实际问题与二次函数（知识梳理+练习）-九年级数学上册（人教版）

22.3实际问题与二次函数知识梳理+精选题练习20252026学年数学九年级

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知识梳理

根据实际问题列二次函数关系式

根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是

实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定.

①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数,

再利用待定系数法求解相关的问题.

②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化;

有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式.

二次函数的应用

（|）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，确定出二次

函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量％的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数

的最值时，一定要注意自变量X的取值范围.

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的

讨论.

（3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到

平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题.

精选题练习

一.选择题（共8小题）

1.（2025春•平利县月考）“科教兴国，强国有我”.某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实

验，“水火箭”的升空高度力（单位：W与飞行时间，（单位：s）满足的关系为仁-尸+12/+11.若“水

火箭''的升空高度为4.75〃?，贝!此时的飞行时间为（）

A.0.5sB.2.5s

C.12.5sD.0.5s或12.5s

2.（2025春•榕江县校级月考）如图，是一个长20加、宽16机的矩形花园，现要将它的长缩短宽增

加x〃7,则修改后花园的最大面枳为（)

B.322m2C.323〃，D.324//

3.12025•云南校级模拟）某畅销书的售价为每本20元,每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”,

决定降价促销.经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本.设每本降价x元

后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与工之间的函数表达式为（）

A.尸(20-x)(300+1Ox)B.y=(20-A)(300+20X)

C..v=(20-2x)(300+1Ox)D.y=(20-2v)(3OO+2O.V)

4.（2025春•永靖县校级月考）二次函数产成+2%-6（〃为常数，且原（））的图象经过（-2,〃）和（4,

〃）两点，则该二次函数（）

A.有最大值・7B.有最小值・7

C.有最小值-5D.有最大值-5

5.12025•开封一模）加强青少年体育训练，提升青少年体质健康，是教育部对中学生强身健体的明确要求.体

育课上，一名男生掷实心球，实心球行进的路线可以看作是抛物线，其行进的高度），（单位：用）与水

平距离x（单位：〃。的函数解析式为），=〃/+区+。（@0）.如图所示，A,B,。三点在抛物线上，当

实心球行进到最高点时，推断所对应的水平距离x可能为（)

B.

C

A

048x

A.3B.4C.5D.6

6.（2024秋•扬中市期末）某旅朽有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出.若每张

床位每晚收费提高20元，则减少10张床位租出：若每张床位每晚收费再提高2（）元，则再减少10张床

位租出，以每次提高20元的这种方法变化下去，为了收入多而投资较少，每张床位每晚可提高（）

A.40元B.50元

C.60元D.40元或60元

7.（2025•沈丘县校级三模）如图1,质量为机的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压

缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为\5crn）.从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不

计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度

之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示.根据图象，下列说法正确的是（）

A.小球从刚开始接触弹簧就开始减速

B.当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大

C.若小球刚接触弹簧时的速度v=3a〃/s,则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为40Ms

D.在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为%小时，小球（I勺速度与刚接触弹簧时的速度相同

8.（2025•温江区校级模拟）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的

鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线.若把对应的抛物线的函数表达式设为y=aXL+bx+c

（〃翔），画二次函数y=a^+bx+c的图象时，列表如F：

X...1234...

y...010-3...

关于此函数下列说法不正确的是（）

A.函数图象开口向下

B.当x=2时，该函数有最大值

C.当x=0时，），=-3

D.若在函数图象上有两点力（xi,-4）,BN，一》，则内＞。

二,填空题（共8小题）

ABCD,设AD边长为xm,菜园面积为.y〃P,则y与x之间的函数关系为

h'''i

DC

菜园

AB

三,解答题（共6小题）

17.（2025•武威开学）如图，用20米K的篱笆围成•个•边靠墙的矩形花圃（墙足够长），设垂直于墙的

一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米.

（1）写出关于x的函数解析式及自变量取值范围；

（2）当x为多少时，矩形花刷的面积最大？

〃/〈〃〃/〃/〃〃〃//〃/〃//4///

I米

18.（2025•宿松县模拟）如图，这是某种药物服用后在体内浓度含量），（单位：〃吆）和时间大（单位：h）

之间的函数图象，其中在服用后前9/z,图象是抛物线y=的一部分，9/?后图象为直线y=

一＜%+b的一部分.

（1）若某个成年人在服药后浓度最高可达到4〃®

①求4,。的值；

②求药物在服用期间浓度不低于2〃y持续的时间；

（2）若整个服药期间，要求药物在体内残留时间不低于12人且不得超过16〃，求。的取值范围.

19.（2024秋•韶关期末）某游乐园要建造一个直径为26〃?的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷

水头，使喷出的水柱距池中心5机处达到最高，高度为8〃?.

（1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式；

（2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度.

20.（2025•西安三模）城市高楼林立，高层建筑一旦发生火灾，由于其独特的结构特点和功能复杂性，人

员疏散和火灾扑救存在较大难度.为了有效应对高楼火灾，某市消防队在一座废弃的高楼进行消防演

练.如图，他们分别在这座高楼距离地面15〃?的点A处和12加的点台处设置了火源，利用水枪进行灭

火，水枪喷出的水流可看作抛物线的一部分.第一次火火时，消防员在该楼正前方水平地面的点O处

（OC=6/〃），水流从点。射出恰好到达点3外，且当与点。的水平距离为4机时，水流达到最高，为

16/72.如图以点O为原点，水平地面为x轴，讨原点且垂直Fx轴的直线为y轴建立平面宣角坐标系.

（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式；

（2）B处火熄灭后，消防员前进到点。（水流从。点射出）处进行第二次灭火.若两次灭火时水

流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否能到达点A处，并说明理由.

田

A

田

B

田

0\/D/EC~lX

21.（2025•广陵区一模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动.某地计划

进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看

作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xO），，桥拱上的点到水面的竖直高度），（单位：〃，）

与到点O的水平距离x（单位：，〃）近似满足函数关系y=-0.01（%-30）2+9.据调查，龙舟最高处距

离水面2/〃，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3〃?.

（1）水面的宽度OA=

（2）要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9〃?，求最多可设计龙舟赛道的数量.

22.（2025•西安校级一模）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通

道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线

形，灯带的最低点距离钢丝4.5米.以钢丝为x轴，左侧立柱为），轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立

直角坐标系（如图所示）.

（1）小青设计的方案，把灯若的一端固定在钢丝与立柱的固定点O,另一端固定在钢丝上的点A处，

0人=4米，求出此时抛物线的表达式.

（2）小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，OB=6米，另一端固定在立柱上的C处，

为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出。与。的距离.

22.3实际问题与二次函数知识梳理+精选题练习20252026学年数学九年级

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参考答案与试题解析

一,选择题（共8小题）

题号12345678

答案CDADCCCD

一.选择题（共8小题）

1.（2025春•平利县月考）“科教兴国，强国有我”.某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实

验，“水火箭”的升空高度力（单位：M与飞行时间，（单位：s）满足的关系为仁■入⑵+11.若“水

火箭”的升空高度为4.75〃?，贝！此时的飞行时间为（）

A.0.5sB.2.5s

C.12.5sD.0.5s或

【解答】解：将力=4.75〃?代入〃=-尸+⑵+11,得-尸+12什II=4.75,

即尸■⑵-6.25=0,

(/+0.5)(7-12.5)=0,

解得尸-0.5(不符合题意，舍去)，或f=l2.5.

故选：C.

2.（2025春•榕江县校级月考）如图，是一个长20帆、宽16〃?的矩形花园，现要将它的长缩短x〃?，宽增

加xm,则修改后花园的最大面积为（)

C.323m2D.324〃尸

【解答】解：•・•长20m宽16〃?的矩形花园，现要将它的长缩短”加,宽增加x〃?,

・•・修改后的花园面积=（20-x）（16+改

=-f+4x+320

=-(人-2)2十324,

V-KO,

・•・当x=2时，修改后的花园面积达到最大，为324/R

故选：D.

3.12025•云南校级模拟）某畅销书的售价为每本20元,每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，

决定降价促销.经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本.设每本降价x元

后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则），与x之间的函数表达式为（）

A.y=（20-x）（300+1Ox）B.y=（20-A）（300+20A）

C.），=（20-2x）（300+I0x）D.y=（20-2v）（300+20x）

【解答】解：设每本降价x元，则售价为（20-x）元，销售量为（300+10X）本，

根据题意得，＞'=（20-X）（3D0+10x）,

故选:A.

4.（2025春•永靖县校级月考）二次函数y=b/+2/A-6Cb为常数，且屏0）的图象经过（-2,〃）和（4,

〃）两点，则该二次函数（）

A.有最大值-7B.有最小值-7

C.有最小值・5D.有最大值・5

【解答】解：•・•二次函数图象经过（-2,n）和（4,〃）两点，

・•・对称轴是直线x=寺匕=1,

・2b2

,•一药一人

:・b=-1,

••y=-f+2x-6=-（x-1）2-5,

***最大值为-5.

故选：D.

5.12025•开封一模）加强青少年体育训练，提升青少年体质健康，是教育部对中学生强身健体的明确要求.体

育课上，一名男生掷实心球，实心球行进的路线可以看作是抛物线，其行进的高度），（单位：〃?）与水

平距离单位：相）的函数蟀析式为y=or2+A.+c（访笫）.如图所示，A,B,C三点在抛物线上，当

实心球行进到最高点时，推断所对应的水平距离x可能为（）

y

B.

C.

4

048~x

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：设抛物线的对称轴为4=切，点C关于对称轴的对称点为。，记。点的横坐标为m，

观察图象可知C点横坐标为8,

由中点坐标公式得：=m,

解得m=2m-8,观察图象可知二次函数C关于对称轴的对称点。是介于A、B两点之间的,

所以0VmV4,

即0<2w-8V4,

解得4V7〃V6,

所以实心球行进到最高点时水平距离x可能为5,

故选：C.

6.(2024秋•扬中市期末)某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出.若每张

床位每晚收费提高20元，则减少1()张床位租出：若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床

位租出，以每次提高20元的这种方法变化下去，为了收入多而投资较少，每张床位每晚可提高()

A.40元B.50元

C.6。元D.40元或60元

【解答】解：由题意，设每张床提高x个20元，获得利润为3，元，

・•・),=(100+20.r)(100-10A)

=-200A-2+1000A+10000

=-200(x-1)2+11250.

•・“取整数，

・•・当x=2或3时，y最大，

乂•・•当x=3时，每张床提高60元，床位的个数最小，

・••投资少，为了投资少而获利大，每个床收费应提高60元.

故选：C.

7.（2025•沈丘县校级三模）如图1,质量为〃?的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压

缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为15a”）.从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不

计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度丫（。，小）和弹簧被压缩的长度工（5?）

之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示.根据图象，下列说法正确的是（）

A.小球从刚开始接触弹簧就开始减速

B.当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大

C.若小球刚接触弹簧时的速度则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为4c〃而

D.在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9”?时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同

【解答】解：人由图象可知，弹簧压缩2口〃后小球开始减速，故此选项错误，不符合题意；

B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为6c〃?时，小球的速度最小，速度为（），

故此选项错误，不符合题意；

C、小球刚接触弹簧时的速度尸3c加s,即。=3,

设抛物线解析式为n=〃？（x-2）2+b,

把（0,3）,（6,0）代入解析式得：

116TH4-D=0

1

解得"二一之，

由=4

・•・在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为4c〃心，故此选项正确，符合题意；

。、在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9c小时，即弹簧被压缩的长度为15-9=6“?，由图象2

可知，此时u=0c〃?/s,故此选项错误，不符合题意.

故选：C.

8.（2025•温江区校级模拟）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的

鹰眼系统预测画面;足球的飞行轨迹可看成抛物线.若把对立的抛物线的函数表达式设为y=4』+法+c

（存0）,画二次函数y=af+瓜+c的图象时，列表如下：

X...1234

y...010-3

关于此函数下列说法不正确的是（）

A.函数图象开口向下

B.当x=2时，该函数有最大值

C.当x=0时，y=-3

D.若在函数图象上有两点A（M,-4）,B--1）则川＞X2

【解答】解：由表中数据可知，），随工先增大后减小，

・•・函数图象开口向下，

故A正确，不符合题意，

Vx=I,y=0；x=3,y=0,

・••对称轴为直线户孚=2,

•・•开口向下，

••・当x=2时，该函数有最大值，

故8正确，不符合题意，

:对称轴为x=2,x=4时，y=~3,

•*»x=0时，y=-3»

故C正确，不符合题意，

在函数图象上有两点4（xi,-4）,8（“一方，

当A,8都在对称轴左侧时，幻＜入2

当A,Z?都在对称轴右侧时，力＞同，

当A在左侧，8在右侧时，xi〈X2,

当A在右侧，6在左侧时，X|＞X2,

故。不正确，符合题意，

故选：D.

二,填空题（共8小题）

9.（2025•无锡校级一模）当n＜x＜n+l时，若一次函数＞'=v2-4.r+3的最大值为2,则n的值为2-6或

1+V3_.

【解答】解：由题意，_4A+3=（x-2）2-I>

・•・抛物线开口向上，当x=2时，），取最小值为-1.

・•・抛物线上的点离对称轴越远函数值越大.

/.当x=n时或当x=n+\时，y取最大值.

①当时，y取最大值，此时变已<2,即“

又,/此时），最大值为，/-4/1+3=2,

・・.〃=2+V5（不合题意，舍去）或〃=2-百.

②当x=〃+l时，1y取最大值，此时号3>2,即〃>|.

又;此时y最大值为（〃+1）2-4（w+1）+3=〃2-2〃=2,

「・〃=I+V5或〃=1一A/5（不合题意，舍去）.

综上，〃=2-8或1+6.

故答案为：2-V5或1+V5.

10.（2025春•福州校级期末）某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间;

（单位：秒）的函数解析式是5=101-0.25尸，此飞行器滑行的最大距离是100米.

【解答】解：由题意得，

^=10/-0.25/2

=-0.25（^-407+400-400）

=-0.25（Z-20）2+100,

即当1=20秒时，飞行器滑行的距离最大，最大为100米.

故答案为：100.

II.（2025春•雨花区校级期末）“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持

网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x

（米）接近于抛物线），=-0.5/+10_r-36,烟花可以达到的最大高度是14米.

【解答】解：由抛物线y=-0.5/+10戈-36得y=-0.5/+IOx-36=-0.5（x-10）2+14,

即）=-0.5（A-10）2+14.

•・Z=-0.5<0,

・••当x=10时，烟花可以达到的最大高度是14米，

故答案为：14.

12.（2025春•吉林期末）如图，有•个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4小，跨度为10〃?.把

99

它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中.在对称轴右边1〃2处，桥洞离水面的高是一元〃？.

F

【解答】解:依题意得，该函数的顶点坐标是（0,4）.故设该函数解析式为:y=ajr+4（〃和）.

把点（5,0）代入，得

ax52+4=0,

解得说-募

所以该函数解析式为：产一名2+4.

把尸1代入得到：y=-^xl2+4=g

即桥洞离水面的高是—m.

96

故答案为：—m.

13.（2024秋•苍溪县期末）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B

两点，拱桥最高点。到人"的范离为8米，人4=24米，D,E为拱桥底部的两点，HDE//AB,若点.E

到直线AB的距离为10米，则DE的长为36米.

C

【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C,

设A4与），轴交于点从

•••"=24,

：・AH=BH=V2,

由题可知:

0/7=10,CH=8,

AOC=10+8=18,

：.B（12,10）,C（0,18）,

・•・设该抛物线的解析式为：产/+18,

把B（12,10）代入解析式得：10=144/18,

解得4二一存，

•••抛物线：y=—需/+18,

当y=0时，0=—白『+]8,

解得x=±l8,

：.E（18,0）,。（-18,0）,

:・DE=OD+OE=36.

故答案为：36.

14.（2025♦浦东新区校级模拟）某公司去年的销售额为100万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二

次函数的模型增长.设增长率为）%,时间（年）为x,假设增长率函数模型为），=2?+/K+C.根据市场

分析，今年（第一年）的增长率为10%,明年（第二年）的增长率为20%,那么第三年的增长率为.

【解答】解：根据题意得：二次函数），=2&纵+c经过（1,10）,（2,20）,

,（2+b+c=10

•,（8+2b+c=20'

解得忆力

・•・二次函数解析式为y=2?+4x+4,

当x=3时，）=2x9+4x3+4=18+12+4=34,

・•・第三年的增长率为34%,

故答案为：34%.

15.（2025春•广阳区月考）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度〃（///）满足关系式。=-5产+V0/,其

中/（5）是物体运动的时间，⑶（〃?/$）是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从

地面竖直向上发射小球，发射时的速度为20加s.小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.已知

实验楼高15〃?，则这两次间隔的时间为2s.

【解答】解：由题意得：田=20,

:・h=-5r+20r,

当〃=15时，-5r+20z=l5,

解得：刀=1,门=3,

A3-1=2（s）,

・•・这两次间隔的时间为2s,

故答案为：2.

16.（2025春•广州期中）如图，张爷爷计划在一边靠墙处，用一段长度为10〃?的篱笆围成一个长方形菜园

ABCD,设AD边长为xm,菜园面积为ynr,则y与x之间的函数关系为y=-21+10x（0VxV5）.

墙

I1

T1Vc~

菜园

A\---------------------IR

【解答】解：菜园A次:。是矩形菜园，设边长为x米，

：,AI3=10-2x,

菜园的面积y=A8xAD=x（10-2x）=-Zp+lOx,

♦•（x>0

'll0-2x>0，

A0<x<5.

故答案为：）=-2ZH0x（0V*V5）.

三,解答题（共6小题）

17.（2025•武威开学）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃（墙足够长），设垂直于墙的

一边长为x米矩形花03的面积为），平方米.

（1）写出），关于x的函数解析式及自变量取值范围；

（2）当x为多少时，矩形花圃的面积最大？

〃/〈〃〃/〃/〃〃〃//〃//〃/4///

I米

【解答】解：（1）由题意可知，平行于墙的一边BC的长为（20-2x）米，

：.y=AB>BC=x（20-2x）=-2?+20x,

V20-Z¥>0,

Ay关于x的函数表达式为y=-2AT+20X（0<A<10）；

（2）,・，=-2?+20x=-2（x-5）2+50（0<X<I0）,

・•・当x=5时，y取得最大值，此时y=50,

即当x=5时，苗圃的面积最大，最大值是50平方米.

18.（2025•宿松县模拟）如图，这是某种药物服用后在体内浓度含量），（单位：〃?g）和时间二（单位：h）

之间的函数图象，其中在服用后前9/?.图象是抛物线y工的一部分，卬？后图象为直线y二

+b的一部分.

（1）若某个成年人在服药后浓度最高可达到4〃小

①求小〃的值；

②求药物在服用期间浓度不低于2〃电持续的时间；

（2）若整个服药期间，要求药物在体内残留时间不低于12/1,且不得超过16分，求。的取值范围.

【解答】解：（1）①由题意可知，抛物线最高点的纵坐标为4,

-（-）21

~3~=4,解得Q=-Q.

4a,

y=~QX2+/.

当x=9时，y=-1x2+^x=-ix92+^x9=3.

把（9,3）代入y=—《无+小

解得》=6.

._1

••Q=­g,b-O.

②将y=2代入y=-：/+*,解得%]=一3近+6,%2=3鱼+6（舍去）;

将y=2代入y=-义工+6,解得x=12,

故持续时间为：12-（―3a+6）=（6+3鱼）（〃）.

（2）由题意可知，当x=12时，心0,

11

代入y=-+b中，即一12+b>0,

・S4：

当x=16时，><0.

代入y=-ix+d中，即-2><16+6工0,

..16

•・"丁

，4<b<^,

当x=9时，81a+12=b・3,此时b=81a+15,

A4<81a+15<^.

.11-y29

**81-a-243,

19.(2024秋•韶关期末)某游乐园要建造一个直径为26〃?的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷

水头，使喷出的水柱距池中心5,〃处达到最高，高度为8〃?.

(1)以水平方向为人•轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在)，轴右侧抛物线的函数表达式；

(2)要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度.

【解答】解：(1)由题意，•・•抛物线的顶点坐标为(5,8),

，可设抛物线(x-5)2+8.

又把(13,0)代入y=a(x-5)2+8,

・,.0=。(13-5)2+8.

._1

••"二一小

・••在丁轴右侧抛物线的函数表达式为：y=~l(x-5)2+8.

(2)由题意，由(1))=—1(X-5)2+8,

・,・可令x=0,则尸一*(0-5)2+8=挈(///).

39

答：这个装饰物的设计高度为百〃?.

20,(2025•西安三模)城市高楼林立，高层建筑一旦发生火灾，由于其独特的结构特点和功能复杂性，人

员疏散和火灾扑救存在较大难度.为了有效应对高楼火灾，某市消防队在一座废弃的高楼进行消防演

练.如图，他们分别在这座高楼距离地面15〃?的点A处和12m的点8处设置了火源，利用水枪进行灭

火，水枪喷出的水流可看作抛物线的一部分.第一次灭火时，消防员在该楼正前方水平地面的点。处

(。。=6/〃)，水流从点。射出恰好到达点8外，且当与点。的水平距离为4小时，水流达到最高，为

16%如图以点0为原点，水平地面为x轴，讨原点且垂直于入轴的直线为），轴建立平面直角坐标系.

（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式；

（2）B处火熄灭后，消防员前进1，〃到点。（水流从。点射出）处进行第二次灭火.若两次灭火时水

田

A

田

B

田

田

【解答】解：（1）•・•当与点0的水平距离为时，水流达到最高，为16m.

设消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达