念知A正确，由直三棱柱和球的对称性可确定球心位置，构造直角三角形可求出球的

半径知B正确，计算直三棱柱各个面之和可得表面积知C错误，点尸到平面ABC的距离的最小值为0,最

大值为球心到面48C的距离与R之和，计算可得D正确.

【详解】根据直三棱柱的概念知侧棱底面ABC,又ACu底面ABC,「.ACLB用，故A正确；

由AB=AC=2,BC=2>/2知底面A3C是等腰直角三角形，取的中点为H,

则H为底而AAC的外心.设百二棱柱外接球的球心为。,则点。传干BCCB的中心,

连接OH,OC,则OH_LCH，由题意，OH=CH=BPll/?2=0//2+C/72=2+2=4，即R=2.

故B正确；

三棱柱ABC-A4G的表面积为：S=gx2x2x2+2x2及x2+2后x2播=12+8直，故C错误；

动点尸在球。的球面上，则当点P与A3,C重合时，点P到平面A8C的距离取得最小值为0,

故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.化简：4sin200+tan20°=.

【答案】G

【分析】将原式切化弦，进而通分并结合倍角公式化简，然后再利用两角和与差的正弦公式化简，最后求

得答案.

4sin200cos20。+sin20°_2sin40。+sin20。

【详解】原式=4sin2()0+------

cos20°cos20°cos20°

2sin(60°-20°)+sin20°_2sin60°cos200-2cos60°sin200+sin20°

cos20°cos20°

73cos20°-sin200+sin20°_JT

cos20°~

故答案为：G

13.已知圆台的上底面和下底面的面枳分别为兀,4兀，体积为曳身，则圆台的恻面积为.

3

【答案】9兀

【解析】

【分析】借助圆台体积公式与侧面积公式计算即可得.

【详解】设该圆台的高为力，母线长为/,上下底面半径分别为耳、弓，

》=!（兀+4兀+J兀＞4兀）/z=，，则力=2近，

兀八2=兀，兀&2=4兀，贝ij（=1,弓=2,

则/=J/?2+（4一“）2=3，故圆台的侧面积S=7i-（4+2）・/=9兀.

故答案为：9兀.

14.从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数.有以下四个说

法：

①恰好有I件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件；

②至少有1件次品和全是次品是对立事件；

③至少有1件正品和至少有1件次品互斥事件，但不是对立事件；

④至少有1件次品和全是正品是互斥事件，也是对立事件.

其中正确的有（写出所有正确说法的序号）.

【答案】①④

【解析】

【分析】由互斥事件、对立事件的概念逐个判断即可.

【详解】从堆产品中任取2件，基本事件为“全是正品”，“件正品，件次品”，“全是次品”，共3种

情况，

所以:

恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件；正确；

至少有1件次品（“一件正品，一件次品”，“全是次品”）和全是次品不是对立事件；错误；

至少有1件正品（“全是正品”，“一件正品，一件次品”，）和至少有1件次品（“一件正品，一件次品”，

“全是次品”）不是互斥事件；错误；

至少有1件次品（“一件正品，一件次品”，“全是次品”）和全是正品是互斥事件，也是对立事件.正确

故答案为：①④

四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知复数z=（1-i）（2+ai）（其中〃为实数）为纯虚数.

（1）求实数。的值：

（2）若复数0=（〃22—3〃2）+2。+5在复平面内所对应的点位于第三象限，求实数，”的取值范围.

【答案】（1）—2

（2）-1</n<4

【解析】

【分析】（1）应用复数乘法运算亿简，再应用复数的列式求参；

（2）代入。一一2得由复数3,因为复数对应点在笫二象限列出不等式，应用一元二次不等式计完求参.

【小问1详解】

及数z=(l—i)(2+ai)=2+ai-2i-a『=(〃+2)+(a-2)i为纯虚数.

即可得出。=一2；

【小问2详解】

复数6y=(m2-3m)+2a+ai=(苏_3m-4)-2i,在复平面内所对应的点为(>_3m-4,-2),

因为点位于第三象限，所以机2一3,〃一4<0,所以(6一4)(加+1)<0,

M-1<m<4.

16.已知向量〃=(2,3),B=(-4,加).

(1)若加=1,求|〃一/八；

(2)若(a+万)//•,求沿;

C)若〃?=2,求々在B方向上投影向量的坐标.

【答案】(1)|2-〃|=2屈

(2)m=-6

⑶(2\})

【解析】

【分析】(1)先求；Hd-B的坐标，再通过向量模长公式计算；

(2)先求出力+/；的坐标，再由I可量平行的坐标表示求得参数；

(3)根据投影向量求法求解即可.

【小问1详解】

洲=1时,a=(2,3),〃=(-4,1),所以a=(6,2),

故|£_方|=病百=2而.

【小问2详解】

a-^b=(-2,3+加)，

由(a+〃)///?,可得a=6+2/〃，

解得〃z=-6.

【小问3详解】

6=2时，/；=(-4,2),

此时2在日方向上的投影向量的坐标为巴耳且=二等、(-4,2)=伶,一口.

\b\\b\20(55)

sinA-sinB_sinC

17.在锐知VA8C中，角A,B,C所对应的边分别为mb,c,已知

\[3a-ca+b

(1)求角A的值:

(2)若a=2,求VA8c的周长的取值范围.

【答案】(1)-

6

⑵(3+省,2+26)

【解析】

【分析】(1)根据正弦定理得到/+°2-62=百的，再利用余弦定理求出/?二三：

(2)根据正弦定理得到％=—!—,c=GsmA+cosA,从而得到〃6+!++i,求

sinAsinAtanAVtan^A

得到」^^［。，李

出4E/?+ce(l+>/3,2>/3),从而求出周长的取值范围.

tanA3

【小问1详解】

sin4-sinB_sinCa-b

由正弦定理得:

yj3a-ca+by(3a-ca+b

即a2-vc2-h2=\/3ac，

由余弦定理得：cos8=上士^=正竺二避

2ac2ac2

因为8«0,兀)，

所以8=5；

6

【小问2详解】

锐角VA8C中，。=2,8=?，

6

2_/?_c

由正弦定理得：sinA一.兀-sinC，

sin—

6

2sinA4—I-

故L12sinC_67_V3sinA+cosA»

b=--

sinAsinAsinAsinA

则b+c_GsinA+cosA+l+"cosA_6+1+Jl+tai?A

sinAtanAtanA

因为锐角VAAC中，B=3,

（TC，兀、

则Ac0,-,C=7T---71G；O,-

l2）6L2）

故lanAE(\/5,+OO),

则后同片”+士+扃7”26),

故"+<?£(1+>/5,26),a+Z?+ce(3+G,2+25/5)

所以三角形周长取值范围是(3+6,2+26).

【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或

与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，

通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值

18.在一次某高校国际学生文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”知识竞赛.某数学小组收

集了本次知识竞赛的成绩单，根据本次知识竞赛的成绩M(满分100分)将收集到的成绩分成五段：

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90],处理后绘制了如下的频率分布直方图.

(2)若该高校共有2000名外国留学生，以频率代替概率，估计该高校知识竞赛成绩不超过70分的人数:

(3)已知"在［40,60)内的平均数为52,方差为105,［60,90］内的平均数为72,方差为503,求所有

留学生成绩M的方差.

【答案】(1)4=0.035；

(2)1100：(3)467.6.

【解析】

【分析】(1)根据频率之和为1得到方程，求出。=0.035；

(2)求出前三个区间频率之和，从而求出该高校知识竞赛成绩不超过70分的人数；

(3)先计算出所有留学生成绩的平均数，再根据样本方差和整年方差的相关公式计算即可.

【小问1详解】

由频率分布直方图的性质，所有矩形面积和为1,

所以(0.005+0.025+0.025+t/+0.010)xl0=1,

解得。=0.035.

【小问2详解】

前三个区间频率之和为(0.005+0.025+0.025)x10=0.55,

以频率代替概率可知该高校知识竞赛成绩不超过70分的人数为2000x0.55=1100人.

【小问3详解】

记/在［40,60)内的平均数为三，方差为《，［60,90］内的平均数为方差为

所有留学生成绩"的平均数为5,方差为

则M在［40,60)内频率为(0.005+0.025)x10=03,在［60,90］内的频率为1一0.3=0.7,

则彳=0.3元+0.7了=0.3x52+0.7x72=66,

2

故£=0.31；+(工一习2］+07［5；4-(j-z)］=467.6.

19.如图，在三棱柱43C-A4G中，A4,_L平面ABC,AC=BC=AANACB=—.O是棱AB

]t3

上的一点，且满足A8=3ADBG与片。相交于点E.

(1)证明：8Gl.平面与。。：

(2)求二面角8-与。一。的余弦值；

(3)求直线AG与平面与C。所成的角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)叵

4

(3)-

4

【解析】

【分析】(1)借助余弦定理于勾股定理的逆定理可得。C_L8C，再来利用线面垂直的性质定理与正方形的

性质可得8G_L8C、DC1BC,,则可得BQJ.平面片。。：

(2)作出二面角6-4。-C的平面角，结合三角函数定义与勾股定理算出各边长度，最后借助余弦定理

的推论计算即可得解;

(3)取线段G8上靠近点G的三等分点”，则NHE应等于直线AG与平面与。。所成角，再计算”后、

后可得tanN/Zf花，即可得sinN”£>E\

【小问1详解】

(r\、2A/.、/

BD2=\-AB=-AC2+BC2-2AC-BC-cos—=-AC2,

U)9l3)3

2兀

,「DA”-7兀，则C02=8O2+8C2—28O.8C.COS二

ZCBD=----=—6

26

=-AC2+AC2-y/3x^-ACAC=-AC2^

333

则CD?+BC2=-AC2+AC2=-AC2=BD?,故DCA.BC,

33

由4A_L平面ABC,A4//CG，则CGJ•平面ABC,

又BCu平面ABC、£>Cu平面ABC,故CG_L8C,CC,1DC,

又BC=4A，则5C=CG，故四边形3CGA为正方形，则3G_L8C，

又CGna?=C,CC,.C8u平面4GC,故。C_L平面片GC，

又BC|U平面4G。，故DC上BG，

又DC、。6匚平面与。。，且DCnCG=C，故8G_L平面与CO；

【小问2详解】

过点。作C/」修。于点尸，过点尸作FG_L修〃，交BD于点G,

则NCEG即为二面角8-4。一C的平面角,

eCB6ACG“Vl4

CFCB.}rn

则sinZ.CDF=，则当DB1瓜…37

~CD~~DB,-----AC

3

2

//DFCD〜八FCD产