一元函数的导数及其应用（二）（讲）-高考数学一轮复习解析版

第2讲一元函数的导数及其应用(二)

公考纲考情

本讲为重要知识点，也是导数中的难点。主要以切线的题型进行总结，也包含了一些隐零点的思想和

极值点偏移的思想解决相关的切线的问题。还是要注意函数的思想和导数的几何意义来理解这类题的

核心思想。

位考点梳理

考点一由导数的几何意义求基础切线问题

导数的几何意义

函数f(x)在点X。处的导数『(短的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(XD,f(x。))处的切线的斜率.相应地,

切线方程为y—f(xo)=#(xo)(x-xo).

给切点求切线

以曲线上的点(xO,f(xO))(已知xO为具体值)为切点的切线方程的求解步骤:

①求出函数f(x)的导数「(x)；

②求切线的斜率f'(xO)；

③写出切线方程y-f(xO)=f'(>:O)(x-x()),并化简.

有切线无切点求切点

以曲线上的点(xO,f(xO))(xO为未知值，可以设出来)为切点的切线方程的求解步骤：

①求出函数f(x)的导数f'(x)；

②求切线的斜率f'(xO)：

③写出切线方程y-f(xO)=f'(>:O)(x-xO),并化简.

无切点求参

规律同上，注意待定系数法的应用。

无切点多参

思维同上，依旧是设切点，待定系数求解方程(组)。

考点二复杂切线问题

“过点”型切线

1、设切点：P(x0,y0)

2、(x°)

3、y=f'(x)nk=f'(x0)。

4、切线方程:y-y<)=-)

5、过(a,b),代入：y-y。=

得b-y。=解出X。

以上是“在点”与“过点”的区别，

判断切线条数

1.设点列方程过程同前（求切线过程）

2.切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断

多函数（多曲线）的公切线

1.两个曲线有公切线，且切点是同一点

2.两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。

考点三切线的应用

切线的应用：距离最值

主要思维：利用平移直线，直到与该函数切线重合。

切线的应用：距离公式转化型

1.距离公式形式：平方和

2.以此还可以类比斜率公式形式

切线的应用：恒成立求参等应用

利用切线作为“临界线”放缩。这类思维，有时也应用于大题的不等式证明，称之为“切线放缩”。

切线的应用：零点等

对于函数与直线交点个数，可以借助于切线（临界线）来求解，但是一定要注意函数一般情况下，是比较

简单的凸凹函数。如下图（示意图），可以讲清楚这里边的“非充要”性

隹］题型剖析

高频考点一由导数的几何意义求基础切线问题

例1、已知函数〃到二三手，则曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线的方程为.

【答案】2x-y=0

【解析】

…、2(x+1)cosx-2sinx.、

因为f(力=-------(v+1)2------，所以攵=/'(0)=2，

则所求切线的方程为)，=2x.故答案为：2x-y=0.

【变式训练】

1、曲线/(x)=(x+l)e、+x在点(0,1)处的切线方程为.

【答案】3x-y+l=0

【解析】

解：rh/(x)=(x+l)e'+x,得=+(x+l)，+l,

所以在点(0,1)处的切线的斜率为f(0)=e°+(0+l)e°+l=3,

所以所求的切线方程为丁-1二3。-0),即3x-y+l=0,

故答案为：3x-y+l=0,

例2、曲线/(x)=f+1-2在p0处的切线平行于直线y=4x-l,则p0点的坐标为()

A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)和(-1,-4)D.(2,8)和(TT)

【答案】C

【详解】令f(x)=3f+l=4,解得x=±l,/(l)=0J(-l)=4故p。点的坐标为(1,0),(-1,-4),

故选C.

【变式训练】

2、已知函数/*)="+二为偶函数，若曲线＞=/*)的一条切线与直线2戈+3y=0垂直，则切点的横

e

坐标为()

A.V2B.2C.2In2D.In2

【答案】D

(详解】73为偶函数，则/(一力="*+二=，+二G3)(。-1)=0a=1,/(x)=d,

e€

【变式训练】

4、已知函数/(x)^axbix-bx(出/?£R)在点(e,/(e))处的切线方程为广3x-e,则o+b=.

【答案】0

【详解】•・•在点(e,/(e))处的切线方程为y=3x-e,.•./(e)=2e,代入/(x)=adnx-bx得〃一〃二2

①.

又v/(x)=tz(l+lnx)-b,/.f[e)=2a-b=3②.

联立①②解得：。=1/=-1..=。+〃=0.故答案为：().

高频考点二复杂切线问题

例I、过原点作曲线y=ln/的切线，则切点的坐标为,切线的斜率为.

【答案】(e,l)-

e

解：设切点坐标为(乂历的；/=-；故由题意得，—=-：解得，x=e；故切点坐标为(e,D；切线的斜

XXX

率为L

e

故切线方程为y=e)+l,整理得x—e)，=0.故答案为：(e,D；

ee

【变式训练】

1、过点(-L-1)与曲线y=ex+尤相切的直线方程为.

【答案】y=2x+l.

【详解】设切点坐标为(%,e"+%)，由y=e'+x得)/=e'+1,切线方程为y=(e"+l)(x-%)+e"+%，

,•・切线过点(T,-l),「•-l=(e"+l)(—l—%)+卜+小，即=0,％=0,

即所求切线方程为y=2x+1.故答案为：y=2x+1.

例2、已知曲线S:y=3x-%3,则过点P(2,2)可向S引切线，其切线条数为()

A.1B.2C.3D.0

【答案】C

【解析】

设在曲线S上的切点为卜,3/-r)，...),=3x—d,则y=3—3d,

所以，曲线S在点0,3，")处的切线方程为)，一(3―/)=(3-3/)(不一，)，

将点0(2,2)的坐标代入切线方程得/—3/+2=0,即。一。(产一2/-2)=0,

解得乙=1，72=1+6，，3=1-6

因此，过点夕(2,2)可向S引切线，有三条.故选：C.

【变式训练】

2、已知过点A(a,0)作曲线C：y=x・e'的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是()

A.(-8,-4)U(0,+8)B.(0,+8)

C.(・8,-1)u(1,+8)D.(・8,-1)

【答案】A

【详解】设切点为(xo，x°e")，y'=(x+l)/,/.Mx/=($+1>*，则切线方程为：

y-不("=(.%+1)•e"(x-无)，切线过点。)代入得：一毛。"=(%)+1)♦e"(。一天))

a=-^―,即方程玉：-or。=0有两个解，则有/="+44>()=々>0或4V-4.故答案为:A.

与+1

例3、直线y=丘+〃与曲线y="x)相切也与曲线y=g(x)相切,则称直线y=H+b为曲线y=/(x)和

曲线y=g(x)的公切线，已知函数f(x)=g*)=。mx,,其中。工0,若曲线y=f(x)和曲线)，=g(x)

的公切线有两条，则。的取值范围为()

2

A.a<.()B.a<—IC.0<a<2cD.()<«<—

e

【答案】C

【解析】

【分析】

设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一宜线，可得方程组，化简方程组，可以得到

变量。关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图

形，最后利用数形结合求出。的取值范围.

【详解】

设曲线/(幻二/的切点为：(s/2),八加二/二/工犷=？—所以过该切点的切线斜率为/'(s)=2s,

因此过该切点的切线方程为：y-52=2s(x-s)=>y=2sx-s2；

设曲线y=g(x)的切点为：,g(x)=alnx=g(x)=3,所以过该切点的切线斜率为gQ)=@,

xt

因此过该切点的切线方程为：y-a\nt=—(x-t)=>y=—x-a+a\nt,则两曲线的公切线应该满足：

2s=-

zz>a=4/-(l-lnr),

-s2=一〃+aIn/

构造函数h(t)=4/(1-In/)(/>0)=>/?(/)=4/(l-21nr),

当时，"⑺<。，/?⑺单调递减，当Ov/v1时，"⑺>。，〃⑺单调递增，所以函数有最大值为:

/)=2e，当，>e时，"。)<0，当O〈f<e，〃⑴>0,函数的图象大致如下图所示：

要想有若曲线>=j\x)和曲线y=g(x)的公切线有两条，则。的取值范围为0vav2c.

故选：C

【变式训练】

1JTY

3、函数/(x)=lnx+——与ga)=/+l有公切线y=c、(a>0),则实数〃？的值为()

X+1

A.4B.2C.1D.-

2

【答案】A

【解析】

设公切线y=cixXa>0)与两个函数/(x)=InX+匹与g(x)=Y+1图象的切点分别为A(与，y)和B

X1

g'(%2)-2s-a

]m

(毛，必)，由.(X)=[+((+])2，g'(x)=2x,可得，

y2=^2解得。=2,所以有

且(%)=石+1=%

1m

，(x)=(+(X+l)2

•/(M)=ln%+——--y\化简得2x；-％+lnX]-1=0,令〃(x)=2f-x+lnx-1(x>0),则

X]1

X=g=2%

1("=4工+'-123＞。恒成立，即得函数/2(力=2/一1+111工一1(工＞0)在定义域上为增函数，又因

〃⑴=0,则可解得方程2x；—x+lnx「l=0,x,=1,则由/‘⑴='+而尸=2解得“=4.

故选:A.

高频考点三切线的应用

例I、点P在函数y=lnx的图像上，若满足到直线y=x+。的距离为1的点P有且仅有1个，则。=()

A.y/2,+1B.5/2—1C.—y/2—1D.i.y/2,—1

【答案】B

【详解】

函数y=lnx的导函数为，=L设直线kx+/〃与产Inx相切于点(%,%),

X

由题可知(1,0)到直线y=x+a的距离为1,

所以।氏L1,解得］=±&一1，结合图象口J知，a=\/2-1.

故选:B.

【变式训练】

1、点4在直线），=1上，点B在曲线），=lnx上，则|A却的最小值为（）

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】A

【分析】

设平行于直线y=x的直线与曲线），=lnx相切，将题意转化为两平行线间的距离，由导数的几何意

义可得〃的值.进而可得结果.

【详解】

设平行于直线y=x的直线尸x+b与曲线y=hix相切，

则两平行线间的距离即为|A8|的最小值.

设直线y=x+力与曲线y=Inx的切点为（wJn/w）,

则由切点还在直线y=x-\-b上可得In〃?=〃?+/?，

由切线斜率等于切点的导数值可得工=1，

m

联立解得m=1,b=—1,

由平行线间的距离公式可得|A8|的最小值为君券=乎，

故选：A.

例2、若FWWR，则■一力）2+卜2-己）2的最小值是

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】

由题意可转化为点4（斯，炉）与点8（*,与）间的距离最小值的平方，

点A在函数y=，上，点8在函数y=lnx上，这两个函数关于T=x对称，

所以转化为函数V=Inx与丁=x的距离的最小值2倍的平方，

此时）,，=,=1,.・.），=lnx斜率为1的切线方程为y=x-l,它与y=x的距离为1.

x2

故原式的最小值为2.故选：B.

【变式训练】

2、若玉,/eR，则（为一小丁+（天—9丫的最小值是

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

原题等价于函数y="上的点A（x,d）与函数）'=lnx上的点可*，占）间的距离最小值的平方，结合两个函

数关于）'=x对称，将其转化为函数），=lnx与），=x的距离的最/.、值2倍的平方，利用导数求切线方程最后

转化求两平行线间的距离平方即可.

【详解】

由题意可转化为点A（苞与点可产,与）间的距离最小值的平方,

点A在函数），=/上，点8在函数y=lnx上，这两个函数关于9对称,

所以转化为函数y=lnx与），=工的距离的最小值2倍的平方，

此时）,，=4=1,

x

.・.y=]n.i斜率为1的切线方程为y=x-l,它与y=x的距离为也.

2

故原式的最小值为2.

故选:B.

例3、已知“为实数，则”1>必对任意的实数x恒成立”是的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

先根据导数的几何意义求出直线.'=丘与曲线,y=d相切时Z的值，再数形结合将廿〉办对任意的实数x恒

成立转化为OW〃<e,最后判断充要关系即可得解.

【详解】

设直线y=履与曲线y=I相切,且切点为（爽,泊）,

则，解得所以切点为（㈤，k=e,

所以切线方程为）'=6.

数形结合可知，e”>ar对任意的实数”恒成立等价于0<a<e.

而由0工a<e不能得到。va<2,故充分性不成立