上海市某中学2025-2026学年高一年级上册第一次阶段测试数学试题

上海市进才中学2025-2026学年高一上学期第一次阶段测试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.用描述法表示被3除余2的整数集为.

2.若全集。={幻4<3}4={川<]<3},则4/=.

3.用列举法表示方程组：的解集

[x+),=4

4.已知匕为常数,若的解集是(—=,2),则加+。>0的解集是.

5.满足条件{©耳"口{a,〃,c,d,e}的集合用的个数是

6.已知3x+2KO,B：x<a，若。是夕的充分条件，则满足条件的最小的整数。

为-

7.集合A={X(a-l)Y+3x-3=O}有且仅有两个子集，则实数。=.

8.已知关于x的方程/+依+3。=0的两个实根为占、与，+内石二一9,则实数”.

9.已知集合9=例/-2工-320},5=何/-3好+2，〈0卜若Afl5=5,则实数”的取值

范围是.

10.向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之

三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余H勺不赞成；另外，对A,8都不赞成

的学生数比对A,4都赞成的学生数的三分之一多1人，问对4,3都赞成的学生和都不赞

成的学生各有人.

11.若集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合8qA,且4中有四个元素，则元素和能被3整除

的集合8的个数为.

12.已知关于x的不等式3x+4K〃，其中。且公bwR,若该不等式的解集恰好

4

为力],则b-a=

二、单选题

13.已知〃、b、CGR,那么下列命题中正确的是（）

B.若人>2,贝lja>/?

A.若ac>be,则”>b

cc

C.若a'>力,则D.若则

14.命题“对任意x£R,都有x2XT的否定为（）

A.对任意x£R,都有x2<0B.不存在x£R,都有x2<0

C.存在xo£R,使得xo2^）D.存在xD£R,使得x（）2V0

15.一元二次方程翻2+历+。=0有解是一元二次不等式ad+法+c>0有解的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

16.设。、b、。是两个两两不相等的正整数.若

2

++1）\（«I2））（HCN+）,则I-〃2十。2的最小值是（）

A.2007B.1949C.1297D,1000

三、解答题

17.（1）设〃?，〃为实数，比较〃『+，『与6/〃一4〃一13的值的大小；

（2）设全集为R,已知集合A=x40.，B={x\X2-32<0},求

3x-5X+

18.已知集合4=[1,7].

（1）设集合4={），|），=x2-6x+i2,xeR},求4U8；

⑵已知，”eR,设集合。={乂2〃叶1工工工3m+4},若AcC=C,求利的取值范围.

19.在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些

简洁，有些复杂.

问题①：设aeR,集合股={H（kl）（xi）=O},若xeM是X£{1,2,3}的充分条件，求：

。的取值集合.

问题②：设xwZ,a=x+3力=18—x,若cwZ,求证和c一方至少有一个数是奇数

⑴小明在解决问题①，他认为原问题等价于{1M}RL2,3},解得。的取值集合为{2,3},张

老师判断小明解题错误，请计算正确的〃的取值集合；

试卷第2页，共3页

(2)小红认为既然cwZ,只需根据。是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用

反证法解决问题，请你选一种你认为更好的方法并证明.

20.定义区间(〃?,〃)、上小、(6,〃]、在小〃)的长度均为〃-，其中心m.

⑴求不等式—2_2x+8>0的解集区间的长度；

(2)如果数集人=a-^a,B=b,b+g都是集合[0,1]的子集，那么集合AcB,4〃的

长度的最小值和最大值分别是多少？

(3)已知不等式组；二:1一:~2、八的解集构成的各区间的长度和等于6,求实数攵的范围.

2x~-1l,tr+15K">0

21.符号国表示不大于x的最大整数(xeR),例如：[L3]=l,[2]=2,[-1.2]=-2.

⑴解下列两个方程：3=3,[2司=—3；

(2)分别研究当x>0,x<0时，不等式[才《/〈(区+[)2是否成立，并说明理由；

⑶求方程4/一40国+51=0的实数解.

《上海市进才中学2025-2026学年高一上学期第一次阶段测试数学试题》参考答案

题号13141516

答案CDDC

1.{X|X=3〃+2,〃EZ}

【分析】由描述法的格式写出集合：集合中元素即为3H勺整数倍再加2.

【详解】由题意知，要求集合中元素即为3的整数倍再加2,可表示为{x|x=3〃+2,〃cZ}.

故答案为：{x|x=3〃+2,〃wZ}.

2.{x|x<l}

【分析】根据集合的补集运算求解.

【详解】\'U={x\x<3}.A={x\\<x<3}

^/4={x|x<l}

故答案为：

3.{(31)}

【分析】解方程组，并用列举法表示点的集合.

【详解】解方程组《.，得《故方程组解的集合为：{(3,1)}.

故答案为：{(31)}

4.(-；,+*

【分析】由不等式的解集可得。>0且人=2〃，代入不等式乐+。>0中求解即可.

【详解】由题意，不等式，a<人解得x<2,・・・。>0,3=2,即〃=2a>0,

则〃x+4>()即2x+l>0,解得所以解集为(一!，+8

21z

故答案为：信司

5.7

【分析】用列举法，直接写出满足条件的集合“，即可得出结果.

【详解】满足条件{4力}Mq{，也c,d,e}的集合M有：

答案第1页，共10页

{a,b,c},{a,b,d},{〃,/?,],\a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},\a,b,c,d,e).

共7个.

故答案为：7.

【点睛】本题主要由集合的包含关系确定集合的个数，属于基础题型.

6.3

【解析】首先解一元二次不等式求出。，由a是4的充分条件，所以U，2]q(fM),却可

求出参数的取值范围，从而得解；

【详解】解：因为3X+240,所以a:l<x<2,因为尸:x<a,且。是尸的充分条件，

所以[l,2]q(e,a),所以。>2,所以满足条件的最小的整数。为3

故答案为：3

【点睛】本撅考杳充分条件求参数的取值范I韦I,属于某础撅.

7.1或!

4

【分析】根据集合有且仅有两个子集确定集合元素个数，分类讨论求得〃的值.

【详解】集合A={玳。-1)丁+31-3=0}中有且仅有一个元素，

即方程3=0有且仅有一个根.

当〃=1时，方程有一根％=1符合要求；

2

当awl时，A=3-4X(6/-1)X(-3)=0,解得〃=

故满足要求的〃的值为1或

故答案为：1或;

4

8.-y/3

x,+x.=-a

【解析】根据韦达定理得到f12,带入式子计算得到答案.

xix2=3a

【详解】方程/+公+34=0的两个实根，则△=〃2一]20之0,则或a<0,=”,

则片w+苔宕=%W(X]+W)=—3a2=—9,解得或a=G(舍去).

故答案为；-6.

答案第2页，共10页

【点睛】本题考查了二次方程根与系数的关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，没有

排除多余解是容易发生的错误.

9.(YO,T]U{O}U[3,X).

【分析】由题意可得集合A以及两集合之间的包含关系，分情况讨论区的解集，建立不等式

得解.

【详解】由=3可得SjA,

又A={小2-2x-32O}={x|(x-3)(x+1)>0}=(-双-1]"3,+8),

B={x[(x-a)(x-2a)<0},

所以当avO时，A=(2aM,所以aW-l：

当a=0时，3=0,满足BgA；

当〃>0时，8=(“,2〃)，所以。之3：

综上，实数。的取值范围是(-8,-i]U{o}U[3,y).

故答案为：(YO,—l]U{0}U[3,s).

10.21和8

【分析】设对事件A、8都赞成的学生人数为羽利用Venn图列方程求解x即可.

3

【详解】赞成4的人数为50xg=30,赞成8的人数为30+3=33,

记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合“，赞成事件8的学生全体为

集合N,

Y

设对事件A、8都赞成的学生人数为x,则对A、8都不赞成的人数为鼻+1,赞成A而不赞

成8的人数为30-x,赞成A而不赞成A的人数为33--作出Venn图如下所示，

依题意可得(30-月+(337)+X+忖+1卜50,解得x=2l,

所以对A、3都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人.

故答案为：21和8

答案第3页，共10页

II.42

【分析】根据题意结合子集的概念分析求解.

【详解】把集合A中按元素除以3的余数分成三个集合C={1,4,7},。={2,5,8},5={3,6,9},

则集合8有如下可能：

由C中的所有元素和E一个元素组成，则有3个；

由。中的所有元素和E一个元素组成，则有3个；

由C中的两个元素和D中的两个元素组成，

C中的两个元素有三种可能:{1,4},{1,7},{4,7}

。中的两个元素有三种可能：{2,5},{2,8},{5,8}

则有3x3=9个

由C中的一个元素、。中的一个元素和用的两个元素组成，

E中的两个元素有三种可能：{3,6},{3,9},{6,9}

则有3x3x3=27个

所以集合3的个数为3+3+9+27=42

故答案为：42

12.4

【分析】利用二次函数的对称性，结合值域和定义域相同，可得到x==通过求解参

数，再进行检验，即可得出结果.

【详解】由二次函数)，=%2-31+4=：，一4丹4)+1=1&-2)2+1,所以%访=1,

因为。>1,不等式力的解集一定是两个区间，而不是一个区间，

所以於1,

而当“S1时，因为二次函数关丁4=2对称，

所以不等式的解集以切中的端点值满足。+〃=4,

此时有X="y=力，代入得力=彳/-3b+4=3//—16〃+16=0=(3。-4)仅—4)=0,

4

解得，=,或〃=4,

484

当人=4时，。=4一力=4>I与avl矛盾，故舍去人=鼻；

JJJ

当〃=4时，々=4-0=。，止匕时满足题怠，即。一。=4；

答案第4页，共10页

故答案为：4.

13.C

【分析】根据不等式性质及特例法即可作出判断.

【详解】对于A,若ac>hc,c<0,则故A错误；

对于B,若色>2,贝故B错误；

cc

对于C,若a'-/=(a-b)[a，+ab+b,=(a-b)+~^~>0，此时("g)+号->°，:.

a>b,故C正确；

对于D,若〃取。=一3,。=-2,则"〃，故D错误.

故选：C.

14.D

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“对任意x£R,都有命缈'的否定为.存在xoER,使得xo2〈O.

故选D.

15.D

【分析】根据充要条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】解：对于方程公?+/»+c=0,当一，方程有解，此时乐+c>0

4<0

的解集为空集，故充分性不成立；

A=/?2—4。。<0

若对于加+法+。>0当<.时不等式的解集为R,此时方程加+/zr+c=O无解,

//>0

故必要性也不成立，

故一元二次方程加+bx+c=O有解是一元二次不等式加+法+c>0有解的既非充分又非

必要条件

故选：D

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题.

16.C

【详解】不妨设4>0>c,则〃+8>c+a>A+c.

答案第5页，共10页

因为（〃+/）+（6+。）+（。+〃）=2（幻+/+。）为偶数,所以〃:、（〃+1）2、（〃+2）2必为两奇一偶,

从而，〃为奇数.

又因为〃+c>l,所以〃为不小于3的奇数.

若〃=3.则{a+Ab+c,c+a}={32,42,52}.故4+6+0=((32+42+52)=52,Ra+b=52.

所以c=0,不符合要求.

若〃=5,则{4+〃,力+。,。+。}=付⑹〃2}.

a+b=72,a=30,

故'c+a=62,解得，b=19,

b+c=52.c=6.

此时，〃+/+。2=1297・

17.(1)rn2+n2>(jrn—4/t—13;(2)AryBx\<x<

3

【分析】（I）利用作差法与配方法，即可判断两者的大小；

（2）先解分式不等式得到集合A,再解二次不等式得到集合8,进而利用集合的交并补运

算法则及数轴法，即可求得结果.

【详解】（1）依题意，得

//+—（6"?-4/7-13）=nr-6m+〃2+4〃+13=nr-6rn+9+〃？+4〃+4

=(〃L31+5+2『NO,

故m~+n~>—4〃-13.

r—4(x-4)(3x-5)<0

⑵由得解得

3・5。0J

5-5.

故A=Jx§vx«4/贝I」4=Jxx«3或x>4}：

由x?-3x+2v0,得(x-l)(x-2)<0,解得l<x<2,

故8={x[l<x<2}；

_5

Ac8=〈x1<x<->.

3

答案第6页，共10页

18.⑴口收）

（2）（-oo,-3）U[0J]

【分析】（1）由二次函数的性质求出集合8,再求并集即可；

（2）分CW0和C=0时，由CqA列不等式（组）求解即可；

【详解】（1）由二次函数的性质可得），=f-6X+12=（X-3『+323,

所以集合8={y|yN3},又4=口,7],

所以Au3=[l,+co）.

（2）因为AcC=C,所以CqA,

所以当C=0时，2〃?+1>3/〃+4,即〃?<一3,

l<2/n+l

当CH0时，，3〃?+4K7,解得03〃41,

2/n+i<3//i+4

所以加的取值范围为（—>=3）U[O』.

19.⑴{123}

⑵反证法，证明见解析•.

【分析】（I）分别讨论。=1和awl两种情况卜的集合M，然后根据集合的包含关系求参数

即可.

（2）利用反证法证明即可.

【详解】⑴根据题意可知，当a=l时，集合2=卜|（1）2=。}={1},

此时xeM=>xe{1,2,3},即xwM是xe{1,2,3}的充分条件.

当"I时，集合M={x|（x-l）（x-a）=O}={l.a},

因为xeM是x«123}的充分条件，即{1,4仁{1,2,3}.

所以此时〃=2或。=3

综上”的取值集合为{1,2,3}.

（2）利用反证法证明.

假设c-a,c-b均为偶数，则（c一4）一（°一〃）=〃一"为偶数.

答案第7页，共10页

因为j=18-1-1-3=15-右为奇数，

与人-。为偶数相矛盾，所以原假设不成立.

故C-4,〃至少有一个数是奇数.

20.(1)6

⑵AC4长度的最大值为：，最小值为:；4U8长度的最大值为1,最小值为。;

366

⑶用喑依)

【分析】(I)解一元二次不等式即可得到答案；

(2)由A,"得到A,月的长度，结合A,8都是集合［0』的子集即可求解；

(3)设2/—11依+15公20的解集为C,由于342犬—14工+7的解集为［2,8］,长度为6,结

合题意可得［2,8］qC,然后分攵=0,女>0和ZvO讨论2/-11履+15公之0的解集情况，列

出不等式即可求解

【详解】(I)由一/一21+8>0得-4<x<2,

所以_/_2工+8>0的解集为(-4,2),故解集区间的长度为2-(-4)=6；

(2)由4+可得到人的长度为3,4的长度为!，

因为A,8都是集合［0』的子集，

所以AcB长度的最大值为:，最小值为：+!-1=)；

3636

AU8长度的最大值为1,最小值为之：

6

(3)由342x—l<x+7即3<<2x一］『得24x48,此不等式解集长度为6,

2x-l<x+7

3<2x-\<x+7

又不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6.

2x2-\\k.x+\5k2>0

设2/_13+15小20的解集为C,则[2,8仁C,

由2/一11点+15-20得(2x-5A)(x-3〃)2。，

当攵=0时，C=R,[2,8]qC显然成立；

当A>0时，C=-8苦]U",+00),