小升初数学典型应用题专项讲义：逆推问题

专题12一逆推问题

小升初数学模块化思维提升

（知识梳理+典题精讲+专项训练）

知拥梳理

1、逆推问题。逆推问题还可称为还原问题，解答这类问题时，要根据题意

的叙述顺序，由后向前逆推计算。

2、解题方法。

（1）要根据题意的顺序，从最后一组数量关系逆推至第一组数量关系，这

就是逆推法中去处顺序的逆推含义。

（2）原题相加，逆推用减；原题相减，逆推用加；原题相乘，逆推用除；

原题相除，逆推用乘，这就是逆推法中计算方法的逆运算含义。

I

典取雅饼

【典例一】某水果店运来一批水果，第一天卖出了一半，第二天卖出了剩下

的一半，这时这批水果还剩52千克。这批水果原来一共有（）千克。

A.104B.156C.208

【分析】因为最后这批水果还剩52千克，然后从后向前进行推理即可。

【解答】解：52x2x2

=104x2

=208（千克）

答：这批水果原来一共有208千克。

故选：C。

【点评】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前进行推理，

根据加减束除的逆运算思维进行解答。

【典例二】池塘里的浮萍每天增加一倍，10天刚好长满整个池塘.长了

天时间浮萍的面积刚好占池塘面积的L.

4

【分析】设10天时浮萍数为1,则第9天为10天的一半即工，第8天为第

2

9天的一半，即工，据此解答.

4

【解答】解：10-1-1=8（天）

答：长了8天时间浮萍的面枳刚好占池塘面枳的工.

4

故答案为：8.

【点评】正确理解浮萍面积每天长大一倍，利用倒推是解决本题的关键.

【典例三】王大伯屋后有一棵桃树，他调皮的孙子每天从树上摘下一些桃子

和邻居的小伙伴分吃。第一天摘下桃子总个数的以后的8天分别摘下当天

现有桃子的1、1、-……1、!，搞了9天，树上还留下10个桃子。树上原来有

98732

多少个桃子？

【分析】根据题意，把当天桃子总数看作单&“1”，则第9天摘之前树上

的桃子数是1。子（1-3,同理，第8天摘之前树上的桃子是第9天桃子总数（第8

2

天剩下的桃子数）的（1-3,依此类推，用除法求出桃子总数即可。

3

【解答】解：10+（1-'）+（］_2）+4-（i--!-）

2310

=10x2x—x...x—

29

=10x10

=100（个）

答：树上原来有100个桃子。

【点评】本题主要考查逆推问题，关键求摘之前树上桃子的数量。

专项制称I

一.选择题（共8小题）

1.小明在计算除法时，错将除数36看成63,结果得到的商是12。正确的

商应该是（）

A.21B.756C.432D.189

【分析】先用错误的除数乘错误的商求出被除数，然后用被除数除以正确的

除数，求出商即可。

【解答】解：63x12=756

756-36=21

正确的商应是21。

故选：Ao

【点评】解决本题关键是理解被除数是一定的，然后根据被除数=l除数x商求

出被除数，进而求解。

2.一个抽屉里放着若干玻璃球，每次拿出其中的一半，这样重复操作3次，

这时抽屉里还剩5个。抽屉里原有（）个玻璃球。

A.20B.40C.30D.50

【分析】利用逆推的方法计算即可。

【解答】解：5x2x2x2

=10x2x2

=40（个）

答：抽屉里原有40个玻璃球。

故选：Bo

【点评】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后先前进行推理。

3.一堆西瓜，第一次奏出总个数的,又6个，第二次奏出余下的！又4个，

43

第三次又卖出余下的g又3个，正好卖完，这堆西瓜原有（）个.

A.27B.28C.29D.30

【分析】第三次，卖出余下的,还剩］一_1=_1,所以这_1就是多卖的3个，

2222

所以第三次卖出3+1=6（个）；

2

答：第三天取的长度是这根木棒的！。

8

故选：B.

【点评】本题主要考查了比的意义，一条线段，无论多长，每天截取工，理

2

论上讲永远截取不完。

5.有两个书架，甲书架有书80本，乙书架有书50本，每次从甲书架拿出

3本放入乙书架，拿（）次后两个书架的书相等。

A.10B.5C.8

【分析】先计算甲书架比乙书架多多少本，再除以2就是需要拿走的本书，

再除以3,求拿的次数。

【解答】解：（80-50）+2+3

=30+2+3

=5（次）

答：拿5次后两个书架的书相等。

故选：Bo

【点评】本题主要考查和差问题的应用，关键是知道拿走多的一半后，两个

书架上的书一样多。

6.小明用计算器算题，在最后一步应该乘10,但错误地除以10了，因此得

出错误答案是5.6,正确答案应该是（）

A.0.56B.56C.560

【分析】根据题意可知：虽然除以10,得到缙误答案5.6,在这里是把正确

式子中的因数当做被除数了，根据被除数=除数x商，可先求出被除数是多少，即

求出了正确算式中的一个因数，进而求出正确的结果。

【解答】解：10x5.6=56

56x10=560

答：正确答案应该是560。

故选：C。

【点评】此题关键是利用乘法各部分之间的关系求出未乘10之前的数,然

后按照正确的计算顺序计算。

7.小利从家带来鸣蛋，第一天吃了全部的一半又半个，第二天吃了余下的

一半又半个，第三天再吃余下的一半又半个，恰好吃完.小利从家带了（）个

鸡蛋.

A.10B.7C.13D.9

【分新】根据最后篮内的鸡蛋个数是0,那第二天吃完后余下的鸡蛋的个数

是0.5x2,第一天吃完后余下的鸡蛋的个数是（1+O.5）x2=3,同样道理可以求出原

有鸡蛋的个数.

【解答】解：0.5x2=1（个）

（1+O.5）x2=3（个）

（3+O.5）x2=7（个）

答：小利从家带了7个鸡蛋.

故选：B.

【点评】解答此邈的关键是，根据题意，运用逆推的方法，求出每次吃完后

余下的鸡蛋的个数，由此即可得出答案.

8.丽丽、小军、小明三人手中各有苹果若干个。现在丽丽把手中苹果的一

部分分给小军，使得小军的苹果个数变为原来的2倍，小军在得到苹果后再将手

中的一部分分给小明，使得小明的苹果个数变为原来的2倍。这样一来，3人手

中的苹果就一样多了。如果在分的过程中，每人手中的苹果都是整数个。那么三

人手中的苹果总数至少是（）个。

A.6B.9C.12D.15

【分析】最后相等，那么都看作1份，则有小明原来有工份，小军原来有

2

（1+1）^2=-（份），丽丽原来有1+3=］（份），要使每个人的苹果整数个，因为

2444

要求最少，那么每份最少是4个，总数就是4x3=12（个）；据此解答即可。

【解答】解：最后相等，那么都看作1份，则小明有原来有,份，小军原来

2

<（i+l）^2=-（份），丽丽原来有i+3=Z（份），要使每个人的苹果整数个，那

2444

么每份最少是4个，总数就是：4x3=12（个）。

答：那么三人手中的苹果总数至少是12个。

故选：Co

【点评】本题主要考查了逆推问题，由最后得到的数量出发，逐步进行推算，

解决问题。

二.填空题（共8小题）

9.在4B、C三个水槽中各养了若干条金鱼，若从力槽移12条金鱼到C槽，

则C槽内的金鱼数量将是力槽内的2倍；若从8槽中移9条金鱼到彳槽中，则/

槽与8槽的金鱼数将相同。若从8槽移6条金鱼到C槽，则8槽内与C槽中的金

鱼数也会相同。那么，起初金鱼数量最多的水槽中有60条金鱼。

【分析】根据题意，结合三个水槽中金鱼条数的关系，利用逆推法求解即可。

【解答】解：2（4-12）=3128-9=小9

8=4+188-6=26

8=/12所以>4+18=6^-12

2372）=卅8

解方程得4=42

则8=60,6,=48O

答：起初金鱼数量最多的水槽中有60条金鱼。

故答案为：60o

【点评】本题主要考查列方程解应用题，关缝利用数量关系做题。

10.从某天起，池塘水面上的浮草，每天增加一倍，50天后整个池塘长满了

浮草，第48天时，浮草所占面积是池塘的

4

【分析】可以采用倒推的方法，先确定第49天浮草占的分率，然后推算第

48天所占的分率。

【解答】解：第49天时，浮草所占面积是池塘面积的工，那么第48天时，

2

浮草所占的面积是池塘面积的工。

故答案为：48o

【点评】本题主要考查逆推思想的应用。关键是利用“每天增加一倍”，解

答

11.明代大数学家程大位的《算法统宗》有这样一道“百羊问题”：甲赶羊

群逐草茂，乙拽一羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，所得这般一群

凑，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥秘谁猜透？大意是说：甲赶了一

群羊在草地上往前走，乙牵了一只羊紧跟在甲的后面。乙问甲：“你这群羊有一

百只吗？”甲说：“如果我再有这样一群羊，再加这群羊的一半，再加一半的一

半，连同你的这一只羊刚好100只。那么，甲原来赶的羊共有36只。

【分析】设甲原来赶的羊一共有只，根据“如果这群羊加上一倍，再加上

原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的一半的一半，连你牵着的这只羊也算进

去，才刚好凑满一百只”，即可得出关于”的一元-次方程，解之即可得出结论。

【解答】解：设甲原来赶的羊一共有*只°依题意，列方程为：

x+x+-x+-x+l=lOO

24

2-x+l=100

4

2-x+l-l=l(X)-l

4

3

2-J=99

4

4

x=99x—

11

9WW99WX=36

答：甲原来赶的羊共有36只。

故答案为：36。

【点评】解答本题的关键是找准等量关系，正确列出方程。

12.甲、乙、丙三人各有一些糖；如果甲的糖数变为原来一半。乙给丙18

颗，那么三人的糖数一样多；如果丙的糖数变为原来的2倍，甲给乙一些糖，三

人的糖数也能一样多，那么甲给了乙36颗糖。?

【分析】根据题意，我们可先设丙原有糖〃颗，则乙给了丙18颗，此时丙有

糖(a+18)颗，这正好是甲原有糖的一半，即甲有］2a+36)颗；至此可以看出甲原

有的比丙原有的2倍还多36颗，所以甲给乙36颗后正好是丙原有的2倍，这样

也就得到了答案。

【解答】解：设丙原有糖"颗，则

(a+18)x2—2。

=2ci+36-2a

=36(颗)

答：甲给了乙36颗糖。

故答案为：36。

【点评】解此题只要用字母表示出丙原有糖的颗数，然后用含有同样字母的

式子表示出甲原有糖的颗数，通过比较即可轻松作答。

13.老师把两个整数交给杰克让他用减法计算，结果得29,又把同样两个数

交给汉斯让他用除法计算，结果汉斯发现大数不能被小数整除，但要是把大数加

上1后除以小数的结果正好是3,两个数中较大的数为44o

【分析】设两个数中较大的数为X,则较小的数为工-29,根据把大数加上1

后除以小数的结果正好是3,列出方程，求解即可。

【解答】解：设两个数中较大的数为一则较小的数为X-29,列方程得

(x+l)+(x-29)=3

x+1=3x(x-29)

x+l=3x-87

87+1=3x7

88=2x

x=44

答：两个数中较大的数为44。

故答案为:44o

【点评】解题的关键是根据等量关系列出方程。

14.一堆西瓜，第一次卖出总个数的,又9个，第二次又卖出余下的1又4

43

个，第三次又卖出余下的,又5个，正好卖完，这堆西瓜原有40个。

2----------

【分析】第三次又卖出余下的工，还剩下1-LL所以这个剩下的,就是

2222

5个，所以第三次的是5+'=10个，第二次又卖出余下的1,还有再卖

2333

出4个还剩10个，所以第二次卖出之前有（10+4）+2=21个，第一次卖出总个数

3

的_!_,还剩=再卖出9个，还剩下21个，那么这堆西瓜原来有：

444

（21+9）+3=4C个，据此即可解答问题。

4

【解答】解：根据题干分析可得：

第三次卖出的是5+（1」）=51=10（个）

22

第二次卖出前是：（10+4）+（1-s

=14」

3

=21（个）

第一次卖出前：（21+9）+（1-』）

4

=30-

4

=40（个）

答：这堆西瓜原来有40个。

故答案为：40o

【点评】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后先前进行推理，

根据加减乘除的逆运算思维进行解答。

15.一条铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去了余下的一半多1

米，最后剩2.5米，铁丝原来长12米.

【分析】“第二次用去了余下的一半多1米，最后剩2.5米”，也就是2.5

米加上1米正好是第一次用完剩下的一半，所以第一次用完剩下了（2.5+l）x2=7

（米）：再根据“第一次用去它的一半少1米，剩下了7米”，可知7米减去1

米正好是第一次用去的一半.因此铁丝原来长（7-1）x2,计算即可.

【解答】解:[（2.5+l）x2-l]x2,

=[3.5x2-l]x2,

=[7-1]X2,

=6x2,

=12（米）；

答：铁丝原来长12米.

【点评】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后先前进行推算，

最终得出初始结果.

16.甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入

乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲精，这时两桶油恰好都是36千

克.甲桶原来有油45千克.

【分析】此题可以从最后的两桶油都是36千克往前推：第二次倒入：乙桶

倒出和甲桶同样多的油放入甲桶得到甲桶是36千克，则36千克是甲桶原有油的

2倍；所以没倒入之前甲桶有油36・2=18千克，则乙桶此时是36+18=54千克，

即第一次倒入之后甲桶是18千克，乙桶是54千克；而乙桶的54千克，是第一

次倒入时，从甲桶倒入了和它原来同样多的油浮到的，所以乙桶原来有油：

54+2=27千克，则甲原来有油18+27=45千克.

【解答】解：第二次乙桶倒入甲桶的油：36+2=18（千克），

则第一次倒入后甲桶油为：36-18=18（千克），乙桶油为：36+18=54（千

克）；

第一次甲桶倒入乙桶的油为：54・2=27（千克），

所以原来乙桶有油：27千克，甲桶有油：18+27=45（千克），

答：甲桶原来有45千克.

故答案为：45.

【点评】此题等量关系不很明显，要求学生要弄清题意，从第二次倒入后得

到的36千克入手逆推，得出36千克正好是第二次倒入之前的甲桶的油的2倍是

解决本题的关键.

三.解答题（共9小题）

17.了解酒文化。

酒文化，是中国传统文化不可缺少的一部分，在数千年历史中，流传了不少

关于酒的名师名句，“举杯邀明月，对影成三人。”表达了李白孤独愁闷之情，

“将进酒，杯莫停。”表现了李白豪放不羁的性格。关于李白与酒的故事举不胜

举，下面是一道关于李白买酒的数学史题。

李白街上走，提壶去买酒，

遇店加一倍，见花喝八斗，三遇

店和花，喝光壶中酒，试问壶中

原有多少酒？

(1)画流程图表示李白买酒的过程。

(2)列式求出壶中原有多少酒？

【分析】(1)遇店：酒的数量加1倍；见花：喝掉八斗酒。根据李白买酒

喝酒的流程画图即可；

(2)设壶中原有x斗酒，则2[2(2入--8)-8]-8=0,基础x即可求出壶中原有的

酒斗数。

【解答】(1)根据题意可知：遇店：酒的数量加1倍；见花：喝掉八斗酒。

第1次：壶中原有酒x2-8

第2次：(壶中原有酒x2-8)x2-8

第3次：[(壶中原有酒x2_8)x2_8]x2-8

设壶中原有“斗酒，流程图如下所示：

壶中有酒x斗色电酒2x4见化|酒⑵.8)斗|迎古酒2(2x-8)斗见花

酒2(2x-8)・8斗遇店,酒2[2⑵⑹-8]斗些J酒2[2(2x-8)-8]-8斗

(2)设壶中原有斗酒。

2[2(2x-8)-8]-8=0

2l4x-16-8]-8=0

2l4x-241-8=0

8x-48-8=0

8A-56=0

8x=56

x=l

答：壶中原有7斗酒。

【点评】本题考查了列方程解决问题的方法。

18.一条绳子第一次剪掉1米，第二次剪掉剩余部分的工，第三次剪掉1米，

2

第四次剪掉剩余部分的2,第五次剪掉1米，第六次剪掉剩余部分的之.这条

34

绳子还剩下1米.这条绳子原长多少米？

【分析】由第六次剪掉剩余部分的3,还剩下1米，可以求出第六次剪之前

4

的长度，再根据第四次剪掉剩余部分的2,第五次剪掉1米，以求出第四次剪之

3

前的长度，第二次剪掉剩余部分的,，第三次剪掉1米，可求出第二次剪前绳长

2

度，继而就解答.

【解答】解：第六次剪前绳长：1+（1-》=4（米），

第四次剪前绳长：（4+1）+（1-7=15（米），

第二次剪前绳长：（15+l）+（l-g）=32（米），

绳子原长：32+1=33（米）.

答：这条绳子原长33米.

【点评】从最后一次剪，向前推，找准各个分率的单位“1”，用对应的数

量除以对应的分率即可.

19.甲、乙、丙三堆石子共61.2吨，如果甲堆先运5.4吨给丙堆，乙堆再

运3.8吨给丙堆，那么甲、乙、丙三堆的重量就相等了.原来甲、乙、丙各有石

子多少吨？

【分析】由题意，不论怎么运，最后的总数61.2吨不变，且甲、乙、丙三

堆的重量相等，用61.2+3即得后来甲、乙、丙三堆的重量，进而逆推求得甲、乙、

丙三堆原来的重量即可.

【解答】解：61.2+3=20.4（吨）,

甲：20.4+5.4=25.8（吨），

乙：20.4+3.8=24.2（吨），

丙：20.4-5.4-3.8=11.2（吨）

答：原来甲有石子25.8吨，乙有石子24.2吨，丙有石子11.2吨.

【点评】此题考查了逆推问题，先求得后来重量相等时的甲、乙、丙三堆的

重量是解题的关键.

20.三个学生甲、乙、丙各有若干本故事书互相赠送.第一次由甲送给乙、

丙故事书，所送的本数等于乙、丙已有的故事书本数；第二次由乙送给甲、丙故

事书，所送的本数也正好等于甲、丙各人已有的故事书本数；最后由丙送给甲、

乙故事书，所送的本数也正好等于甲、乙各人已有的故事书本数.这时每人的故

事书都是32本.原来甲、乙、丙三人各有多少本故事书？

【分析】此题从后先前推算.根据题意，最后每人的故事书都是32本，可

知三人共有故事书32x3=96（本）.在丙没送给甲、乙之前，甲有32+2=16（本

）,乙有32+2=16（:本），丙有32+16+16=64（本）：在乙没送给甲、丙之前，甲

有16+2=8（本），丙有64+2=32（本），5H乙有96-8-32=56（本）：在甲没送

给乙、丙之前，乙有56+2=28（本），丙有32+2=16（本），甲原有的本数就好

求了.

【解答】解：丙没送给甲、乙之前：

甲有32+2=16（本），乙有32+2=16（本），丙有32+16+16=64（本）；

乙没送给甲、丙之前：

甲有16+2=8（本），丙有64+2=32（本），则乙有96-8-32=56（本）；

甲没送给乙、丙之前：

乙有56・2=28（本），丙有32+2=16（本），贝“甲有96—28—16=52（本）.

答：原来甲、乙、丙三人各有52、28、16本故事书.

【点评】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前一步步进行

推算，最终得出结果.

21.小明去文具店买了1支钢笔后，发现所用的钱比所带的总钱数的一半多

0.5元；接着买了1支圆珠笔，所用的钱比买钢苣后余下的钱的一半少0.5元;

又买了2.8元的本子，最后剩下0.8元.小明带了多少元钱？

【分析】用还原问题的思考方法来解答，由买圆珠笔后余下的钱可以求买钢

笔后余下的钱，进而得出小明带了多少钱.

【解答】解：买圆珠笔后余下：2.8+0.8=3.6（元）；

买钢笔后余下：（3.6-0.5”2=6.2（元）：

小明带的钱：（6.2+0.5）x2=134（元）：

答：小明带了13.4元.

【点评】解答此题的关键是运用倒推还原的办法来处理.注意在解答时可以

找出规律来计算.

22.有一根铁丝，第一次用去它的30%,第二次用去剩下的一羊多,米，最

4

后还剩9米.问这根铁丝原来长1.4米.

25

【分析】先根据题意可以整理如下：剩的9米加上,米，正好是第一次用

254

去后剩下的一半，求出第一次用完剩下的，再进一步由第一次用去它的30%,求

得答案即可.

【解答】解：—+1=0.49（米）

254

49x2=0.98（米）

0.98+（1—30%）

=0.98+0.7

=1.4（米）

答：问这根铁丝原来长1.4米.

故答案为：1.4.

【点评】这题的解题策略是倒推，找出题目中的已知条件，再倒着一步一步

算出铁丝的总长度.

23.第一次倒出一瓶果汁的！，然后把40毫升倒回瓶中；第二次再倒出就中

3

剩下果汁的;，然后又把180毫升倒去，发现瓶中还剩下60毫升果汁.问瓶中最

初有多少毫升果汁.

【分析】最后剩下60毫升果汁，在第二次没倒去之前瓶有应有果汁

60+180=240毫升，就是剩下果汁的，就是第一次倒回瓶中前瓶中有

240+2=540克果汁，再瘵40就是这瓶果汁