人教版高二数学选择性必修第一册 第1章 空间向量与立体几何 单元测试（A卷基础卷）含解析

第一章空间向量与立体几何（A卷基础卷）

考试时间：1（）（）分钟；

学校:姓名：班级：考号：

一.选择题（共8小题）

1.（2020春•和平区期中）已知空间向量二_（3,1,3）,"（b7），且二〃2则实数九=（）

11

A.——B."3C.—D.6

33

2.（2020春•点军区校级月考）在正四面体P-"C中，棱长为2,且E是棱AB中点，则品.蓝的值为（）

7

A.-1B.1C.x/3D.-

3

3.（2020春•点车区校级月考）设x,y£R,向量：=（x,1,1）,%=（1,），，I）,1=（2,-4,2）,且

b〃c，则J+b尸（）

A.2业B.回C.3D.4

4.（2019秋•焦作期末）在AA8C中，。是线段A8上靠近B的三等分点，£是线段AC的中点，BE与CD

交于产点，若g=%+/）£?则小〃的值分别为（）

11111111

A.一,—B.一,—C.—.-D.一,一

24423523

J2

5.（2019秋•榆树市期末）若向量；=（i,九1）,1=（2,-1,-2），且:与力的夹角余弦为二，则入等于

6

（）

A.-y/2B.企C.一也或企D.2

6.（2020•山东）日昼是中国古代用来测定时间的仪器，利用与昼面垂直的唇针投射到唇面的影子来测定时

间.把地球看成一个球（球心记为O）,地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A

处的水平面是指过点4且与。A垂直的平面.在点A处放置一个口唇，若唇面与赤道所在平面平行，点

4处的纬度为北纬40。，则号针与点A处的水平面所成角为（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

7.（2019秋•龙岩期末）如图所示，在平行六面体人BCD-A&G5中,AB=a'AD=b'AA\=C>M是

T1

D|。的中点，点N是A。上的点，且/1N=—4Q，用；，；表示向量时"的结果是（）

3

ITIT4T

A.—a+b+cB.—aH—b+—c

2555

IT3tIT1-2T1-

C.-a--b--cD.—a--b--c

5105336

8.（2020•茂名二模）己知六楂锥尸-4BCQM的底面是正六边形，以_1_平面A8C,PA=2AB.则下列命题

中正确的有（）

①平面附B_L平面PAE\

②PB_LAD；

③直线。。与尸尸所成角的余弦值为亘;

5

④直线PD与平面ABC所成的角为45。；

⑤CO〃平面PAE.

A.(D®B.①©④C.②③⑤D.(D@④⑤

B.

评卷人得分

二.多选题（共4小题）

9.（2019秋•连云港期末）已知点P是AABC所在的平面外一点，若几=（-2,1,4）,筋=（1,-2,

1）,元=（4,2,0）,则（）

A.APA.ABB.AP1BPC.BC=国D.AP//BC

1（）.（2019秋♦南通期末）设；。；是空间一个基底（）

A.若小"匕与，则

B.则:。:两两共面，但二。最不可能共面

C.对空间任一向量;，总存在有序实数组（X,y,Z）,使"二4+J+ZC：

D,则：+，，/+；，：+定能构成空间的i个基底

11.（2019秋•建邺区校级期中）已知点P是平行四边形ABCO所在的平面外一点，如果.%=（2,-I,-

4）,Aj=（4,2,0）,Ap=（-1,2,-I）.下列结论正确的有（）

A.APA.AB

B.APA.AD

C.4j是平面48CD的一个法向最

D-AP7/BD

12.（2019秋•莉泽期末）如图，在四棱锥P-/WCO中，底面为直角梯形，AD//BC,/84。=90。，以_1_底

面48CO,且必=AQ=A8=28C,M、N分别为PC、P8的中点.则（）

A.CD1AN

B.I3D1PC

18.（2020♦沙坪坝区校级模拟）如图，四棱台A8S-A山］的底面是矩形，平面A8COJ.平面"8内,

4B=24S=2,A4）=2,8/=*.

（1）求证：DC±AA］；

（2）若二面角8-CG-。的二面角的余弦值为-科，求AD的长.

19.（2019秋•清远期末）如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABC。为平行四边形，ND4B=45。，？。_1平

ffiABCD,APLBD.

（1）证明：BC工平面PDB,

（2）若相=也,P8与平面APO所成角为45。，求点8到立面/1PC的距离.

20.（2020•安徽模拟）如图1,四边形P8C。是等腰梯形，BC/7PD,PB=BC=CD=2,尸。=4,A为PD

的中点，将△ABP沿48折起，如图2,点M是棱尸。上的点.

（1）若M为P。的中点，证明：平面PCO_L平面ABM：

（2）若PC=#,试确定M的位置，使二面角M-AB-。的余弦值等于

5

B€

B

图।图2

21.（2019秋•扬州期末）如图，直三棱柱ABC-A/iG中，A4=8C=CA=AA|=2,点。为A8中点，点

D为44|中点.

（1）求平面A8C与平面8|CZ）所成锐二面角的大小；

（2）已知点E满足盛1G（0三2三1）,当异面直线。E与CS所成角最小时，求实数人的值.

第一章空间向量与立体几何（A卷基础卷）【答案版】

一.选择题（共8小题）

1.（2020春•和平区期中）已知空间向量：=（3,1,3）,；=（-1,X,-1）,且益〃；，则实数入=（）

11

A.--B.-3C.-D.6

33

-l=3k1

【解答】解：•・•„；〃；，・••可设a-—；，・.・4=%，解得入=&=--.故选：儿

mnm-n[_i=3/c3

2.（2020春•点军区校级月考）在正四面体P-"C中，棱长为2,且E是棱AB中点，则后.左的值为（）

7

A.-1B.1C.J3D.一

3

【解答】解：如图，--AOC为正四面体，则々人〃〃=60。，£足棱入。中点，

T1TT,.1_.

所以PE=-(P/14-PB)BC=PC-PBW以PE•8。=](P4+PB)*PC-PB)

=—PA-PC+—PB-PC--PA-PB--PB=—x2x2xcos60°-—x22=1-2=-1,故选：A.

222222

3.(2020春•点军区校级月考)设x,>GR,向量;=(x,1,I),£=(1,y,1),；=(2,-4,2),且

a'c，b"c，则J+b尸（）

A.Z⑰B.710C.3D.4

【解答】解：设&y£R，向量展=（M1，1），h=（%丫，1），：=（2，・4,2）,

2x-4+2=0

且;_L：:/屋，：.1=，=L解得工=1，y=-2,

2-42

+；=(1，1，1)+(1，-2,1)=(2,-1,2),・・・|；+1=\/4+1+4=3.故选：C.

4.（2019秋•焦作期末）在A48C中，。是线段A8上靠近8的三等分点，E是线段AC的中点，BE与CD

交于尸点，若6=%+/）启则小〃的值分别为（）

11111111

A.一,—B.一,—C.一,—D.—.一

24423523

【解答】解：取AQ的中点为G,连接G及由已知得GE〃CD,所以。/〃EG,又因为。是G8的中点，

TITT1ITIT1>

所以尸是BE的中点，所以4"=-{AB+AE）=~{AB+-AQ=-AB+-AC.

22224

11

一»b——.故选：A.

24

J2

5.（2019秋•榆树市期末）若向量；=（i，九1）,力=（2-1,-2Y且：与力的夹角余弦为二，则人等于

6

()

A.-隹B.企C.-也或企D.2

J2

【解答】解：：向量0=（1,九1）,8=（2,-1,-2），Q与》的夹角余弦为不，

TT

-ta-b

/.cos<a,b>=--------------,-——=—,解得入=-也.故选：儿

6

\a\-\b\/2+%•0

6.（2020•山东）F1展是中国古代用来测定时间的仪器，利用与卷面垂直的孱针投射到孱面的影了•来测定时

旬.把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A

处的水平面是指过点4且与。4垂直的平面;在点A处放置一个日唇，若属面与赤道所在平面平行，点

4处的纬度为北纬40。，则轻针与点4处的水平面所成角为（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

【解答】解：可设4所在的纬线圈的圆心为0',0。垂直于纬线所在的圆面，

由图可得NOH4为属针与点A处的水平面所成角，又NOAO,为40。且OAJ_4”,

在RSOAM中，O'AA_OH,ZOHA=ZOAO'=40°,故选：B.

7.（2019秋•龙岩期末）如图所示，在平行六面体ABCO-A/|C]D]中，几=京R=1，高=；，M是

T1

5。的中点，点N是八G上的点，且4N=-/4C1，用：，片，;表示向量的结果是（）

3

1---ITIT4T

A.—a+b+cB.—aH—b+—c

2555

1-3tITIT2TL

C.-a--b--cD.—a--b--c

5105336

1TTT1T1-

【解答】解：•・•加是GD的中点，AN=-/Ifr*.

MN=MD+DA+AN=~万。0-4。+-ACX

ITTITTT

=--AAX-AD+-（AAx+AD+AB}=-AB--AD--AAX=-a--b--c.故选：D.

23336336

8.（2020•茂名二模）已知六棱锥P-ABCQEF的底面是正六边形，%_L平面48C,PA=2AB.则下列命题

中正确的有（）

①平面物B_L平面PAE\

②P8_L/IQ；

③直线CD与尸F所成角的余龙值为“；

5

④直线PD与平面A8C所成的角为45。；

⑤C。〃平面PAE.

p

A.①④B.©@©C.②③⑤D.④⑤

【解答】解：_L平面A4C,：,PA1,AB,在正六边形44co石/中，A131AE,PAC\AE=A,：.ABA.^

面以E,且A3u面%8,・•・平面以4_L平面以E,故①成立；

•；4。与PB在平面的射影AB不垂直，，②不成立；

料

'JCD//AF,直线CO与P/所成角为NP放，在Rt△办户中，PA=2AF,・・.cosNP以=」，，③成立.

5

在Rt△必。中，PA=AD=2AB,：.ZPDA=45°,故④成立.

•・・CO〃A尸〃平面以凡平面南开1平面%F=B4,工直线CD〃平面附石也不成立，即⑤不成立.

二.多选题（共4小题）

9.(2019秋•连云港期末)已知点P是AABC所在的平面外一点，若京=(-2,1,4),Ap=(1,-2,

1),^c=(4,2,0),则()

A.AP1ABB.APIBPC.BC=廓D.AP//BC

【解答】解；人.力p・{8=_2-2+4=0,*9AP^~AB,因此正碓.

=BA4-AP=(2，-1»-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),月产力。=3+6-3=6#0,.\AP

与8尸不垂直，因此不正确.

222

C.BC=AC-AB=(%2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),.\|^|=x,'6+I+(-4)=^53，

因此正确.

(1=6k

D.假设4=3"，则之系无解，因此假设不正确，因此AP与8c不可能平行，因此不正确•

故选：AC.

10.(2019秋•南通期末)设:Z［是空间一个基底()

A.a^-h'b'c，则a'c

B.则：J；两两共面，但京t,1不可能共面

C.对空间任一向量p；总存在有序实数组(x,y,z),使口=%0+,，+2；

D.则展+。h+cf；+；一定能构成空间的一个基底

【解答】解：由京。［是空间一个基底，知：在A中，若社。则:与之相交或平行，故斗错

误；在8中，晟。:两两共血，但〉。pb可能共面，故8止确；

在C中，对空间任一向量J总存在有序实数组(x,y,z),使：_无；+丫，+/［故C正确；

在。中，a+bf，+J1+；一定能构成空间的一个基底，故。正确•故选：BCD.

11.(2019秋•建邺区校级期中)已知点P是平行四边形ABCO所在的平面外一点，如果前=(2,-1,-

4),A=(4,2,0),Ap=(-1,2,-1).下列结论正确的有()

A.APA.AB

B.APYAD

C.筋是平面ABCQ的一个法向量

D-AP7/BD

【解答】解：对于4AB*AP=2x(-•)+<-1)y2+(-4)x(-1)=0,-AP^-ABf即人尸，4从

,4正确；对于&4M八=(-1)X4+2X2+(-1)x0=0,二心工八，即人P_L/W,B正确;

对于C，由力2_1-力9，且4pJ»4D，得出4P是'I',面46。。的一个法向量,C正确；

对于。，由是平面A8CO的法向量，得出力8、，则。错误.故选：ABC.

12.(2019秋•薄泽期末)如图，在四棱锥P-4BC。中，底面为直角梯形，AD//BC,ZBAD=90°,%_1_底

ffiABCD,且必=AO=AB=28C,M、N分别为PC、PB的中点.则（)

A.CD1AN

B.BD1PC

C.P8JL平面ANMO

D.8。与平面ANM。所在的角为30。

【解答】解：A显然错误；

若BDUC,由8Q_L附，则6O_L平面以C,则8O_L4C,显然不成立；

C、PR工AN,又Pn，NM,可得到。成立；

D、连接DN,因为PB_L平面ADMN,所以NBDN是BD与平面ADMN所成的角在RMDN中,

BN1

sin^BDN=—=一，所以8。与平面AQMN所成的角为30。成立；故选：CD.

BD2

三.填空题（共4小题）

71

13.（2019秋•房山区期末）设。是直线与平面所成的角，则角G的取值范围是」^

2

【解答】解：。是直线与平面所成的角，当直线在平面内或直线平行于平面时，0取最小值0,

717171

当直线与平面垂直时，e取最大值2，・•・角e的取值范围是［o,-j.故答案为：io,

14.（2019秋•温州期末）在平面直角坐标系中，点A（-1,2）关于x轴的对称点为4'（-1,-2）,那么，

在空间直角坐标系中，B（-1,2,3）关于x轴的对称轴点B'坐标为（7,■中・3）,若点C

（1,-1,2）关于xOy平面的对称点为点C,则

【解答】解：在空间直角坐标系中，8(-1,2,3)关于x轴的对•称轴点8坐标为(-1,-2,-3),

若点C(l,-1,2)关于xO.y平面的对称点为点C,则CM,-I,-2),

A\B'C\=7(1+1)2+(-1+2)24-(-2+3)2=V6.故答案为：(-1,-2,-3),乖.

71

15.(2020•杨浦区一模〉己知圆锥的底面半径为1cm,侧面积为2r.cm2,则母线与底面所成角的大小为一.

一3一

V1

【解答】解：由圆锥侧面积公式5=兀”=兀・1・/=2兀，解得1=2,设母线与底面所成角为0,则8sH=—=一,

I2

7171

・・・9=一，故答案为：一.

33

16.(2020春•和平区校级月考)如图，在正四棱柱A8co-A|8|GQ|中，底面边长为2,直线CQ与平面

1

AC。所成角的正弦值为一，则正四棱柱的高为4

3

【解答】解：以。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为X轴，)，轴，z轴建立如图所示的空间直

角坐标系，

设=。，则A(2,0,0),C(0,2,0),Di(0,0,〃)，故

TTT

，4。=(-2,2,0),<。1=(-2,0,a),“i=(0,0,a)f

_♦n•AC=-2x+2y=0-+2

设平面ACQ]的一个法向量为丁一(y则，可取n=(l,1,一)，

兀一1%,y,z)[nAD1=-2x+az=0a

--n,CCi22

故cosVn，CCj>=-----——二—

"InlICCJQ412a2+4'

1

乂直线CCi与平面ACD｝所成角的正弦值为一,

3

21

，=J,解得〃=4.故答案为：4.

12a2+43

匕::y

四.解答题（共5小题）

17.（2020•长春四模）如图，四棱锥P-A8CQ中，底面A8C。为梯形，AB//DC,/84。=90。，点£为

1

PB的中点，且CO=2人£>=2AB=4,点”在C。上，旦。尸=一/C.

3

（I）求证：E/〃平面PAD；

（II）若平面％D_L平面/WCD,%=PO且附_LPO,求直线小与平面P8厂所成角的正弦值.

II1

【解答】解：（I）证明：取玄的中点，连接。M,EM,在△RtB中，ME为一条中位线，则MA'=[48,

2

it1it

乂由题意有，。”=—48，故ME=Z）户・•・四边形DFEM为平行四边形,

2

：.EF//DM,又E/y平面必OMu平面粗。，,石尸〃平面以D；

（II）取中点M8c中点〃，连接PN,NH,

由平面以。_L平面A3C。，且PN_LA。，平面以0n平面A3CQ=A。，可知PNL平面A3CD,

又AD1NH,

故以N为原点，NA,NH,NP所在直线分别为x轴，），轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则

P(0,0,1),A(l,0,0),8(1,2,0),F(-1,1,0),BP=(-1,-2,1),8F=(-2,-1,0)'

一口->

川r,.m匕-B前P=-a-2b+c=0可取，，

设平面PB/的一个法向量为m=(06c)，=-2I+c=0'm=d-2,-3)

一PA-m2"

乂P/l=(l,0,_1)'故|cosVP/l,m>|=I———\=­,

\PA\\m\

2M

・•・直线PA与平面P8F所成角的正弦值为

7

18.(2020•沙坪坝区校级模拟)如图，四棱台A8CO-4B£D|的底面是矩形，平面A8CQ_L平面ABB内,

A8=2A闻=2,M=2,BBI=G

(1)求证：OC_LA4i；

；10

(2)若二面角8-CG-。的二面角的余弦值为一^—,求,4力的长.

10

【解答】解：(1)取A8中点E,连接81E4E=4|B|,且

所以四边形AE3|A|为平行四边形，所以8|£=AA|=2,BE=\,所以Z?。"=⑶产+小产，则历E,

所以AA|_LAB,又平面ABCOJ_平面ABB',所以441_L平面ABCQ,所以。C_LA4i；

(2)由(1)知M_LAD,设40=2a(40),建系如图，

则4(0,0,0),B(0,0,2),C(2d,0,2),D(2a,0,0),C\(a,2,I),

故CCI=(-Q,2,-1),DC=(0,0,2),?C=(2Q,0,Oy

»TT

,CC\-n=0-ax+2y-z=0->

设平面。的法向量*=(%,丫，,则/T=

CGz)2z=()»可取TI=(2,a,0)'

DCn=0

设平面BCG的法向量m=(%,y,/)，则--={2ax^=0，可取m=(0,1.2)

BC-m=0

--n-m

所以cos{n,m)=--------------

\n\-\m\

由二面角B・CC「D的二面角的余弦值为-a;10

J,洱-------.-.....

104.再410

解得。=2,所以AO=4.

19.(2019秋•清远期末)如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABC。为平行四边形，NQ4A=45。，夕。_1_平

[0ABCD,APLBD.

(1)证明：灰小平面2。&

(2)若4?=\忆P8与平面"。所成角为45。，求点8到立面APC的距离.

【解答】解：(1)证明：・・・PO_L平面ABC。，3c在平面A8C。内，在平面A8C。内,

，PD_LBC,PD1BD,乂APLBD,APC\PD=P,且4P,。。均在平面4Po内，

・・・8。_1_平面APO,又4。在平面APO内，・・・8£)_LA。，又底面A8CQ为平行四边形，

1BCLBD,又PDCBD=D,且都在平面PB。内，・„平面加；

(2)由(1)知，尸8与平面4P。所成角即为N8PD,故NBPO=45。，

又AB=也,ZDAB=45°,

(1-

•'•AD=BD=PD=1,AP=Ql+1=>/2,pc=\/l+2=y/3.AC=2—h1=4，

」4

1J61厂超1

222X

：.AP+PC=AC,即AP_LCP,：.S^APC=-X^2X^=—^ABC=­1X42X—=-，

22乙乙乙

又Vp.ABC=yB-PAC^

111\，6J6....一J6

—SAABC,PD=—$△/>〃,》即一x1=—hf解得力=—•即点8至lj平面APC的距离为—.

332266

20.(2020•安徽模拟)如图1,四边形P8C。是等腰梯形，BC//PD,PB=BC=CD=2,PD=4,A为PD

的中点，将“HP沿A3折起，如图2,点M是棱尸。上的点.

(1)若M为尸。的中点，证明：平面PCOJ_平面A8M：

厂护

(2)若0C=也，试确定M的位置，使二面角M-48-。的余弦值等于二.

【解答】解：(1)证明：由题意，AD=BC,且AO〃8C,故四边形A8CO是平行四边形，

又PB=BC=CD=2,尸。=4,・••△尸84是正三角形，四边形ABC。是菱形，

取AB的中点E,连接PE,CE,易知△ABC是正三角形，则AB_LPE,AB±EC,

又PECEC=E,・・.A8_L平面PEC,/.AB±PC,

取尸。的中点N,连接MMBN,MMN//CD//AB,即A,B,N,M四点共面，

又PB=BC=2,则用V_LPC,又ABCBN=B,，夕。_1平面ABM,又PC在平面PC。内，

，平面PCO_L平面ABM；

・・^

(2)VPE=CE=2x—=木,pc=y/6f*»PEA.EC,

2

又AB_LP£且A8_L£C,则可以E8,EC,A8所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则4-1,0,0),8(1,0,0),0(-2,80),P(0,0,我，设DM=AMP(A>0)'则

-2\B例

M(---------,----------,----------)，

1+A14-A14-A

易知平面ABD的一个法向量为：=(o,0,1),

TTT—1+A{3j3a

设平面MAA的一个法向量为巾=(x