万有引力定律-2024年高考物理一轮考点复习

第口讲万有引力定律

目录

考点一天体质量和密度的计算....................................................1

考点二卫星运行参量的比较与计算...............................................2

考点三卫星变轨问题分析........................................................6

考点四宇宙速度的理解与计算...................................................11

考点五双星或多星模型.........................................................16

练出高分........................................................................21

考点一天体质量和密度的计算

I.解决天体(卫星)运动问题的基本思路

(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即

v224*2r

-

(厂7=man==marr=/〃个

(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即。‘攀=〃2g(g表示天体表面的重力加

速度).

2.天体质量和密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

由于"陪，故天体质量M=管，

P

天体蜜度~V~^R~^GR

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期丁和轨道半径r.

①由万有引力等于向心力，即拉普=〃冬得出中心天体质量M=当，:

②若已知天体半径R,则天体的平均密度

_M__M3兀，3

P=~V=T~=G7^;

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径，•等于天体半径R,则天体密度〃

=沸37r.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期。就可估笄出中心天体的密度.

[例题1]（2023•昌平区二模）卡文迪什在1798年17卷《哲学学报》中发表他关于引力常量的测量

时，曾提到他的实验是为了确定出地球的密度。已知引力常量为G,要想估测地球的密度，只

需测得（）

A.地球的质量B.地球的当径

C.近地卫星的运行周期D.地球表面的重力加速度

【解答】解：ABD、根据万有引力与重力的关系有鬻=mg

解得乂=哆

可解得：P=V=4^3'或P=^

可知只测得地球的质量、或地球的半径、或地球表面的重力加速度，均不能估测地球的密度，故

ABD错误；

GMm2n->

C、对于质量为m的近地卫星，设其运行周期为T,根据万有引力提供向心力得:宝一=m（—YR

结合p=3=曲，可得p=券，可知已知G,只需测得近地卫星的运行周期，就能估测地球的

密度，故C正确。

故选：Co

[例题2]（2023•茂名二模）2022年11月29日我国“神舟十五号”载人飞船发射成功，并通过一系

列加速变轨后与距离地面400km的空间站交汇对接，万有引力常量为G,下列说法正确的是

A.变轨前A是空间站，B是飞船

B.飞船的发射速度可能小于7.9km/s

C.完成对接后，飞船和空间站的运行周期大于24小时

D.若已知空间站的运行周期和地球半径，可以测量地球密度

【解答】解：A、飞船加速后将做离心运动，轨道半径增大，则变轨前A是飞船，B是空间站,

故A错误；

B、7.9km/s是最小的发射速度，可知飞船的发射速度大于7.9km/s,故B错误；

Mm471，I3

C、根据万有引力提供向心力，G—=m—r,得T=2irJ为r，完成对接后，飞船和空间站的

轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，所以完成对接后，飞船和空间站的运行周期小于地球同

步卫星的运行周期24h,故C错误；

Mm4TT2

D、根据地球半径和空间站距离地面的高度，可以得到空间站的轨道半径，由G»-=nr存r,得

M=上寸，即可以求出地球的质量。由地球半径能求出地球的体积，因而能求出地球的密度，故

GT1

D正确。

故选：Do

[例题3]（2023•邢台模拟）宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，它的轨道距地心的距离等于地球半径

的k倍，它的运动周期为T,引力常量为G,则地球的平均密度p的表达式为（）

3开后3%一产

A.PFB.P=~c-

3

n3/r(fc+l)

C.D.p=-

GT1'GT''

GMm47T‘47723

【解答】解：根据万有引力提供向心力可得：==ny解得中心天体的质量为：M=等r,

其中r=kR

根据密度的计算公式p=3其中V=^R3

,3

3o71k

联立解得:P-GT2'故A正确、BCD错误。

故选：Ao

[例题4]（2023•赣州二模）2022年10月9日，我国将卫星“夸父一号”成功送入太阳同步晨昏轨

道。从宇宙中看，卫星一方面可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道平面与地球的晨昏分界线共

面，卫星轨道离地高度h^720km,周期TiglOO分钟。另一方面卫星随地球绕太阳做匀速圆周

运动，周期T2=l年，卫星轨道平面能保持垂更太阳光线，如图所示。已知地球的半径为R,

引力常量为G,则下列表述正确的是（）

因此e越大，卫星运行的马径越小，周期也越小，故A错误;

GMmv2

B.由万有引力提供向心力有一=m—

r2r

可得卫星的线速度为丫=用

可知e越小，飞行轨道半径越大，速度越小，故B错误；

C.设地球的质量为M,卫星质量为m,周期为To对于卫星，根据万有引力提供向心力得

GMm4k

r2=mrT2

由于「=刍

sin2

47r2/?3

代入可得M=

GT2(sin|)3

由于引力常量G未知，因此不能测得地球的质量，故C错误:

D.由万有引力与重力的关系有=mg

可得v=JgRs呜

已知飞行器线速度v可以得到重力加速度g,故D正确。

故选：Do

考点二卫星运行参量的比较与计算

1.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

规J

律〕

GMm

(近地时)fGM=gR地2

2.极地卫星和近地卫星

(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.

(2)近地卫星是在地球袅而附近环绕地球做勺速圆周运动的卫星.其运行的轨道半径可近似认为等千

地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s.

（3）两种卫星的凯道平面一定通过地球的球心.

[例题6]（2023•漳州模拟）2022年7月24日，中国空间站间天实验舱发射成功。中国空间站组建

完成后，将从空间站中释放伴随卫星。如图所示，空间站在离地高度约400km的圆轨道绕地球

运行，伴随卫星在椭圆轨道上绕地球运行，P、Q分别为伴随卫星轨道的远地点和近地点，伴随

卫星在P处时位于空间站正上方，伴随卫星轨道半长轴与空间站轨道半径相等，仅考虑地球的

引力作用。贝IJ（）

P伴随N星轨道

空间站轨道

A.空间站的角速度小于地球同步卫星的角速度

B.空间站的线速度介于7.9km/s到11.2km/s之间

C.伴随卫星运行到P点时，线速度比空间站的大

D.伴随卫星绕地球的运行周期与空间站绕地球的运行周期相等

【解答】解：A、卫星绕地球运行时，由岑^=77132r可得，3=再知名L道半径越小，角速度

越大，因此空间站的角速度大于地球同步卫星的角速度，故A错误；

B、第一宇宙速度是最大运行速度，因此空间站的线速度小于7.9km/s,故B错误；

C、伴随卫星过P点做近心运动，所以伴随卫星在P点线速度小于过P点的外切圆轨道的线速度。

由=可得u=J半可知外切圆轨道的线速度小于空间站的线速度。所以伴随卫星运

行到P点时，线速度比空间站的小，故C错误；

D、由开普勒第三定律=k可知，伴随卫星绕地球的运行周期与空间站绕地球的运行周期相等，

T2

故D正确。

故选：Do

[例题7]（2023•青羊区校级模拟）2022年10月7日，中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征

十一号海射运载火箭，采用“一箭双星”方式，成功将微厘空间低轨导航试验卫星发射升空，

卫星顺利进入预定轨道。设两颗卫星轨道在赤道平面上，运行方向相同，运动周期也相同，其

中a卫星为圆轨道，距离地面高度ha—2R,b卫星为椭圆轨道，近地点M距离地面高度为远地

点N距离地面高度的一半，地球表面的重力加速度为g，a卫星线速度大小为Vl，b卫星在近地

点M时线速度大小为在远地点N时线速度大小为V3,地球半径为R,P点为两个轨道的交

点。下列说法正确的是()

O

A.b卫星远地点N距离地心距离为］R

B.b卫星从N点运动到M点的时间为3几J华

C.V1>V2>V3

D.a卫星在P点受到地球的引力大于b卫星在N点受到地球的引力

【解答】解：A、设b卫星运行的椭圆轨道半长轴为ao,根据开普勒第三定律有：：曹3二器

解得：ao=3R

设近地点M距离地面高度为ho,由几何关系有：ho+2ho+2R=2ao=6R

AO

代入数据解得：勺二?对故b卫星远地点N距离地面高度为甘/?,故A错误;

27r

—GMrn2

B、对卫星a有：—=m-(T)-3R

GMmf

在地球表面上的物体m'有：2=m'g

27R

联立以上儿式解得：T=2n

9

£==兀旧旦=3兀悌，故B正确;

故b卫星从N点运动到M点时间为:

C、同•椭圆轨道上从N点到M点，根据开普勒第二定律可知V2>V3。按离心运动的原理，卫星

b由N点运动到P点时速度在增大，分析可知若在P点点火加速可进入圆形a轨道，可得vi>

V3;同理，根据近心运动的原理，卫星b在近地点M减速可进入以M点高度所在处的圆轨道，

根据万有引力公式可知当卫星围绕地球做圆周运动时轨道越高，速度越小，所以可知卫星a的速

度小于M点高度所在处的恻轨道的速度。即卫星b在近地点M的速度大于卫星a的速度，所以

有V2>vi>v3,故C错误;

D、根据万有引力公式，a、b两卫星在P点时到地球的距离相等，由于两卫星的质量美系未知,

所以无法判断受到地球引力大小关系，故D错误。

故选：Bo

[例题8]（2023•遂宁三模）“神舟十三号”飞船开始在半径为门的圆轨道I上运行，运行周期为Ti,

在A点通过变轨操作后进入椭圆轨道II运动，沿轨道II运动到远地点C时止好与处「半径为门

的圆轨道III上的核心舱对接，A为椭圆轨道II的近地点.BD为椭圆轨道H的短轴。假设飞船质

量始终不变，关于飞船的运动，下列说法正确的是（）

A.沿轨道I运行时的机械能等于沿轨道II运行时的机械能

B.沿轨道1运动到A时的速率大于沿轨道II运动到C时的速率

c.沿轨道H运行的周期为g产等1

D.沿轨道I运动到A点怔的加速度小于沿轨道n运动到B点时的加速度

【解答】解：A、飞船从轨道I转移到轨道H,需要在A点加速，机械能增加，则沿轨道I运行

时的机械能小于沿轨道I【运行时的机械能，故A错误；

B、飞船在轨道I和轨道HI上运行时,根据万有引力提供向心力，有堂解得v=J华，

则知

飞船从轨道II转移到轨道HI,需要在C点加速，则沿轨道II运动到C时的速率v„cVv川，则vi

>v„c,即知沿轨道I运动到A时的速率大于沿轨道II运动到C时的速率,故B正确;

C、根据开普勒第三定律有:,解得沿秋道II运行的周期为T2=TI故

rf一畤

c错误；

D、由牛顿第二定律有C%=ma,得加速度2=器，A点至U地心的距离比B点的小，所以沿轨

道I运动到A点时的加速度大于沿轨道I【运动到B点时的加速度，故D错误。

故选:Bo

[例题9]（2023•虹口区二模）探测器“夸父A”在距地球约150万公里的拉格朗日L】点,与地球

一起以相同的公转周期绕太阳做匀速圆周运动，用以监测太阳活动的发生及其伴生现象，则

A.“夸父A”处于平衡状态

B.在相同时间内，“夸父A”的位移相同

C.“夸父A”、地球绕太阳公转的向心加速度相同

D.“夸父A”绕太阳公转的加速度小于地球公转的加速度

【解答】解：A、“夸父A”绕太阳做匀速圆周运动，由合力提供向心力，处于非平衡状态，故A

错误；

B、在相同时间内，“夸父A”的位移大小相等，但方向不一定相同，所以位移不一定相同，故B

错误；

CD、“夸父A”在“拉格朗日Li点”和地球一起以相同的公转周期绕太阳做匀速圆周运动，故“夸

父A”和地球绕太阳做匀送圆周运动的角速度相同，由向心加速度公式a=rco2,可知“夸父A”

的公转半径比地球的小，则“夸父A”绕太阳公转的加速度小于地球公转的加速度，故C错误，

D正确。

故选：Do

[例题10]（2023•包头一模）如图甲，两小行星在同一平面内绕中心天体的运动可视为匀速圆周运动，

测得两小行星之间的距离Ar随时间变化的关系如图乙所示。下列说法正确的是（）（不考

虑两小行星之间的作用力）

A.a星的运转周期为T

B.两星的周期之比Ta：Tb=l：4

C.两星的线速度之比va：Vb=4：1

D.两星的加速度之比a»：ab=4：1

【解答】解：B、设a星距太阳的距离为"b星距太阳的距离为⑵raVrb,根据图像有ra+rb=

6r,rb-ra=2r,解得％=2r,rb=4r

两小行星均绕太阳做匀速圆周运动，设a星与b星的周期分别为Ta、Th,根据开普勒第三定律有

却青解得叶康故B错误；

C、根据D=竿，可得包♦答=="，故C错误；

TVbrbTa211

A、根据图像可知，经过时间T两小行星再次相距最近，a星比b星多转2IT角度，则有零T-餐T

=2n,结合g=5专，联立解得兀=（1一辛）丁，故A错误；

D、根据G^=ma,可得a=器，可得“：ab=4：1,故D正确。

故选：Do

考点三卫星变轨问题分析

1.当卫星的速度突然增大时，谭1<〃卷，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离

原来的圆轨道，扰道半径变大，当卫星进入新的凯道稳定运行时由\岸可知其运行速度比原

轨道时减小.

2.当卫星的速度突然减小时，谭必〃?即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱

离原来的圆就道，轨道半径变小，当卫星进入新的就道稳定运行时由o=绡可知其运行速度比

原轨道时增大.

卫星的发射和回收就是利用这一原理.

[例题11]（2023•房山区一模）我国一箭多星技术居世界前列，一箭多星是用一枚运载火箭同时或先

后将数颗卫星送入轨道的技术。某两颗卫星释放过程简化为如图所示，火箭运行至P点时，同

时将A、B两颗卫星送入预定轨道。A卫星进入轨道1做圆周运动，B12星进入轨道2沿椭圆

轨道运动，P点为椭圆轨道的近地点，Q点为远地点，B卫星在Q点喷气变轨到轨道3,之后绕

地球做圆周运动。下列说法正确的是（）

A.A卫星在P点的加速度大FB卫星在P点的加速度

B.A卫星在轨道I的速度小于B卫星在轨道3的速度

C.B卫星从轨道2上Q点变轨进入轨道3时需要喷气减速

D.B卫星沿轨道2从P点运动到Q点过程中引力做负功

【解答】解：A、两卫星在P点时，根据万有引力产生加速度，G^=ma

整理可得，a=G^

由于两卫星在P点到地心的距离相等，显然两卫星的加速度相同，故A错误；

B、由题知，轨道I和轨道3都是圆轨道，则有：G^=m^

整理可得：〃=坪

由于B卫星在轨道3上运动的轨道半径大于A卫星在轨道1上运动的轨道半径，所以B卫星在

轨道3上运动的速度小于A卫星在轨道1上运动的速度，故B错误;

C、卫星从低物道运动到高轨道，需要做离心运动，即在轨道相切点点火加速实现，所以B卫星

在Q点变轨进入轨道3时需要向后喷气加速，故C错误；

D、B卫星沿轨道2从P点运动到Q点过程中速度减少，则动能减小，故引力做负功，故D正

确＜1

故选：D。

[例题12]（2023•道里区校级三模）“大问一号”从地球发射后，在如图中所示的P点沿地火转移轨

道运动到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，地球、火星绕太阳轨道可视为

圆轨道。则“天问一号”（）

A.发射速度介于7.9km/s与Il.2km/s之间

B.从P点转移到。点的时间小于6个月

C.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度

D.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上的周期小

【解答】解：A.“天间一号”发射后脱离了地球引力的灾缚，所以发射速度大于第二宇宙速度，

故A错误；

B.根据开普勒第三定律5二匕地球公转周期为12个月，“天问一号”在地火转移轨道的长轴

轨道半径大于地球公转轨道半径，则其运行周期大于12个月，所以从P点转移到0点的时间大

于6个月，故B错误；

C.地火转移轨道Q点速度小于火星轨道Q点速度，而火星轨道Q点速度小于地球绕太阳的速

度，故C错误：

D.根据开普勒第三定律三=k可知，环绕火星的停泊轨道长轴半径小于调相轨道长轴半径，故

在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上的周期小，故D正确。

故选：D。

［例题13］（2023•杭州二模）如图所示，是某火星探测器简化飞行路线图，其地火转移轨道是椭圆轨

道。假设探测器在近日点P点进入地火转移轨道，在远日点Q,被火星俘获。已知火星的轨道

半径是地球地火轨道半径的1.5倍，则转轨道（）

地火

转移

轨道

星

周期

转的

星公

于火

期大

的周

公转

地球

A.

大

渐增

度逐

，速

轨道后

火转移

进入地

探测器

B.

周期

的公转

于火星

周期大

道上的

移轨

火转

在地

测器

C.探

55天

间约2

的时

经历

俘获，

被火星

发射到

测器从

D.探

律有

三定

勒第

开普

.根据

：A

】解

【解答

3

3

里—幺

火

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；

错误

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的周期

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小于火

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i•火，

r地V

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火转移

进入地

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