图形的位似（高效培优讲义）-北师大版九年级数学上册

专题4.6图形的位似

1.了解位似图形及其相关概念，明晰位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质，

如对应顶点连线过位似中心，对应点到位似中心距离之比等于位似比。

教学目标2.熟练掌握位似图形的画法，能够依据给定的位似比，将一个图形放大或缩小。

3.探索并掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心时位似图形对应点坐标的变化

规律。

1重.点

（1）透彻理解位似图形的有关概念，包括位似中心、位似比等，以及位似图形的性质。

（2）熟练掌握位似图形的作图方法，能准确根据要求作出位似图形。

2难.点

教学重难点

（1）灵活运用位似图形的性质，将一个图形按要求放大或缩小，特别是在解决复杂图

形和实际问题时。

（2）深入理解在平面直角坐标系中，位似图形对应点坐标变化规律的原理，并能正确

应用于解题和作图。

知双清单

知识点01图形的位似变换

1.位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个

图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2.性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为公那么位似图形的对应点的坐标的

比等于4或匕

注意：

（1）位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图

形：

（2）两个位似图形的位似中心只有一个：

（3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；

（4）位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似：

（5）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心H勺距离之比等于相似比。位似多边形的对应边

平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似

中心的位变而位变。

（6）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧，并且

关7位似中心对称。

【答案】C

【分析】本题考查了位似的性质，根据位似图形的性质判断解答即可，掌握位似的性质是解题的关键.

故选：C.

【分析】本题考查位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键.

连接AA、BB'，并延长交于一点，交点即为所求.

【详解】解：如图，

x

B

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】此题主要考查了利用位似变换进行作图，正确利用位似的性质得出对应点位置是解题的关键.

（3）依据原点。为位似中心，位似比为1:2,即可得出对应点必？的坐标.

（3）解：（3原点0为位似中心，位似比为1:2,

题型精讲

题型01位似图形的识别

【典例1］下列图形变化属于位似的是（）

【答案】A

【知识点】位似图形的识别

【分析】本题考杳的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互

相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形.根据位似图形的定义判断即可.

【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意；

选项4、C、。的图形都不属于位似图形，不符合题意；

故选：A.

【变式1】方框中的两个图形不是位似图形的是（）

【答案】。

【知识点】位似图形的识别

【分析】本题考查了位似变换的知识，位似与相似既有联系乂有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同;

而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点.

【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.

据此可得人、C三个图形中的两个图形都是位似图形：

而。的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形.

图3图4

A.1个8.2个C.3个4个

【答案】C

【知识点】位似图形的识别

【分析】本题主要考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而H对应顶点的连线所在的直线相交于

一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形.

根据位似图形的定义进行判断即可解答.

故选：C.

题型02确定位似中心

【答案】A

【分析】本题考查了位似图形及位似中心的概念，掌握位似中心的确定方法是解题关键.

根据连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，即可解答.

【详解】解：如图所示

故选：A.

A.点PB.点、QC.点。。.点K

【答案】B

【分析】本题考查了位似变换，掌握确定位似图象的位似中心的方法是解题的关键.

连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可.

【变式2】如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（）

A.点AB.点、BC.点、CD.点。

【答案】。

【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心.即位似中心一定在对应点的

连线上，据此即可求解.

此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上是解题关键.

【洋解】解：团位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点4、8为对应点，

团位似中心在A、8所在的直线上,

回点。在直线AB上,

团点。为位似中心.

故选：D.

B-A

CD

G

A

OEX

【答案】4

【详解】解：连接C/，交)'轴于点尸，则点夕为位似中心,

故选:A.

题型03由位似图形的性质判断结论正误

【答案】。

【详解】解：根据位似性质可得:

(3面积比等于相似比的平方，

故选：D.

【答案】。

【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形与相似图形的关系，根据位似图形的性质，位似比等于相似

比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应边互相平行或在同一直线上，掌握位似图形的性

质是解题的关键.

【答案】D

【分析】本题考查的是位似图形的性质，熟记位似图形的性质是解题的关键.

故选:D.

题型04求位似图形的相似比

故答案为：—.

【答案】7:4/y

4

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比

故答案为：7:4.

【答案】4:5

【分析】本题考查了位似图形的性质，位似中心与对应点连线之比等于位似比，据此即可求解;

故答案为：4:5

题型05求位似图形的线段长度

X

【答案】6

【知识点】求两个位似图形的相似比

故答案为:6.

【答案】12

【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比

【详解】

故答案为：12.

【答案】|

【知识点】求两个位似图形的相似比、已知两点坐标求两点距离

又相似比为;，

故答案为生.

题型06求位似图形的周长

【答案】3:1

【知识点】求两个位似图形的相似比

【分析】本题主要考查了位似图形的性质.相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案.

故答案为：3:1.

【答案】12.5

【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比

【分析】本题考查位似图形，根据两个位似图形一定相似，且相似比等于位似比，再根据两个相似三角形

的周长比等于相似比，进行求解艮」可.

故答案为：12.5.

A'

【答案】1:4

故答案为：1:4.

题型07求位似图形的面积

E

C

【答案】18

【分析】此题考查了位似的性质，位似比等于相似比，位似三角形的面积比等于位似比的平方，解本题的

关键是掌握位似的性质.根据位似的性质求解即可.

雕L43C的面积为8,

故答案为：18.

故答案为：4:9.

【答案】20

故答案为：20.

【答案】关

故答案为:g

【答案】16

【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似多边形的性质是解题的关键.

故答案为：16.

【知识点】求位似图形的对应坐标

【分析】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比

为K那么位似图形对应点的坐标的L匕等丁A或T.据此求解即可.

［知识点】求位似图形的对应坐标

【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键.

直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长.

（3位似比为:，

【知识点】求位似图形的对应坐标

【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，

相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于人或-左.

根据以原点为位似中心的位似变换的性质计算，得到答案.

题型09画位似图形

【典例9】如图，已知点。是坐标原点，小方格的边长为1,A,B,C都在格点上，边8。与丁轴交于点M.

【答案】⑴见解析

33

⑵/

【分析】本题考查作图一位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键.

（1）根据位似的性质作图即可；

（2）利用割补法计算即可.

33

故答案为：y.

【答案】（1）①见解析；②见解析

【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似，熟记位似的性质是解本题的关键.

（1）①分别确定。，A，3关于位似中心的对应点O,A，4,再顺次连接即可；②分别确定。，A，B

平移后的对应点4，4，鸟，再顺次连接即可；

【答案】⑴见解析；

⑵见解析.

【分析】本题考查了平移作图，位似作图.

（1）根据题意作图即可；

（2）根据题意作图即可.

【答案】（I）见解析

⑵1。

【分析】本题主要考查了位似变换、坐标与图形等知识点，掌握位似比与坐标的关系是解题的关键.

（2）根据坐标系，用长方形的面积减去三个三角形的面积即可解答；

（3）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可解答.

强化训练

一、单选题

A.点QB.点、PC.点ND.点、M

【答案】。

【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键.

连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答.

A.32B.18C.6D.4

【答案】八

【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三

角形的性质得出答案.

故选：A.

【答案】A

【分析】本题考查求位似图形的位似中心，对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解.

.相似比为g,

故选：B.

【答案】D

【分析】此题考查了位似图形的性质.位似多边形的对应边平行或共线，位似图形的位似比等于相似比,

面积比等于相似比的平方列式，据此求解即可.

故选：

二、填空题

【答案】3

【答案】1:2

故答案为：1:2

【分析】本题主要考查了位似图形，正确解得两三角形的相似比是解题关键.

首先结合点、点的坐标确定与的位似比为3,即可获得答案.

1344'为12,

故答案为：27.

【答案】②③④

故答案为：②③④.

【分析】本题主要考查了位似的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质的运用，解决

问题的关键是依据等腰三角形的性质找出规律.

利用等腰三角形的性质，勾股定理和线段的比值确定中点的坐标，找出各中点之间的数量关系，最后确定

答案.

三、解答题

【答案】（1）见解析

（2）2

【分析】本题主要考查作图位似变换、三角形的面积等知识点，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关

键.

（2）利用网格结合三角形的面积公式计算即可.

14.如图，在正方形网格中，点4B,C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图.（要求仅用无刻度的

图I图2

【答案】（1）见详解

（2）见详解

【分析】本题主要考查了在网格中画位似图形和相似三角形，解题的关键是作出对应点的位置.

勾股定理，

（2）取格点。、E,连接DE交AB于点P.

设正方形网格中的小正方形的边长为1，

团点A和点81是格点,

⑴在图中找出点P的位置，并写出点尸的坐标.

（2）见详解

【分析】本题考查位似图形的性质弓作图，关键在于理解位似中心是对应点连线的交点，以及以原点为位

似中心时位似图形的坐标变换规律（相似比与坐标缩放的关系）.

【详解】（1）解：连接A与％、8与4、C与G，这三条线段的交点即为位似中心P,

⑵分别写出A、6的对应点C、。的坐标.

【答案】⑴见解析

【分析】本题考查了位似变换的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交点问题；熟知位似变换的性质

是解决问题的关键.

（2）根据位似变换的性质，即可求得A、8的对应点C、。的坐标.

【答案】（I）见解析

（2）10；