统计（练）-高考数学一轮复习解析版

第01讲统计

国练基础

一、单选题

1.为了检查“双减”政策落实效果，某校邀请学生家长对该校落实效果进行评分.现随机抽

取100名家长进行评分调查，发现他们的评分都在40〜100分之间，将数据按[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组,整理得到如图所示的频率分布直方图,则

在抽取的家长中，评分落在区间[60,90)内的人数是()

频率

前

0.030...................1—1

0.025........................—।

0.020..............

0.015.........T—

0.010-

0.005…厂...........

。■40506070809011)0评分;分

A.55B.60C.70D.75

【答案】D

【分析】根据频率直方图求出[60,90)内频率，进而求出其中的人数.

【详解】由题图,[60,90)内频率为(0.02+0.03+0.025)x10=0.75.

所以评分落在区间[60,90)内的人数是0.75x100=75人.

故选：D

2.某旅行社统计了三条路线的旅游人数，具体分布如下表(每人参加且仅参加一条路线)：

南北湖景区东湖景区西塘古镇景区

男性3060X

女性504060

现要对这三条路线的选择情况进行抽样调查，从参加这三条路线的人中采用按小组分层随机

抽样的方法抽取60人，从参加南北湖景区路线的人中抽出16人，则大=()

A.30B.60C.80D.10()

【答案】B

【分析】由分层抽样按比例求出各景区抽取的人数后可得x值.

【详解】设东湖景区抽取的人数为明则黑=得，，〃=20,

OV101）

从而西塘古镇景区抽取的人数为60-16-20=24,

„1624

因m此一=——-x=60.故选：B.

8()x+60

3.现给出一位同学在7月和8月进行的50米短跑测试成绩（单位：秒）:

7月9.810310.010.29.99.810.()10.110.29.7

8月10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

记7月、8月成绩的样本平均数分别记为工，y,样本方差分别记为S；,S）①己知统计量

g1

/=T可在一定程度上说明两个月跑步成绩的稳定性（当尸>2.050或万>2.050时，可认为

S2"

成绩不稳定）；②若满足了一天之2小穿，则可说明成绩有显著提高.则这位同学（）

A.成绩稳定，且有显著提高B.成绩稳定，且无显著提高

C.成绩不稳定，且有显著提高D.成绩不稳定，且无显著提高

【答案】B

【分析】利用数表分别计算了，5,s；，学，结合①②条件即可求解.

【详解】由题意可知,x=­(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,

y=^(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

I102=0036110

由方差公式可知，^=^Z（A；-^->$=77；Z（y-»=004,

1Uf-i1UJ=I

故尸=去=2^=0.9<2.050,1=—<2.050,

si0.04F9

从而成绩稳定；

而工_y=_o.3<2,^^，

从而成绩无显著提高.

故选：B.

4.某校举行演讲比赛，邀请7位评委分别给选手打分，得到7个原始评分.在评定选手成

绩时，从这7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.这5个有效

评分与7个原始评分相比，数字特征保持不变的是（）

A.众数B.标准差C.平均数D.中位数

【答案】D

【分析】根据评分的规则容易判断选项.

【详解】7个数去掉一个最高分，去掉一个最低分，显然中位数是不变的；

故选：D.

5.北京冬奥会的举办掀起了•阵冰雪运动的热潮.某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与

性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的3倍，有:的男生喜

欢滑冰，有;的女生喜欢滑冰.若根据独立性检验的方法，有95%的把握认为是否喜欢滑冰

和性别有关，则参与调查的男生人数可能为()

参考公式：z2=y~/吗产”一其中〃=a+Z?+c、+4.

(4+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

参考数

也I%)OJO0.050.0250.010

k02.7063.8415.0246.635

A.12B.18C.36D.48

【答案】C

【分析】设男生人数为3R,则女生人数为4,且xwN•，写出列联表并根据k方计算公式,

结合题意确定k方值的范围，即可确定x的取值范围，进而确定男生可能人数.

【详解】设男生人数为3x,则女生人数为x,且xcN、

可得列联表如下：

男生女生合计

Xlx

喜欢滑冰2x

3T

不喜欢滑2x5x

X

冰TT

合计3xX4x

4c2xX.2

4x(2x*--------・x)~I。

所以/二_______3_3—=2x

"以/lx5x.35

---------3xx

33

因为有95%的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关,

121-

所以看c(3.841,5.024],解得11.20<xW14.65,

JJ

•••线性回归方程z=2x-l.

，lnc=TM=2,解得。=,次=2.故选：B.

e

二、填空题

8.为了调查高中学生参加课外兴趣活动选篮球和舞蹈是否与性别有关，现随机调查了30

名学生，得到如下图2x2列联表：

篮球舞蹈合计

男13720

女281()

合计151530

根据表中的数据，及观测值/其中K'E瑞统商）的参考数据:

P(K2次)0.050.0250.010

3.8415.0246.635

则在犯错误的概率不超过___________前提下，认为选择舞蹈与性别有关.

【答案】0.025

【分析】由列联表中的数据，计算K?的值，对照表中的参考数据，比较即可得到答案.

【详解】山列联表中的数据可得，4=30x（13x8-2也=1=5.4>5.024

15x15x20x105

所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为选择舞蹈与性别有关.

故答案为:0.025.

9.下列说法中错误的有.

（1）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；

（2）两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；

（3）设随机变量X服从正态分布N（O,1）,若尸（X>1）=〃，则尸（―l<X<O）=g-〃；

（4）根据下表提供的数据，线性回归方程），=0.7x+0.35,那么表中，=3.15.

X3456

y2.4t3.84.6

【答案】（1）（4）

【分析】（1）根据残差的概念与残差图的特点即可判断:

（2）根据残差平方和的概念即可判断；

（3）根据正态分布N（OJ）的性质求解并判断；

（4）根据表中数据计算工亍，代入线性回归方程中求得r的值，即可判断.

【详解】对于（1）,残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越

高，所以（1）错误；

对于（2）,两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，所以（2）正确；

对于（3）,根据正态分布N（O,1）的性质可得，若尸-则P（Xv-l）「〃，

/.P（-l<X<l）=l-2p,==所以（3）正确：

对广（4）,根据表中数据，计算x='x（3+4+5+6）=4.5,y=—x（2.4+/+3.8+4.6）=2.7+—,

444

代入线性回归方程），=0.7》+0.35中，得2.7+；=0.7X4.5+0.35,解得/=3.2,所以（4）错

误.

故答案为：（1）（4）.

10.在某次数学测验中，6位学生的成绩分别为：78,85,t,82,75,80,他们的平均成

绩为81,则他们成绩的75%分位数为.

【答案】85

【分析】根据百分位数的定义求解即可.

【详解】解：由题意知78+85+1+82+75+80=6x81,

解得，=486-400=86,

把这组数据按从小到大的顺序记为：75,78.80,82,85,86,

指数i=，W%=6x75%=4.5,

因此，这组数据的75%分位数为85.

故答案为：85.

三、解答题

11.特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策，通过公开招聘高校

毕业生到中西部地区“两基”攻坚县、县以下农村学校任教，进而提高农村教师队伍的整体素

质，促进城乡教育均衡发展.某市招聘特岗教师需要进行笔试和面试，一共有600名应聘者

参加笔试考试，从中随机抽取了100名应聘者，记录他们的笔试分数，将数据分成7组：

[20,30）,[30,40）,[80,90）,得到如图所示频率分布直方图.

频率

丽

0.04

0.02.................

02030405060708090分数

⑴若该市计划168人进入面试，请估计参加面试的最低分数线：

（2）已知样本中笔试分数低于40分的有5人，试估计总体中笔试分数在［40,50）内的人数.

【答案】（1）78

（2）30

【分析】（1）根据题意求得进入面试的频率2=0.28,再判断最低分数线x所在分数区间，

结合频率的计算公式得到方程，解之即可；

（2）由频率分布直方图求得不低于5（）分的频率，由题意求得分数低于40分的频率，从而

求得笔试分数在［40,50）内的频率，再由频数等于总数乘以频率即可求得结果.

【详解】（1）根据题意，得进入面试的频率。=黑=028,

6（）（）

由频率分布直方图可知，笔试分数位于［70,80）、［80,90）的频率分别为0.4、0.2,

所以设参加面试的最低分数线x«70,80）,

得（80—x）x0.Q4+0.2=?，解得工二78,

故参加面试的最低分数线约为78.

（2）样本中笔试分数不低于50分的频率为：0.1+0.2+0.4+0.2=0.9,

样本中笔试分数低于40分的频率为：-^-=0.05,

100

所以样本中笔试分数在［40,50）内频率为：1-0.（）5-0.9=0.05,

故总体中笔试分数在［40,50）内的人数约为600x0.05=30（人）

12.根据中国海洋生态环境状况公报，从2017年到2021年全国直排海污染物中各年份的氨

氮总量》（单位：千吨）与年份的散点图如下：

2

0

8

6

4

2

~or20172018201920202021

记年份代码为M%=1，2,3,4,5),，=’,对数据处理后得:

X

S'；

y丸

/=|1=11=1/=!

60.51.52107617

⑴根据散点图判断，模型①y=衣+〃与模型②）=邑+c•哪一个适宜作为y关于X的回归方

X

程？（给出判断即可，不必说明理由）

⑵根据（1）的判断结果，建立y关于X的回归方程，并预测2022年全国直排海污染物中的

氨氮总量（计算结果精确到整数）.

参考公式：回归方程》=班+力中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

Z（A-幻（X-田一'®

M/>!

【答案】⑴模型②适宜作为）'关于X的回归方程.

Q

（2）y关于X的回归方程为§，=3+2,预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为3吨

x

【分析】（1）可根据散点图判断出非线性回归方程模型.

（2）根据表中数据和参考数据代入公式求出回归方程，并可预测2022年全国直排海污染物

中的氨氮总量.

【详解】（1）根据散点图的趋势，可知模型②适宜作为关于工的回归方程.

°立另一5八,

17-5x0.5x62

(2)^=-£dlgc=y-dt=6-8x0.5=2.

l.5-5x0.52-025~

修।

Q

故）'关于，的【可归方程为2即+2,即）'关于X的回归方程为9=2+2,2022年对应的年份

x

代码为x=6,>:+2=3,故预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为3吨.

6

国练提升

一、单选题

1.某地区今年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的

最高气温和最低气温，得到如下图表：

某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温

根据图表判断，以下结论正确的是（）

A.8月每天最高气温的平均数低于35c

B.8月每天最高气温的中位数高于40℃

C.8月前半月每天最高凭温的方差大于后半月最高气温的方差

D.8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差

【答案】D

【分析】根据给定的每天最高气温与最低气温的折线图，结合平均数、中位数、方差的意义

逐项分析判断作答.

【详解】由某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温的折线图知，

对于A,8月1日至9口的每天最高气温的平均数大于35℃,25口至28口的每天最高气温

的平均数大于35℃,

29日至31日每天最高气温大于20℃小于25C,与35℃相差总和小于45C,而每天最高气

温不低于40c的有7天，

大于37c小于40c的有8天，它们与35℃相差总和超过45C,因此8月每天最高气温的平

均数不低于35℃,A不正确；

对于B,8月每天最高气温不低于40c的数据有7个，其它都低于40℃,把31个数据由小

到大排列，中位数必小于40,

因此8月每天最高气温的中位数低于40℃,B不正确；

对于C,8月前半月每天最高气温的数据极差小，波动较小，后半月每天最高气温的极差大，

数据波动很大，

因此8月前半月每天最高气温的方差小于后半月最高气温的方差，C不正确；

对于D,g月每天最高气温的数据极差大，每天最低气温的数据极差较小，

每天最高气温的数据波动也比每天最低气温的数据波动大，因此8月每天最高气温的方差大

于每天最低气温的方差，D正确.故选：D

2,参加抗疫的300名医务人员，编号为I,2,…，300.为了解这300名医务人员的年龄

情况，现用系统抽样的方法从中抽取15名医务人员的年龄进行调查.若抽到的第一个编号

为5,则抽到的第二个编号为()

A.35B.30C.25D.20

【答案】C

【分析】将300个数编号：1,2,300,再平均分为15个小组，然后按系统抽样方法得

解.

【详解】将300个数编号：1,2,300,再平均分为15个小组，

则第一编号为5,第二个编号为300X5+5=25.故选：C

3.某微生物科研团队为了研究某种细菌的繁殖情况，工作人员配制了一种适合该细菌繁殖

的营养基质用以培养该细菌，通过相关设备以及分析计算后得到：该细菌在前3个小时的细

菌数>与时间，(单位：小时，且1T3)满足回归方程)二c"""(其中〃为常数)，若1=)，，

且前3个小时，与N的部分数据如下表：

1123

812

2

yee5

3个小时后，向该营养基质中加入某种细菌抑制剂，分析计算后得到细菌数V与时间，(单

位：小时，且3V/K10)满足关系式：y=24^a-3)e4-2fc+12,在/="时刻，该细菌数达到

最大，随后细菌个数逐渐减少，则小的值为()

911

A.4B.-C.5D.—

22

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出样本中心点求出〃值，再分段讨论y的最大值情况作答.

【详解】依题意，：=甘@=2,z=l(1+2+y)=2,由)，=8疝，e;=y,得z=l+初，

且？=1+初经过点(2,2),

于是得力=：，当1«Y3时，y=e吟单调递增，则当『=3时，

当3GK10时,>'=12(z-3)e4-,+12,令/⑺=12(1—3甘”+12,3</<10,

求导得:/70=12e4-/-12(r-3)e4';=12(4-r)e4-/,当3vrv4时,/X0>0,当4VY10时,

即函数/⑴在(3,4］上单调递增，在函10］上单调递减,当1=4时,f⑺皿=/(4)=24,

而24>32X2>32XG=3=>/，因此当，=4时，细菌数》取最大值，

所以的值为4.故选：A

4.某校高二（3）班举行迎新活动有十个不同的三等奖品，编号为01,02,...»10,现用

抽签法从中抽取3个奖品与高二（4）班进行奖品对■换，设编号为02的奖品被抽到的可能性

为编号为03的奖品被抽到的可能性为人,则)

1010

1010

【答案】B

【分析】由抽签法，只需3次抽签中任意一次抽到对应编号奖品即可，结合互斥事件加法、

独立乘法公式求概率.

【详解】02、03奖品被抽到，只需3次抽签中任意一次抽到即可，

所以它们被抽到的概率均1为919而81瑞3，即°端3,暇3.

故选：B

5.以下四个命题中：

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，

这样的抽样是分层抽样；

②在线性回归分析中，2为（）.98的模型比代为0.80的模型拟合的效果好；

③对分类变量X与y的随机变量小的观测值k来说，k越小，判断“x与丫有关系的把握程

度越大；

④数据1,2,3,4的标准差是数据2,4,6,8的标准差的一半.

其中真命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】①根据系统抽样的定义进行判断，②根据回归方程中心的意义进行判断，③根据

分类变显X与V的随机变显K?的观测俏女的关系进行判断，④根据数据方差之间的关系进

行判断.

【详解】①从匀速传递的产品生产流水线.上，质检员每10分钟从中抽取•件产品进行某项

指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误；

②在线性回归分析中，R2为0.98的模型比我2为0.80的模型拟合的效果好，故.2正确；

③对分类变量x与y的随机变量K?的观测值出来说，女越大，判断“X与丫有关系”的把握程

度越大，故.3错误；

④丁两组数据满足y=：x,.•.它们的方差满足。（y）=！o（x）,则标准差为

24

即数据123,4的标准差是数据246,8的标准差的一半正确，故④正确.故选：C

6.下列说法正确的是（）

A.设（工一1）9=《）+《（4-2）++。2（.1-2）2+…+〃9（工一2）‘，则％+%+。3+…+%=~1

B.己知随机变量J服从正态分布N（2»2）,P（^<4）=0.84,则P（2<《<4）=0.16

C.随机变量X8（3,〃），若P（XW2）=g且y=3-2X,则。（丫）=6

D.以模型y=ce”拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=ln），，将其变换后得到线性

方程z=0.3x+4,则J上的值分别是e4和0.3

【答案】D

【分析】利用二项式定理及赋值法可得各项系数，判断A选项：根据正态分布的对称性可

判断B选项：根据二项分布概率公式可得〃及o（x）,进而可得。（丫）判断c选项；利用指

数与对数式的相互转化可判断D选项.

【详解】A选项：（'一1）"=[（工一2）+1了=q）+4（x-2）++%（x-2）~+…+6（》一2）",

9

«（）=Cj（x-2）°xl=1,令x-2=l,即x=3,得％+4++/+.••+《=2”=512,所以

4+/+%+…+/=512-%=511,错误：

B选项：由已知可得该正态分布曲线的对称轴为4=2,且，（4=4）=1-0.84=0.16,故

P（2<<f<4）=0.5-0.16=0.34,错误；

71

C选项：由X8（3,〃）得P（XK2）=l—P（X=3）=l—C；p3=（,解得〃=彳，所以

o2

1/1\Oo

Z）（X）=3x-xI--=p又y=3-2X,则r>（y）=（-2『o（x）=4x：=3,错误；

,/.\（女=0.3c=e4

D选项：由>"*,得z=l”=ln（ce”履+lnc,则｛,解得｛,正确；

'，[lnc=4住=0.3

故选：D.

7.通过随机询问相同数量的不同性别大学牛.在购买食物时是否看营养说明，得知有。的男

大学生“不看”，有:的女大学生“不看”，若有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有

关，则调查的总人数可能为（）

A.150B.170C.240D.175

【答案】C

【分析】由题意列出2X2列联表，并计算出炉,根据有99%的把握认为性别与是否看营养

说明之间有关，列出不等式，解出2加，可得答案.

【详解】设男女大学生各有〃，人，根据题意画出2x2列联表，如下图：

看不看合计

51

男—m—rnm

66

21

女—m-tnni

33

31

合计—m—m2m

22

"5112Y

2m—mx-m——x—m

所以—1—5一」=迎，因为有99%的把握认为性别与对产品是否满意

%」心心利27

22

有关，所以W>6635,解得2m>179.145,所以总人数2「可能为240.

故选：C.

8.下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（）

A.在经验回归方程5，=2-O.5X中，若解释变量%增加1个单位，则预测值》平均减少0.5

个单位

B.经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线

C.若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数厂就越接近于1

D.若甲、乙两个模型的决定系数R2分别为（）.87和0.78,则模型乙的拟合效果更好

【答案】A

【分析】根据回归方程的意义，逐项分析理解即可.

【详解】对于A,-0.5的含义就是x每增加一个单位，估计值;就平均减少0.5个单位，故

A正确；

对于B,确定回归直线的根据是误差最小，并不是经过的样本点最多，故B错误；

对于C,相关有正相关和负相关，共同点是相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1,故

C错误；

对于D,R2是描述拟合效果的，R2越大拟合效果越好，应该是甲的拟合效果更好，故D

错误；

故选:A.

二、填空题

9.某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常

把它使用价值逐年减少的“量叫奂算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x（单

位：年）与失效费），（单位：万元）的统计数据如下表所示：

使用年限X（单位：年）1234567

失效费了（单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90

由上表数据可知，），与x的相关系数为.

£"可(凹-反)7__

(精确到0.01,参考公式和数据：r=~n=---------i---------->Z(TX)(M-R=I4.OO,

\/=11=1

E(y,-y)2=7.08,

Vl98.24«14.10)

r=i

【答案】0.99

7

【分析】分别求出；，亍，可2,再利用参考公式和数据计算即可.

1-1

-1+2+3+4+5+6+7.

【详解】由题意,x=----------------------=4,

2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90

y==4.30

^(X.-X)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4,+(4-4,+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28.

所以一"4.00一广0014.00

u0.99.

V28x7.08V198.2414.10

所以了与％的相关系数近似为0.99.

故答案为：0.99.

10.为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新

增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关''做了一次调查，其中被调查的男女

生人数相同，得到如图所示的等品条形统计图，则下列说法中正确的有.

□不喜欢□喜欢

①被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多

②被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多

③若被调查的男女生均为10()人，则可以认为喜欢登山和性别有关

④无论被调查的男女生人数为多少，都可以认为喜欢登山和性别有关

【答案】①③

【分析】由等高堆积条形统计图可判断A、B；利用独立性检验，计算出了2=嘿，可判断

C、D.

【详解】因为被调查的男女生人数相同，由等高堆积条形统计图可知，喜欢登山的男生占

80%,喜欢登山的女生占30%,所以A正确，B错误;

设被调查的男女生人数均为n,则由等高堆枳条形统计图可得列联表如下

男女合计

喜欢0.8〃0.3〃1.1〃

不喜欢0.2〃0.7〃0.9〃

合计nn2〃

2〃x(08〃x0.7〃-0.3〃x0.2n)250〃

由公式可得：z2=

l.hix0.9〃x〃x〃99

当〃=1(X)时，/=*=盗'>50,可以判断喜欢登山和性别有关，故C正确：

而尤=鬻，所以/的值与〃的取值有关•故D错误.故答案为：®®.

三、解答题

11.第17届亚运会于2014年9月19日至10月4日在韩国仁川进行，为了搞好接待工作,

组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和

6人喜爱运动，其余人不喜爱运动.

⑴根据以上数据完成以下2x2列联表：

喜爱运动不喜爱运动总计

男1()16

女614

总计30

（2）根据列联表的独立性检验，能否认为有99%把握性别与喜爱运动有关？

（3汝I果从喜欢运动的女志愿者中（其中恰有4人会外语），抽取2名负责翻译工作，那么抽

出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？参考公式：昭=

n(ad-bc)2

其中〃=〃+/?+c+d.

(a+Z?)(c+4)(a+c)3+d)

参考数据:

PCK2>ko)0.400.250.100.010

ko0.7081.3232.7066.635

【答案】（1）答案见解析；

⑵没有99%把握认为性别与喜爱运动有关;

⑶*

【分析】（1）由已知数据完善列联表:

（2）计算Kz后可得结论:

（3）用列举法写出所有基本事件，得出所求概率事件包含的基本事件，计数概率.

【详解】（1）列联表如卜.:

喜爱运动不喜爱运动总计

男10616

女6814

总计161430

(2)^=3OX(1OX8-6X6)\1,158<6.635,

16x14x14x16

所以没有99%把握认为性别与喜爱运动有关；

（3）喜欢运动的女志愿者有6人，编号为。力其中c,d,ej会英语能负贲翻译工作，

从中任取2人，基本事件有cb,aGad,ae,af,bc,bd,beM，cd,ce,qf,deMM共15个，其中至

少有1人能胜任翻译工作的基本事件有或0共14个,

所以所求概率为尸=三14.

12.根据统计，某蔬菜基池西红柿亩产量的增加量），（百千克）与某种液体肥料每亩使用量

x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.

AN（百千克）

O24568x（千克）

⑴依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数「并

加以说明（若川＞0.75,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；

（2）求），关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增

加量约为多少？

nn__

2（七一了）（乂-了）Zx/一西

附：相关系数公式「二下自==7口--------=i'---------------

忸门）梅…）-唇n"唇h-"

参考数据：历之0.55,洞之0.95

回归方程§,=菽+方中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

2（8-了）（）Ly）2为」-〃x.y

b=上―-----------=号-----,a=y-xb,

七-寸£片-芯

1-11-1

【答案】（1）30.95,说明见解析

（2）y=03x+2.5-550千克

【分析】⑴根据散点图中的数据分别求得可得1亍，与h,T（）l）,（菁-可

,士&一亍）［进而求得相关系数厂，再与0.75比较下结论.

（2）结合（1）中的数据，分别求得/八”，写出回归方程，然后将x=10代入求解.

(1)

_3+4+4+4+5,

由已知数据可得X=-——-----=5,y=—5—=4，

所以2(Xj_f)(M_J9=(_3)x(T)+(T)x0+0x0+]x0+3x]=6,

1-1

因为/■Acns,所以可用线性回归模型拟合y与X的关系.

(2)

-ZU-4凹-刃6

b=―—j----------------=—=03,&=4-5x03=2.5,

ZGT20

r-1

所以回归方程为R0.3x+2.5.

当x=10时,y=0.3x10+2.5=5.5.

即当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为550千克

13.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数了

和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及•些统计量的值.

（I）根据散点图判断，y=bx+alzjy=ccib（其中e=2.718…为自然对数的底数）哪一个更适

宜作为平均产卵数1y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并

由判断结果及表中数据，求出），关于大的回归方程，（计算结果精确到0.01）

⑵根据以往统计，该地每年平均温度达到28c以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防

治，其他情况均不需要人工防治，假设该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p.若当

〃=〃。时，该地今后5年中恰好有3年需要人工防治的概率/（〃）最大，求见的值.

参考数据

77

ZX四yz

1=1/=1f-l

52151771371781.33.6

X（七-工）（》一）'）X文戊一

附：回归方程§=般+务，b=-.--------=母-------T*a=y-bx-

r=li=1

【答案】（l）），=ce4适宜作为卵数¥关「温度x的回归方程类型，乎关于%的回归力程为

^=eO.33x-5.31.

⑵当〃。=：时,/（P）M=）《）=股.

【分析】（1）根据散点图判断y=ce&更适宜作为y关于4的回归方程类型；对），:ce&两边

取自然对数，求出回归方程，再化为关于x的回归方程；

（2）由/（〃）对其求导数，利用导数判断函数单调性，求出函数的最值以及对应的外值.

（1）

解:由散点图可以判断，「二。一『适宜作为卵数y关于温度”的回归方程类型.

对）,二把小两边取自然对数，得iny=lnc+dY,

令S=lny，8=Inc»§=d，则$=屏+》.

।.的有一21+23+25+27+29+31+33

由数据得彳=-------------------------=27,

777

^x.z.-7xz=36.6,Z（X-工）二Z“：一7了'112,

i=l1=11=1

7

.工中「7元366

所以必弓--------=—^033,於彳一r=3.6—0.33?-1,

-方“2

/■I

所以Z关于X的线性回归方程为z=O.33x-5.31,

则丁关于x的回归方程为2e°・疝—.

⑵由/(〃)w,0-“)2得r(〃)£•p20-〃)(3-5〃)

3

因为Ov〃vl,令得3-5〃>0,解得0<p<]；

J

所以/(p)在(0,1)上单调递增，在弓,1)上单调递减，

所以/(p)有唯一的极大值为/(]),也是最大值；

所以当为[时，/(p『同嘿.

国练真题

一、单选题

1.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单

位：kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别

编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第

一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为：)

八频率

0.36........................

0.24

0.16—

0.08------------------------------1

0121314151617舒张压/kPa

A.8B.12C.16D.18

【答案】B

【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数,

从而可以求得结果.

【详解】志愿者的总人数为(0.24；：⑹xL。，

所以第三组人数为50x0.36=18,

有疗效的人数为18-6=12.

故选：B.

2.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h),得如下茎叶图:

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.

则下列结论中错误的是()

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

【答案】C

【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古版概型等知识确定正确答案.

【详解】对A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为上73气+7上5=7.4,A选项

结论正确.

对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为:

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+93+9.8+10.1。=八…。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=8.5()625>o

16

B选项结论正确.

对选项，甲同学周课外体育运动时长大「8的概率的估计值2=0.375<0.4,

16

C选项结论错误.

对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值5=0-8125>0.6,

16

D选项结论正确.故选：C

3.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10

位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各【可答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在

讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

100%

95%

90%

*讲座前

田75%•讲座后

70%

65%

60%

2345678910

居民编号

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

【详解】讲座前中位数为‘0%；75%>70%,所以A错;

讲座后问卷答题的正确率只有•个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问

卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确

率的标准差，所以C错；

讲座后问卷答题的正确率为极差为100%-80%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,所以D错.故选:B.

4.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，

为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与丁和电尸的关系,

其中丁表示温度，单位是长产表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（）

A.当7=220,P=1026时，二氧化碳处于液态

B.当7=270,P=128时，二氧化碳处