天津市某中学2024-2025学年高一年级下册质量监测（二）数学试卷（含答案解析）

天津市南开中学2024-2025学年高一下学期质量监测（二）数学

试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知向量〃=（3,〃?），力二（2,1）,6J_9。-b）,则实数机=

)

7I13

A.一弓B.--C.7D-5

2.为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生

的成绩依次为：65,70,75,80,85,92,95,97,则这组数据的80%分位数为（）

A.92B.93.5C.95D.96

3.某校组织学生参加农业实践活动,期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为

整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建.规定每人参加其中3个项目.假设

每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”或者有“旱地播

种''的概率为（）

3।39

A.-B.-C.-D.-

10»510

4.在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件4表示“向上的点数为偶数”，事件8表示“向上

的点数是1或3”，事件。表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（）

A.A与B是对立事件B.B与C是对立事件C.X与C是互斥事件

D.A与6是互斥事件

5.已知。，B,y是三个不同的平面，，〃，〃是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A.若aIImCO,〃CB,则〃？H〃B.若〃，JLa,〃?_1_〃，则〃11。

C.若a_Ly,6_Ly,则all。D.若m_La,n±p,a±p,则加_L〃

6.某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，

满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中机=2〃，

则下列结论不正确的（）

试卷第I页，共4页

A.n=0.015

B.满意度计分的众数约为75分

C.满意度计分的平均分约为80分

D.满意度计分的第一四分位数约为70分

7.如图，正三棱柱力的各棱长均为1,点P是棱3c的中点，点M是线段小巴上

的动点，点R为8M的中点，点。是棱力3上靠近点8的四等分点，则下列命题：

①CM//平面尸QR：

②三棱铢8-C.AM的体积为定值；

③当M是小当的中点时，过点尸、A.R的平面截正三棱柱/16C-4SG所得图形的面积为

避

④点。是上底面小当G上的一个动点，且直线8。与8以所成的角为三，则点。的轨迹长度

为叵

9

8.如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角V48C沿向上翻折，得到三

棱锥4-4C。，设。=2,点比尸分别为棱3C,8。的中点，M为线段4E上的动点，则

下列命题：

试卷第2页，共4页

①在翻折过程中，存在某个位置使得WCJ-C。；

①若力8_LCO,则与平面8CQ所成角的正切值为斗;

③三棱锥力・88体积的最大值为2：

④当力8=力。时，CM+FM的最小值为♦入4.

其中正确命题的个数为()

D.4

二、填空题

9.已知i是虚数单位，［青=.

10.己知J=(1,0,2)/=(2,3,0),则向量；在向量了上的投影向量的坐标为.

11.投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则

直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，

则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿

件能通过各初审专家评审口勺概率均为二，复审的稿件能通过评审的概率为］各专家独立评

审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为.

12.如图，是底部4不可能达到的一座建筑物，4为建筑物的最高点.现在为了测量建筑

物的高度，在。点处测得力点的仰角。二600,在。点处测得力点的仰角6=45。，且点。和

。距离3所在水平面的距离为Im,CD=12m,则塔高二m.

13.正三棱锥尸的底面边长为3,侧校长为2,则它的外接球的体积为

试卷第3页，共4页

《天津市南开中学2024-2025学年高一下学期质量监测（二）数学试卷》参考答案

题号12345678

答案ACDDDCCB

I.A

【分析】首先求出2〃一%的坐标，依题意K（益一分=0,根据数量积的坐标表示得到方程,

解得即可.

【详解】解：因为，，二（3,〃?），b=（2,1）,

所吸二2（3,）—（2,1）=（42〃.1）,

因所以7.（2r,一"=0,即2x4+lx（2/〃T）=0,解加

故选：A

2.C

【分析】借助百分位数定义计算即可得.

【详解】8x80%=6.4,则这组数据的80%分位数为95.

故选：C.

3.D

【分析】求出所有情况种数后计算出符合要求的情况种数即可得.

【详解】设这5个项目对应的编号分别为4、B、C、D、E,

则从五个项目中选三个的喟况有：ABC.ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、

BCD、BCE、BDE、CDE,共10种情况：

其中有“整地做畦”或者有“旱地播种”有力AC、ABD、ABE.ACD、ACE、

ADE、BCD、BCE、BDE,共9种情况；

9

则甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”或者有“早地播种”的概率为正.

故选：D.

4.D

【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可.

【详解】当向上的点数为5时，事件/与8同时不发生，故A错误；

当向上的点数为2时，事件8与C同时不发生，故B错误；

当向上的点数是4或6时，事件力与事件。同时发生，故C错误；

答案第1页，共13页

事件力与事件8不能同时发生，故D正确.

故选：D

5.D

【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,若CTH。，mt-a,nr-P,则mH〃或者小,〃异面，故A错误，

对于B,若/n_La,m_Ln,贝MHa或者〃「a,故B错误,

对于C,若a_LV,8"LY，则。II3或者。，。相交，故C错误，

对于D,若m_La,«_Lp.a_L6,则〃?_L〃,D正确，

故选：D

6.C

【分析】由频率分布直方图的面积和为1可得A正确：由频率分布直方图计算众数，平均

数，第25百分位数可得B正确，C错误，D正确.

【详解】对于A,由频率分布直方图可得(0.01+〃+0.035+〃?+0.01)x10=1,又〃?二2〃，

解得〃=0.015,〃？=0.03,故A正确；

对于B,满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确；

对于C,满意度计分的平均分约为

(55x0.01+65x0.015+75x0.035+85x0.03+95x0.01)x10=76.5,故C错误；

对于D,前两组的频率之和为0.25,所以满意度计分的第一四分位数约为70分，故D正确.

故选：C.

7.C

【分析】利用线面平行的判定定理即可判断①：根据三棱卷的体积公式求出三楂锥8—C/M

的体积即可判断②；如图，作出过点尸，A,/?的平面截止三极柱力4C一mSG所得截面图

形为&P力S,再计算△尸4s的面积即可判断③；当。在40G上运动时，其轨迹是以与为圆

心，3为半径，圆心角为P的圆弧，计算弧长即可判断④.

3?

【详解】对于①，如图，由点A,尸分别为a的中点，得PR//CW.

又而尸。区，CW丈平面P0R,所以CM//平面P0A,故①正确：

对于②，由题意可知=^C,—BA\f,

答案第2页，共13页

设点G到平面的距离为d,平面44G±平面4334,

所以点G到平面相A1的距离等于点G到线段44的距离.

又小鸟=4G=A£=1,所以//=*,

所以W=J：,43=!S«4“'</=—AB,Aj^.d=—乂M为定值，故②正确;

3'66212

对于③，连接4?并延长交84于点S,连接KV,

则过点，，A,〃的平面截正三棱柱43C一小鸟G所得截面图形为△4S.

因为力PJ_BC,平面C88G_L平面力8C,平面C8A1Gn平面力夕。=8。，

力产二平面ABC,所以4尸±平面C3&G.

又PSL平面C8丛G,所以4PJ.PS,

取/出的中点N,连接MN,则点。为8N的中点，

又点R为BM的中点，所以0R/iMN,QR・'、"V,

又点M为小丛的中点，所以MN//BS,

所以QR//BS,所以丝=丝=2,所以=

所以:，故sJ"小J.更x工也,故③错误；

"946△"22262』

对于④，由题可知，点D的轨迹是以8名为轴（其中B为顶点），

母线与轴所成角为三的圆锥的底面圆周与正三棱柱力8C—小&G的上表面的交线.

VI

R.DnJi

所以ansn,，所以8Q_'，

t5t\O14

所以。在481G上运动时，其轨迹是以以为圆心，、，为半径，圆心角为工的圆弧，

故点D在上运动的轨迹长度为〉.,故④正确；

\\9

答案第3页，共13页

故选：c.

8.B

【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可判断①；连接证明/EJ_平面8CQ,

则上即为4。与平面8CQ所成角的平面角，即可判断②，根据三棱锥体积公式，找底

面△8CO面积和点力到平面8CQ距离〃，当面面垂直时力最大，算出体积最大值，即可判

断③：把△/1"与△/!£《沿/七展开到同一平面，用余弦定理算。尸（即CM+-W最小值），

判断是否符合给定值，即可判断④.

【详解】对①，当平面48c与平面3co垂直时，

：CD±BC,平而/4C与平面88的交线为3C,CQu平面68,

\CD-平面48C,又力8,4cL平面48C,

：CD±AB,CD±AC,故①正确；

对②，连接/1仅。七，

因为力AJ-CD,BC±CD,ABr\BC=B.AB,8cL平面ABC,

所以CO_L平面/8C,

又/EuT面44。，所以ZE-LC。，

因为=4C,E为8c的中点，

所以NE_LBC,

又BCCCD=C,BC,CDL平面&CO,

所以平面8C。，

则±ADE即为4）与平面BCD所成角的平面角，

在RNBCQ中，CD=2,±5Z）C=600,则8c=2&，

答案第4页，共13页

对③，三棱锥力-8co的体积「=.力(力为点、A到平面的距离)，

S』D=1X*XCD=：X2V5X2=2V5

当平面/6CJ_平面3co时，〃最大，力的最大值为=

此时「=gx2jj，6=2,所以三棱锥力一8。。体积的最大值为2,故③正确:

对④，当力8二力。时，因为尸为8。的中点，

所以力FJ_BD,则,"=、1

又因E为8C的中点，所以为/=；(7)=1,

又AE工G,所以七足+力尸=止，

所以力产」_£7"

如图将△力E/沿4E旋转，使其与△力C/在同一平面内，

则当C,M,F三点共线时，CM+EW最小，

即CM+FM的最小值为C尸，

在RtH£/中，sin±JAF=—=—.

AE3

则cosZCEF=cos(ZJ£F+ZAEC)=-smZAEF=-4，

HrtlO・j♦3-2«IMJX上乎；■«♦]£,

所以CM+/M的最小值为\4+2<3，故④错误.

答案第5页，共13页

故选：B.

9正

2

2-3i

【分析】利用复数的除法法则求得，进而可求模.

|2・制|（2・期）（1■以2-2i-3i-3||-!-Si

[WJrTTTII/,an-\\-------；-------0\7”.空■叵

故答案为：

。信Q）

【分析】利用投影向量的定义求解即可.

【详解】因为G=（l,0,2）3=（2,3,0）

,u'b-2+0*0八_.（46\

向量：在向量b上的投影向量的坐标为修亦=（丁4.9.01<23。尸|--

故答案为:

【解析】1篇稿件被录用分为两种情况：（1）稿件通过了两位初审专家；Q）稿件通过了一

位初审专家，也通过了复审专家.分别对求解两种情况的概率，再对两种情况的概率求和即

可。

【详解】记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一

位初审专家的评审：C表示事件：稿件能通过复审专家的评审：D表示事件：稿件被录用,

则。=。+8.C,

PffiJ-Zxixi-l，P（C）«j

所以工质/）♦和削P[C）・，♦1/*-

4248

故答案为：

A

答案第6页，共13页

【点睛】本题主要考杳事件概率的计算，考杳互斥事件和相互独立事件在求解概率中的应用,

难度一般.

12.小.19

JFjr

【分析】借助正切定义可得―-皿》。.二!-mcz,计算即可得解.

D上

J£

【详解】由题意可得7^：=回6=1•—=tan（z=6

故/£=/止./£=&£，则8=〃£-(上

1236(3.力)/口、

数I."(36)(3.6)1

故彳8=48£=6（6+3）+1=673+19

故答案为t

32K

⑶—

【分析】由题意推出球心到四个顶点的距离相等，利用直角三角形3OE,求出球的半径,

即可求出外接球的体积.

【详解】如图，E为正三角形力8C的中心，。为三楂锥P一外接球球心，

因为正三棱锥产一力4。中，底面边长为3,侧棱长为2,

所以2"'则的二百，

sin600

所以高PE万一fiFI-

由球心O到四个顶点的距离相等，

在直角三角形BOE中，BO=R,£0=廊匚万？=|"用,

答案第7页，共13页

由4O2=BE+EO2,所以A?=3+(1—/?)2,解得火=2,

所以外接球的半径为R=2,所以它的外接球的体积为:“件-

32赏

故答案为：

14.2万-3

【分析】根据给定条件，利用数量积的定义、二倍角公式列式，再利用基本不等式求解即可

得.

【详解】设「力;PB=I,1APO=上BPO=e,

由切线性质可得4_LCM、P808,则lan。=1,

t

Ki1-ci/、八icos*sin-9

尸.4P8=r・ce20=「（COST9-$in*伊卜，•一T---------

15.(1)3

【分析】（1）利用余弦定理即可求解；

（2）由题意可得"5=：；而,两边平方可求解：

<3）由正余弦定理可得sin6,cos6,可求得sin2d3s26,进而利用两角差的正余弦公式

求解即可.

【详解11）因为叱万."2./=；,所以由余弦定理得（⑺'=b02'-2bx2xc（吟

所以〃-2Z）-3=0,解得6=3或6=—1（舍去）：

(2)

答案第8页，共13页

A

因为80=200,所以M-<«).

所以而=而♦丽=丽-口曰-而)=1“二:痛，

所以/。=—AC*4-.4C=-x3:4--x3«2x-!-+—x2:=—、

ggg9g29g

所以/o=2i叵

币33—

（3）由正弦定理得i\m//•解得sinB-

sin.访'

n3—7+4-9.I

又因为2xRx2.访

班I班

所以sin28=2sm8oos8=2X---产X---F=-----।

2772行14

所以sin(28—4)=sin2Bcos/1—cos25sinA

W5Ir13、636U3S4s

142[14)2287

16.(1)证明见解析

⑵逅

6

4

叱

【分析】（1）连接M）,先证明QN//平面G8M,力。//平面GBM,可证明平面OPN//平

面G8”,利用面面平行的性质可证结论:

（2）平面NPC和平面。P.V的夹角等于平面NPC和平面BA/G夹角，过。作。O_LPN于0,

连接CO,可得上QOC为平面NPC和平面QPN的夹角，求解即可：

答案第9页，共13页

(3)可证明。C_L平面,进而可求三核铢⑤一NPC的体积.

【详解】(1)连接NZ),

因为点区为。C中点，.点W为。iG的中点，所以.NG//0M且NG=DM.

所以NGM。是平行四边形，所以。N//MG，

又因为ON丈平面6MG,SMU平面6MG，所以。N//平面6."G,

又因为488是一个直角梯形，DA=2,AB=\,点M为。C中点，

所以.//DM且48二DM.

所以4M仍是平行四边形，所以

又因为小。丈平面8WG，8Mu平面8MG，所以力。〃平面8MG，

又.力。nDN=D,/1O,DNL平面DPN,所以平面DPN//平面BMG,

又PNr平面OPN,所以PN//平面氏WG，

(2)由(1)知平面。PN//平面3MG,

所以平面NPC和平面。PN的夹角等于平面NPC和平面8MG夹角，

因为GMJL平面力4C。，,又DN3MC、,所以DV_Z_平面/4C。，

又因为。NL平面DNP,所以平面DVPJ_平面44C'。，

乂平面ONPn平面48co=AD,CDl平面ABCD,又DC±AD,

所以OCJ_平面DNP,过0作。O_L/W于O,连接CO,

又因为PNL平面DNP,所以。C_LPN,又cono。=。，。。,。。＜2平面。。。,

所以PN八平面CDO,又OCl平面CDO,所以PNJL0C,

所以上OOC为平面NPC和平面。尸N的夹角，

因为QM=2,所以NO=2,在R3N尸。中，可得尸V=J/7)?+,

又因为为M=；DNPD=g“OD、所以;x2xl=l6x。。,

解得。。=云,乂因为oc=2,在Rt/xooc中，or=Jm+aM=

答案第10页，共13页

2

所以8s上/叱=FT不，

Js

所以平面NPC和平面8MG夹角的余弦值以衣;

6

(3)因为点N为。G的中点，所以.M)J〃向且N2=4昂.

所以NQM/1是平行四边形，所以8囚//小。一且6声=用。1,

又ADNg,且力。=4仅，所以AD"NBi,AD=NB.

所以从£平面NPO,从而DC_L平面丛NP，

乂ON_/_平面/8。。，4DL平面48CD,所以。N_L4),所以。N_L&N,

所以，“、「=1用「OV=lx2x2=2,

所以三棱锥8—NPC的体积为二，.1\“5«7)二!\"2二:

17.(1)1

(2)：

——J->

【分析】(1)由题意可得4G_L44,结合空间向量的数量积可求得才；

TTT—

(2)当>1=1时，可得/力J_U,77_1_BD,可证力G-1-平面4〃。，连接力G交50于O,

过。作ON_L4由于N,连接MN,可得上M