因式分解 自主达标测试题-华东师大版八年级数学上册

2025-2026学年华东师大版八年级数学上册《11.5因式分解》自主达标测试题(附答案)

一、单选题(满分24分)

1.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.x2-x-1=x(x-1)-1B.x2-1=(x-I)2

C.x2—x-6=(x-3)(%+2)D.a2一〃+1=(a+b)(Q-b)+1

2.将3a(x-y)-劝(x-y)用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是()

A.a—3bB.x-yC.3(x—y)D.3x—y

3.对一二+“因式分解，珍珍的答案为：一+l)(x-1)：轩轩的答案为:x(x+l)(-x+1),

下列判断正确的是()

A.两人的结果都对B.两人的结果都不对

C.只有嘉嘉的结果对D.只有琪琪的结果对

4.若二次三项式一小工一12可分解为(％-4)(%+3),则〃?的值为()

A.1B.2C.3D.-1

5.若a-b=-2,a/j=3,则a'b-Za?/+的值为()

A.-12B.-6C.12D.6

6.已知用=5。2-2炉+4。-4,N=6a2-b2+2b+l,则M和N的大小关系是()

A.MNNB.M£NC.M<ND.M>N

7.如图，有甲、丙两种正方形和乙一种长方形纸片若干张(a>b).若选取4张甲种纸片、

12张乙种纸片、9张丙种纸片拼成一个正方形，则这个王方形的边长为()

A.2a+3bB.3a+2bC.2a—3bD.3a—2b

8.如图，一块正方形菜地被分割成四部分，其面积分别为27加，4n2,m2,2mn,其中m>0,

A.m+nB.m-nC.m+2nD.2m+n

二、填空题(满分24分)

9.把a(m-n)+4(九-m)提公因式后一个因式是m-n,则另一个因式是

10.实数范围内分解因式1-5。2=；2x4-18=.

11.若％-丫=0,那么代数式/+/y一%y2一,3的值是.

12.因式分解：a2(a—b)+b2(b—a)=.

13.已知27a=81"i,则9a2-16b2-32b的值为.

14.已知516-1能被20到30之间的两个整数整除，则这两个整数的和是.

15.计算：(1—另乂0乂…x(l—康”-----

16.把一段长36cm的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方

形的面积之差是27cm2,则这两个正方形的边长相差—cm.

三、解答题(满分72分)

17.因式分解：

⑴9a2-36b2

⑵⑶2-1)2-6(y2-1)+9

18.分解因式:

⑴2a2-8a+8(2)(/+1)2-4x2

19.阅读并解答.

在分解因式/-5%+6时，李老师是这样做的：

x2-5x+6

=x2-4x4-4—x4-2(第一步)

=(x-2)2-(%-2)(第二步)

=(x-2)(x-2-l)(第三步)

=(x-2)(x-3).(第四步)

⑴从第一步到第二步运用了公式；

⑵从第二步到第三步运用了；

⑶仿照上面的方法分解因式：X2-7X+12.

20.先阅读，再解决问题：

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法.

例如：cunan+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m4-m)=

(m+n)(Q+b).

⑴分解因式：ab-2a-2b+4；

(2)若m?+2mn+2n2-6n4-9=0,求〃?和n的值.

21.如图，甲、乙、丙三张卡片分别写有关于x的整式.

2/一3%-1甲—%2+〃％+5乙-3x2-%+6丙

⑴若甲、乙两张卡片上的整式的和可以用完全平方公式进行因式分解，求符合条件的々的一

个值；

(2)嘉淇设计了一个数学闯关游戏，规则是：当选取的两张卡片上的整式相减等于第三张卡

片上的整式时，闯关成功.

①求出卡片甲上的整式减去卡片丙上的整式的计算结果，并判断能否闯关成功；

②若卡片乙上的整式减去卡片甲上的整式能闯关成功，度球写出女的值.

22.阅读材料：

将G+y)2+2(x+y)+1进行因式分解.

解：将"％+y”看成整体，令x+y=A,则原式=4?+2力+1=(力+1)2.

再将还原，原式=(x+y+I)2.

将多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解

的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种

因式分解的方法称为“换元法”.

根据以上材料，解答下列问题：

⑴分解因式：1+4(x-y)+4(x-y)2；

(2)分解因式:(x2—6X)(A:2—6x4-18)+81；

⑶求证：若〃为正整数，则代数式S+l)(n+2)(/+3n)+1的值一定是某个整数的平方.

23.数形结合是解决数学问题的•种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以招一些

多项式因式分解.例如：利用图1可以得到a2+2Qb+M=(Q+b)2.

⑵若x,y,z为实数，4%+2y+z=12,4x2+y2+^z2=100,利用（1）的结论求4xy+

参考答案

1.C

【分析】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解是把一个多项式化为几个

整式的积的形式.

根据因式分解的定义，对每个选项进行分析判断.

【详解】A./-X-1=%(%-1)-1中等号右边不是枳的形式，不符合题意：

B.x2-1(x-I)2,不符合题意；

C./一%一6二。一3)(工+2)符合因式分解的定义，符合题意；

D.一82+1=(Q+b)(Q-匕)+1中等号右边不是积的形式，不符合题意.

故选：C.

2.C

【分析】本题考查了提公因式法因式分解•，要确定多项式3峨％-/)-9匕(％-,)的公因式,

需找出各项的系数最大公约数和公共因式，系数3和-9的最大公约数为3,公共因式为

(x-y),因此公因式为3(》-y).

【详解】确定系数公因式：第一项系数为3,第二项系数为-9,最大公约数为3；

确定公共因式：两项均含有因式(x-y)；

组合公因式：将系数公因式3与公共因式(％-y)相乘，得到公因式3(x-y),

故选：C.

3.A

【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再用平方差公式分解即可；珍珍的解法是先

提取公因式一％,再用平方差公式分解，轩轩的解法是先提取公因式无，再用平方差公式分解，

两种解法都正确.

【详解】解：珍珍的解法：-X3+X=-x(x2-1)=-x[x+l)(x-1);

轩轩的解法:-X3+X=X-X3=x(l-X2)=x(x+l)(-x+1)；

故两种解法都正确；

故选：A.

4.A

【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键.将

多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定「〃的值即可.

【详解】解：(x-4)(%+3)=x2-4x4-3%-12=x2-x-12,

若二次三项式/一-12可分解为。-4)(%+3),

则一m=-1,

解得：771=1,

故选：A.

5.C

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用整体思想代入求值是解题关键.

将原式提取公因式并利用完全平方公式分解因式得ab(a-b)2,结合已知条件代入计算.

【详解】解:

a3b-2a2b2+ab3=ab(a2—2ab+b2)=ab(a—b)2

代入已知条件ab=3和a—b=-2,得：

原式二.(0—h)2=3•(—2)2=3*4=12,

故选C.

6.B

【分析】本题考查了整式的加减运算，根据完全平方公式因式分解，根据题意计算N-M=

(a-2)2+(b+17,即可

【详解】解：=5a2-2b2+4a-4,N=6a2—Z?2-I-2b+1

@N-M—6a2—b24-2b4-1—(5a2—2b2+4a—4)

=6a2—炉+2b+1—5Q2+2b2-4a+4

=a?-4a+4+炉+2b+1

=(Q—2)2+(b+l)2,

0(a-2)2>O,(/?+l)2>O,

0(a-2)2+Q+l)2>0,

团M<N,

故选：B.

7.A

【分析】本题考杳完全平方公式因式分解，熟练掌握该公式是解题的关键.由题意可得正方

形的面积为4a2+12ab+9b2,然后利用完全平方公式计算后即可求得答案.

【详解】解：根据题意得正方形的面积为4a2+i2ab+9b2,

则4az+12ab+9bz=+3b)2,

那么这个正方形的边长为2。+3b,

故选：A.

8.C

【分析】本题考查用完全平方公式因式分解的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应

用的前提.根据四部分的面积和为血？+4mn+4n2,即(加+2n)2,因此正方形的边长为m4-

2n.

【详解】解：4n2+2mn+m2+2mn=m2+4mn+4n2=(m+2n)2,

.•.原正方形的边长为m+2n,

故选：C.

9.a—4

【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先提取公因式血一-把原式分解因式，从而可以

得到另一个因式，掌樨“利用樨公因式的方法分解因式"是解颍的关锦.

【详解】解：a(m-n)+4("-m)=a(m-n)-4(m-n)=(m-n)(a-4),

故答案为：a-4.

10.(1+V5a)(l-V5a)2(x24-3)(%+V3)(x-V3)

【分析】本题主要考查了分解因式，对于第一空直接利用平方差公式分解因式，对于第二空

先提取公因数2,再利用平方差公式分解因式即可.

【详解】解；1—5a2=(1+V5a)(l—V5a)；

2x4-18=2(x4-9)=2(x2+3)(x2-3)=2(x2+3)(%+V3)(x-V3)；

故答案为:(1+V5a)(l-V5a)；2(x2+3)(x+V3)(x-V3).

11.0

【分析】本题主要考查了整式的因式分解，代数求值等知识点，解题的关键是熟练掌握因式

分解的步骤和方法.

利用提公因式法和公式法对整式进行因式分解，然后代入求值即可.

【详解】解：%34-x2y-xy2-y3

=(x3+x2y)-(xy2+y3)

=x2(x+y)-y2(x+y)

=(x+y)(x2-y2)

=O+y)2(x-y)

将％-y=0代入上式得

原式=0

故答案为：0.

12.(a-b)2(a+b)

【分析】本题考查了提取公因式法，公式法分解因式，掌握提取公因式公式法是关键.

根据题意，先提取公因式再运用平方差公式计算即可;

【详解】解：a2(a-b)+b2(b-a)

=a2(a-/?)-b2(a-b)

=(a—b)(a2—b2)

=(a—b)(a-b)(a+b)

=(a—b)2(a+b),

故答案为：(a-b)2(a+h).

13.16

【分析】本题考查基的乘方、平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则.根据事

的乘方运算将原式变形，再将已知等式移项代入即可求解.

【详解】解：027。=81“】

0(33)a=(34)d+1

团33a=3仞+4

03a=4b+4,即3a-4b=4

09a2-16b2-32b

=(3a-4b)(3a+4b)-32b

=4(3a+4b)-32b

=12a-16b

=4(3a-4b)

=4x4=16

故答案为：16.

14.50

【分析】此题考查因式分解的应用,利用平方差公式把516-1变形为(58+1)(54+1)(52+

1)(52—1),即可求解.

【详解】解:516-1=(584-1)(58-1)=(584-1)(54+1)(54-1)=(58+1)(544-1)(52+

1)(5?-1)=24X26X(.54+1)(58+1)

0516-1能被20到30之间的两个整数整除，则这两个整数的和是24+26=50,

故答案为：50.

15.—

202S

【分析】本题考查了利用平方差分式分解因式，乘法运算律，解题关键是掌握平方差公式.

先用平方差公式将每个因式拆成2个分数的积，再利用乘法交换律与结合律求解.

［详解】解：(1-/)x(1-/-施

314220262024

=X----X-----

2220252025

342026\“22024\

-x-x-x2025)x-X-X-X2025)

231.23

2026*11013

2人2025

202S

故答案为:1013

2025

16.3

【分析】本题考查平方差公式的实际应用，设两段铁丝的长分别为acm,bcm,(a>bi,根

据题意得4a+46=36,艮Ja+b=9,再根据这两个正方形的面积之差是27cm2得一/=

27,利用平方差公式求解即可.

【详解】解：设两段铁丝的长分别为acm,ban,(a>b),

根据题意，得4a+4b=36,

团a+b=9,

团这两个正方形的面积之差是27cm2,

0a2-b2=27,

0(a+b)(a—b)=27,

09(a-b)=27,

回a—b=3,

即这两个正方形的边长相差3cm,

故答案为：3.

17.(l)9(a+2b)(a-2b)

(2)3+2)2。-2)2

【分析】本题考查了提公因式法与公式法因式分解的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的

方法是解题的关键.

(1)先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；

(2)先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可.

【详解】(1)解：9a2-36b2

=9(a2—4b2)

=9(a+2b)(a-2b)；

(2)解：(y2-I)2-6(y2-1)+9

=(y2-i-3¥

=(V-4)2

=[(y+2)(y-2)]2

=(y+2)2(y-2)2.

18.(l)2(a-2)2

(2)(%—1)2(%+1)2

【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因

式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.因式

分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.

(1)先提取公因式，再用完仝平方公式分解；

(2)先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解.

【详解】(1)解：2a2-8Q+8

=2(a2-4a+4)

=2(a-27；

(2)解：(x24-l)2-4x2

=(x2+1-2x)(x2+1+2x)

=1)2(%+1)2.

19.⑴完全平方;

(2)提公因式法；

⑶见解析.

【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和遑公因式法分解因式是解题的关键.

(1)根据完全平方公式因式分解即可；

(2)根据提取公因式法因式分解即可；

(3)仿照上面的方法分解因式即可.

【详解】(1)解：从第一步到第二步运用了完全平方公式，

故答案为：完全平方；

(2)解：从第二步到第三步运用了提公因式法，

故答案为：提公因式法；

(3)解：X2-7x4-12

=x2-6x+9-x+3

=(x-3)2-(x-3)

=(x-3)(%—3—1)

=(x-3)(x—4).

20.(l)(a-2)(b-2)

【分析】本题主要考查了因式分解的应用、分组法因式分解等知识点，灵活运用分组法进行

因式分解成为解题的关键.

(1)先将原式分组后进行因式分解即可；

(2)先将原式分组后进行因式分解，然后根据非负数的性质列二元一次方程组求解即可.

【详解】(1)解：ab—2a—2b+4

=(ab-2a)-(2b-4)

=a(b-2)-2(b-2)

=(a—2)(b—2).

(2)解：0m2+2mn+2n2-6n4-9=0,

0(m2+2mn+n2)+(n2-6n+9)=0,

E(m+n)2+(n-3)2=0,

卜y解得巾：/

21.⑴k=7或k=-l

⑵①5/一2%-7,不成功：@-4

【分析】本题考查的是整式的加减运算，利用完全平方公式分解因式；

(1)计算2/一3%-1一%2+依+5=M+(上一3)%-4,结合/+(4一3)X+4可以用

完全平方公式进行因式分解，再进一步求解即可；

(2)①计算2/一3%一1一(一3/一％+6)可得结果工一产+依+5,从而可得答案；②

计算一公+收+5-(2/-3%-1),结合结果为—3/一％+6,再进一步求解即可.

【详解】(1)解：2/-3%-l-X2+k%+5=/+(A-3)X+4；

结合题意可得：/+伙-3)x+4可以用完全平方公式进行因式分解，

耿一3=±4,

⑦k=7或k=-1；

(2)解：@2x2-3x-1-(-3x2-x4-6)

=2x2-3x-1+3x2+x-6

=5x2—2x—7,

05x2-2x-7H-x2+Ax+5,

13闯关不成功:

@-x2+H+5-(2x2-3x-1)

=-x2+kx+5-2x24-3x+1

=-3x2+(k+3)x+6,

结合题意可得：

—3x2+(k+3)x+6=-3x2—x+6,

0Zc+3=-1,

解得：k=-4.

22.(1)(1+2x-