特殊二次函数的图像与性质（第2课时）（高效培优讲义）-沪教版（五四制）九年级数学上册

专题26.3特殊二次函数的图像与性质(第2课时)

「教学目标、教学重难点］

1.会用描点法面出二次函数y=a(x+m)2.y=a(x+m)2+k(a¥O)；

教学目标2.知道二次函数产a(x+m)2+k的图像特点；

3.掌握二次函数y=a(x+m)2+k的图像与性质及应用。

1.重点

(1)继续特殊学习特殊二次函数的图像与性质；

(2)巩固列表、描点探索函数的图像与性质；并会画出函数的大致图像；

教学重难点(3)二次函数y=a(x+m)2>y=a(x+m)2+k(a^O)的应用；

2滩点

(1)含参数的特殊二次函数图像与性质综合分析；

(2)特殊二次函数图像与性质的几何应用。

知识清单

知识点1二次函数y=a(x+m)2但口)的图像与性质

1.二次函数y=a(x+m)2(a^0)的图像与性质(m>0)

二次函数y=a(x+m)2(aWO,m>0)的图像的性质，如下表:

开口方

函数图像顶点坐标对称轴性质

向

当x>m时，y随工的增大而增大；

a>0向上(m,0)直线x=mxVm时，y随x的增大而减小；

x=m时，y有最小值0.

y=a(x+m)2v

(aWO,m>L

0)x>m时，y随工的增大而减小；x

a<0向下(m,0)直线x=m<m时，y随式的增大而增大；x=m

1时，y有最大值0.

2.二次函数产a(x+m)(邦)的图像与性质(mVO)

二次函数y=a(x+m)2(a/O,m<0)的图像的性质，如下表;

开口方

函数图像顶点坐标对称轴性质

向

当x>m时，），随x的增大而增大；x

a>0向上(m,0)直线x=mVm时，y随x的增大而减小；x=m

y=a(x+m)2时，y有最小值0.

1

(aWO,m<

0)x>m时，y随x的增大而减小；x<

a<()向下(m,0)直线x=mm时，），随x的增大而增大：x=m时，

oy有最大值0.

抛物线y=a（x+m）2（其中a、m是常数，且存0）的对称轴是过点（m,0）且平行（或重合）于y轴的直线,即直线x=m;

顶点坐标是（m,0）.当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点

是抛物线的最高点.

要点：一般地,抛物线y=a（x+m）2（其中a、m是常数，且a翔）可以通过将抛物线y=ax2向左（m>0时）或向右（m<0

时）平移|m|个单位得到.

【即学即练】

抛物线开口方向对称轴顶点坐标增减性

【答案】见解析

【分析】利用描点法即可画出函数的图像，再根据图像填写表格。

先列表:

X•••-3-2-10123・・・

99

・・・-20-2・・・

~2~22~2

9

•••-2~20~2-2~2—8•••

_2

•••0

—82-2~2~2-2•••

描点、连线，画出这三个函数的图像:

Q

1-

根据所画图像，填写卜.表:

抛物线开口方向对称轴顶点坐标增减性

开口向下y轴

开口向下

开口向下

【点睛】本题主要考查描点法画函数图像，并通过函数图像得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、

增减性.熟练画出函数图像并得到抛物线的性质是解题的关键.

二抛物线开口向下，

「•选项A、B不符合题意,

...符合条件的是选项C,

故答案为：C.

【答案】C

故选:C

【答案】D

【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像与性质.

【详解】解：根据题意可得:

抛物线开口方向对称轴顶点坐标

向下

向上

向上

向下

【答案】C

故选：C.

【答案】D

【分析】本题考查二次函数图像及性质.根据抛物线的顶点式分析对称轴、最值、增减性，并计算与），轴的

交点.

故选：D.

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征.

抛物线开口向下时，离对称轴越近的点，函数值越大.

计算各点与对称轴的距离即可比较大小.

由于开口向下，距离对称轴越近的点，函数值越大.

故选：A.

题型精讲

题型01画出特殊二次函数的图像，并总结其特点、性质

【典例1].在同一坐标系中画出卜.列函数的图像，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐

标及对称轴两侧图像的增减性.

X—-4-3-2-101234•••

•••・・・

•••.・・

•・・・・・

【答案】（1）见解析

（2）见解析

⑶见解析

【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质.根据二次函数的作图方法，再根据图像即可求解各性质.

【详解】（1）解：列表如下：

X・・・-4-3-2-101234・・・

・・・-16-9-4-10-1-4-9-16・・・

•••-4-10-1-4-9-16-25-36・・・

・・・-25-16-9-4-10-1-4-9・・・

画图如下：

【变式1】•说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：

【答案】（1）开口向上，对称轴是直线x=-3,顶点坐标是（一3,5）；（2）开口向下，对称轴是直线x=l,

顶点坐标是（1，-2）；（3）开口向上，对称轴是直线工=3,顶点坐标是（3,7）；（4）开口向下，对称轴

是直线x=-2,顶点坐标是（-2,-6）.

【分析】根据〃的符号直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标.

【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，理解二次函数的性质是解题的关犍.

题型02特殊二次函数图像的有关概念填空

【分析】本题考查了抛物线的顶点式的性质.直接利用抛物线的解析式即可写出.

【分析】根据顶点式写对称轴即可.

所以：开口向上；

题型03特殊二次函数图像的平移

A.向右平移3个单位,再向上平移4个单位

B.向右平移3个单位,再向下平移4个单位

C.向左平移3个单位,再向上平移4个单位

D.向左平移3个单位,再向下平移4个单位

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的顶点式，点在平移中的变化规律，掌握点的平移规律：”横坐标左减右加,

纵坐标上加下减.”是解题的关键.

【详解】解：由题意得

故选：D.

【分析】本题主要考查的是抛物线的平移，掌握“抛物线的平移规律〃是解本题的关键.抛物线的平移规律:

左加右减，上加下减，根据平移规律直接作答即可.

【答案】C

故选：C.

题型04根据特殊二次函数的性质比较大小

【答案】C

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质.

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，距离对称轴越远函数值越小是解答本题的关键.根据

点距离对称轴越沅函数值越小判断即可.

故选：A

【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式.也考查了二

次函数的性质.

题型05特殊二次函数图像、性质综合辨析

【答案】D

【分析】本题考查二次函数的图像和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增

减性是解题的关键.

根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题.

故选：D.

【答案】C

故A、B、D错误，C正确，

故选：C.

【答案】D

【分析】本题考查二次函数图像及性质.根据抛物线的顶点式分析对称轴、最值、增减性，并计算与），轴的

交点.

故选：D.

题型06根据要求写出特殊二次函数的解析式

⑴求抛物线对应的函数表达式；

⑵写出抛物线的开口方向及顶点坐标.

【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点.利用待定系数法求

得抛物线的解析式是解题的关键.

（2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出旋转后顶点坐标不变，开口方向相反，开口大小不变

是解本题的关键.

【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；由题意知，抛物线的开口向上，根据对称轴与开口方向写出

一个二次函数的表达式即可.

【详解】解：团在对称轴右侧的部分是上升的

回抛物线的开口向上；

题型07求参数范围

【答案】A

故选:A.

【分析】可先求得抛物线的对称轴，以及开口方向，再由条件匕求得关于的不等式，可求得答案.本题

主要考查二次函数图像性质，由函数的增减性，对称轴，以及开口方向得到关于加的不等式是解题的关键.

二.抛物线开口向下.

在对称轴右侧y随*的增大而减小，

【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质确定。的取值

范围即可.掌握二次函数的性质是解题的关键.

题型08根据特殊二次函数图像求解

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

【答案】D

故选:D.

【答案】B

【分析】本题考杳二次函数的图像与系数的关系，抛物线与入轴的交点等知识，解题的关犍是熟练掌握基本

知识，属于中考常考题型.

故选：B.

【答案】C

【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标，轴对称方程，结合抛物线的开口方向，再逐一分析即可.

同顶点在第四象限，

故选C

【点睛】本题考杳的是抛物线的图像与性质，熟记抛物线的顶点式的特点及图像性质是解本题的关键.

【答案】A

【分析】本题考查二次函数的图像与性质，涉及二次函数最值、直线与抛物线的交点等知识，读懂题意，

转化为直线与抛物线交点个数是2时，求人的取值范围是解决问题的关键.

故选:A.

题型09特殊二次函数的几何应用

【典例1].己知二次函数y=・g(x+l)2+2.

(1)填空：此函数图像的顶点坐标是；

(2)当x时，函数y的值随x的增大而减小；

(3)设此函数图像与X轴的交于点A、B,与y轴交于点C,连接AC及BC,试求0ABe的面积.

【答案】（1）（-1,2）；（2）x>-1（或疝-1）：（3）3.

【分析】（1）根据二次函数顶点式的形式解答即可；（2）根据二次函数的性质，图像的开口方向及对称轴

解答即可；（3）先求出A、B、C三点坐标，再求出AB的距离，即可求出团ABC的面积；

故答案是：（-1,2）；

所以当x>-1（或X2-1）时，函数y的值随x的增大而减小.

故答案是：x>-l（或--1）；

3

（3）令x=0时，易求：y=—>

33

回点C的坐标为（0,y）即：OC=；

令y=0时,易求：xi=l,X2=-3

易求：AB=4.

【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的开II方向、对称轴、函数的增减性是解题关键.

【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图像的平移，勾股定理等.由抛物线的对称性求出点3

的坐标，由抛物线的平移表示出点。的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解.

抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M,

题型10新定义题

【分析】本题考查二次函数对称轴，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求对

称轴.

题型11最值问题的综合应用

【答案】2

故答案为：2.

【点睛】本题考查二次函数顶点式的图像与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

【答案】2

故答案为：2.

【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，数形结合是解题的关键.

强化训练

一、单选题

A.(1,0)B.(1,0)C.(1,1)D.(1,1)

【答案】A

【分析】根据抛物线的顶点式即可得出答案.

【详解】解：团抛物线产(x+1)2,

用该抛物线的顶点坐标为(1,0),

故选:A.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

C.最大值为0D.图像与)，轴不相交

【答案】D

团图像开口向下，A选项正确，不符合题意

故选：D.

A.开口方向相同B.对称轴相同C.形状大小都相同D.顶点都在x轴上

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图像性质特点是解题的关键.

比较两个抛物线的开口方向、对称轴、形状大小及顶点位置，逐一判断选项.

【详解】解：先分别对这两个抛物线进行分析，再进行选项判断：

(3)分别对选项进行判断.

A：开口方向相反，不同.

c：1。|分别为:和《，形状大小不同.

故答案为：D.

【答案】C

【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数图像平移

的规律.

由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，根据平移后的顶点坐标求解.

故选：D.

【答案】B

【分析】此题主要考查了二次函数的图像以及一次函数的性质，根据已知得出小c的符号是解题关键.首

先根据二次函数的图像得出c的符号，进而利用一次函数的性质得出图像经过的象限.

故选：B.

A.①②B.①③C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键.根据抛物线的图像和性质进行判断

即可.

故①③正确，

故选：B.

A.1或-5B.1或-3C.1或3D.-1或5

【答案】D

【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，

综上，〃的值为-1或5.

故选：D.

【答案】B

【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据二次函数的图像和性质，逐一进行判断即可.

综上，错误的是B选项；

故选:B.

【答案】B

回其对称轴在y轴右侧，

故选：B

二、填空题

又•.•二次函数的图像开口向上，

【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次项系数的作用与二次函数的顶点式是解此题的关键.

【分析】根据二次函数的性质写出答案即可.

【答案】＞

故答案为：＞.

【答案】减小

【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，熟知开口向上的二次函数，在对称轴左侧函数值），随X的增

大而减小，在对称轴右侧，函数值y随X的增大而增大是解题的关键.

故答案为：减小.

【答案】26

故答案为：2,6.

【分析】先根据顶点在％轴上求出A的值，再分析抛物线的性质，结合给定的x的取值范围，确定函数值），的

取值范围.本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标、对称轴、开口方向以及函数最

值的求法是解题的关键.

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