三角形的外角（预习讲义）-2024人教版八年级数学上册

第十三章三角形13.3.2三角形的外角

（预习讲义）

嘘鲜冽日幅

1.了解三角形外角的概念。

2.理解并掌握三角形外角的性质。

3.能运用三角形外角的性质解决简单的角度计算和推理问题。

4.初步体会几何中角的转化思想。

5领馁窟囹通

1.三角形外角的定义

•概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

•图形说明：如图1,任AABC的一边BC延长到点D,得到NACD。像这样，三角形的

一边与另一边的延长线组成的角（NACD）,就是三角形的外角口

o（此处应有图：一个三角形ABC,延长BC至D,标出NACD为外角）

•理解要点：

o外角的顶点是三角形的一个顶点。

。外角的一条边是三角形的一边。

o外角的另一条边是三角形另一边的延长线。

••个三角形有多少个外角？­个三角形有6个外角。每个顶点处有2个外角，它们

是对顶角，大小相等。（在研究外角性质时，通常每个顶点处取一个外角）

2.三角形外角的性质

•性质1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

。如图1,NACD是△ABC的一个外角，它与内角NA和NB不相邻，那么NACD

=ZA+ZBo

O推理过程简述；因为NACB+ZACD=180°（平角定义），且NA+ZB+

ZACB=180°（三角形内角和定理），所以NACD=ZA+NB。

•性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

o如图1,NACD是AABC的一个外角，那么NACD>ZA,ZACD>ZBo

o推理依据：由性质1,ZACD=ZA+ZB,而NA和NB都是大于0。的角，

所以NACD必然大于NA,也必然大于NB。

3.注意事项

•在应用外角性质时，要准确判断哪个角是外角，以及这个外角“不相邻的两个内角”

是哪两个。

•“不相邻”指的是与外角没有公共顶点的两个内角。

•三角形的外角定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角。

•三角形外角的重要性质：

i.外角等干与它不相邻的两个内角的和。（这是计算角度的重要依据）

2.外角大于与它不相邻的任何一个内角。（这是比较角的大小的重要依据）

•学习提示：掌握三角形外角的性质，关键在于理解其推导过程，并能在具体图形

中准确识别和运用。

一、选择题

1.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42。，则这个等腰三角形的顶角是（）

A.42°或138°B.48°或132°C.48°或138°D.42°或132°

2.如图，4=100"，ZB=20"，则4CD的度数是（)

A.120°B.110°C.100pD.90°

)

D.75°

4.如图，在△4BC中，将△ABC沿直线也翻折，点B落在点。的位置，则N1、N2、/B之

A.Nl+2=2/BB.Z2=2/B

C.ZB+Z2=D.Zl-Z2=ZB

5.如图，在D是8c延长线上一点，23=401ZAC。=125",则4等于

()

A.65。B.75°C.85°D.95°

6.如图，在△4BC44,NZ=30°,N8=50°，CD平分则NBDC的度数是

()

A.80°B.90°C.100'D.110°

7.如图，ZCDB=155°,NC=115°,则4的度数是()

12.如图，将一副直角三角板放置，使含30°的三角板的较短直角边和含45°角的三角板

的一条直角边在同一直线上，则N1的度数是度.

13.如图，/ABC=/ACB,BD,CD、跖分别平分的内角/48C、外角//“、外角/

MBC,以下结论：®AD//BQ②DBIBE：③/BDC+/ABC=90°；④N4+2N侬=180°.其

中正确的结论有.（填序号）

14.如图，在△4BC中，々=20°,/EBC,ZDCB为△ABC的外角，与/DCB的

平分线交干点4，与ZDCAi的平分线交于点＜2，…，4BAn_i与NDC4T的平分

线相交于点力九.

（1）NN1的度数为;

（2）若得到点（后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则n的值为

15.如图所示，ZABC,NACB的内角平分线交于点0,ZABC的内角平分线与NACB的外角

平分线交于点D,NABC与NACB的相邻外角平分线交于点E,且NA=60°,则N

BOC=,ZD=,ZE=.

三、解答题

16.如图1,已知乙姒360°,力、月两点同时从点。出发，点力沿射线加运动，点方沿射

线〃"运动.，点C为△力80三条内角平分线交点，连接和、AC.

(1)如图2,当NOAB=70"，求NACB的大小。

(2)在点小夕的运动过程中，NACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若

发生变化，请说明理由：

(3)如图3,连接0并延长，与N/仍机的角平分线交于点R与/坦交于点0.在ABCP

中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出/胡。的度数.

17.在AABC中，/ABC与NACB的平分线相交于点P.

(1)如图①，若NBPC=a,则NA=（用a的代数式表示，请直接写

出结论）

（2）如图②，作aABC外角NMBC、NNCB的角平分线交于点Q,试探究NQ与/BPC之间

的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E,4CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2

倍，求NA的度数.

18.如图，△ABC中，NABC=NACB,点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且

NADE=NAED,连接DE.

图①图②E备用图

(1)如图①，若=NC=30"，ZBAD=70u,求NUDE的度数;

(2)如图②，若/ABC=ZACB=70°，ZCDE=15°,求/BAD的度数;

（3）由（1）和（2）的结果知道4OE和NU4O的数量关系是：

当点D在线段BC的延长线上时，上述关系式是否还成立？请直接写出结论.

19.阅读填空，将三角尺（ZXMPN,ZMPN=90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图

①所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C,我们来研究NABP与NACP是否存在某

种数量关系.

①

（1）特例探索:

若NA=50°,则NPBC+NPCB=度，NABP+/ACP=度.

（2）类比探索：

NABP、NACP、NA的关系是

（3）变式探索；

如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在aABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过

点B和点C,则NABP、NACP、NA的关系是,

参考答案

1.B

2.A

3.D

4.B

5.C

6.A

7.C

8.B

9.180

10.65°

11.25°

12.75

13.①②③④

14.80°;3

15.120°；30°；60°

16.(1)解：•••/MON=60°,ZOAB=70°

・•.ZOBA=1800-ZOAB-/MON=50°

•・•点C为4480三条内角平分线交点，

・•.ZCBA=-ZOBA=25°,/CAB=-ZOAB=35°,

22

・•.在dACB中,ZACB=1800-ZBAC-/CBA=120°

(2)解：N；4cB的度数不变，N4CB=120。，理由如下：

•・•点C为448。三条内角平分线交点，

ZCBA=-ZOBA,NCAB=-ZOAB,

22

••・ZCBA+/CAB=1NOBA+|NVAB=+4MB),

•••NMON=60°，

ZOBA+ZOAB=120°，

ZCBA+/CAB=60"，

NACB=120°,

即NZCB的度数不变；

(3)①•••点C为44B。三条内角平分线交点，

:./BOA=2/BOP,NBAO=2NBAC,

JZMBA=ZBOA+/BAO=60°+/BAO,

•••BP为/4BM的角平分线，

.•・/MBA=2/MBP,

，600+ZBAO=2/MBP,

VZMBP=ZBOP十4=30°+ZP,

,6。、+/8h。=30。+/p,

2

整理得：ZBAO=2^P;

②设/。84=小，则"84=180°-m,ZBAO=120°-m,

BP为418M的角平分线，

.・./ABP=90°--m,

2

•・・/MON=60°,点C为448。三条内角平分线交点，

••・/ABC=-m,ZBCP=/BCO+ZOBC=30°+-m,

22

NCBP=ZABC+ZABP=90°,

/P=1800-NCBP-/BCP=60°--m,

2

/BCP中有一个角是另一个角的2倍，分两种情况：

(1)NCBP=2NBCP,则90°=2(30°+1m),

解得m=30°,此时/B4。=120°-m=90",

(2)NCBP=2NP,则90°=2(60°

4

解得m=30°,此时/540=120°—m=90°,

48。，中有一个角是另一个角的2倍，/B40为90“

17.(1)2a-180°

(2)解：结论：NBPC+NBQC=180°.

理由：如图②中，

Q

图②

・・•外角NMBC,NNCB的角平分线交于点Q,

AZQBC+ZQCB=1(ZMBC+ZNCB)

=-(360°-ZABC-ZACB)

2

=-(180°+ZA)

2

=90°+沁，

/.ZQ=180°-(90°+；NA)=90°-NA,

22

VZBPC=90°+；NA,

AZBPC+ZBQC=180°.

(3)解：延长CB至F,

国③

VBQ为AABC的外角NMBC的角平分线,

ABE是AABC的外角NABF的角平分线，

・・・NABF=2NEBF,

・「CE平分NACB,

.,.ZACB=2ZECB,

VZEBF=ZECB+ZE,

A2ZEBF=2ZECB+2ZE,

即/ABF=NACB+2/E,

又TNABF=NACB+NA,

/.ZA=2ZE,

•