线段垂直平分线与角平分线-2024苏科版八年级数学上册同步练习（含答案解析）

L4线段垂直平分线与角平分线苏科版（2024）初中数学八年级上

册同步练习

分数：120分考试时间：120分钟命题人：

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.如图，在△4BC中，DE是AC的垂直平分线，△48。的周长为19。m，△4BD的周长为13cm,则AE

2.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A,8是方格纸中的两个格点（即正方

形的顶点）.在这张5x5的方格纸中.找出格点G使=.则满足条件的格点「有（）

3.如图，△48C的三边山?、BC、力。的长分别为12、14、20,其三条角平分线将△4BC分成三个三角

形，则、:u：.、’，，』，（）

A

A

A.2:3:4B.10:7:6C.5:4:3D.6:7:10

4.如图，在△ABC中，DE是AE的垂直平分线,交BC于点、D,交48于点E,己知4E=lcm,△4C0的

周长为12cm,则△48C的周长是（）

c^------------发

A.13cmB.14cmC.15cmD.16cm

5.如图，三角形地块ABC中，U1AB=40m,AC=30m,其中绿化带4。是该三角形地块的角立分线.若

三角形地块43。的面积为320m2,则三角形地块4CD的面积为()

A.120m2B.240m2C.400TH2D.560mz

6.如图，8。是△ABC的角平分线，0EJ.48,垂足为E,AB=6,BC：=4,。£=2,则A/IBC的面积为

()

A

A

BC

A.4B.6C.8D.10

7.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，4PAC=22°,乙PCB：=33°,则/PA8的度数为（）

A

上

BC

A.33°B.35°C.37°D.39°

8.已知锐角4力。8,如图，

(1)在射线。4上取一点C,以点。为圆心，0c长为半径作俞，交

射线08于点0,连接CO：

(2)分别以点C,D为圆心，CO长为半径作弧，两弧交于点P,连

C

接CP,DP；N

(3)作射线0P交。。于点Q.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是()

A.CP//OBB.CP=2QC

C.^.AOP=乙BOPD.CD1OP

9.东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园.如图，aABC是一个正在修建的口

袋公园.要在公园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路48、4?的距离相等，且使得=SABCH，

则凉亭”是（）.

A.乙84C的角平分线与AC边上中线的交点

B.4C的角平分线与48边上中线的交点

C.乙48。的角平分线与江边上中线的交点

D.乙相。的角平分线与8C边上中线的交点

10.如I图，40是448C中484c的角平分线，DE148于点E,S4ABe=24,DE=4,AB=5,则力C的

长是（）

A.4B.5C.6D.7

11.在团ABC中，BC=10,4B的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点〉E,且DE=4,则

AD+AE的值为（）

A.6B.14C.6或14D.8或12

12.如图,在△48C中，乙4=90。，LC=30°,8。是△ABC的角平分线.若点。到8。的距离为3,则4c

的长为（）

A.12B.7.5C.9D.6

AD

18.（本小题8分）

如图，在中，LC=90°,AC=8,AB=10,48的垂直平分线分别交AB,AC于点0,E.求力E

的长.

19.（本小题8分）

已知一个三角形工件尺寸（单位：dm）如图，计算高八的长.

20.（本小题8分）

如图，CN是等边ZM3C的外角“CM内部的•条射线，点A关于CN的对称点为。，连接4。，BD,CD,

其中＜O,BO分别交射线CN于点E,P.

（1）求证：CD=CF；

（2）若N4CN=*求NBDC的大小（川含a的式子表示）：

（3）请判断线段PB,PC与PE三者之间的数量关系，并证明你的结论.

21.（本小题8分）

如图，PA=PB,乙1+42=180°.求证：OP平分4408.

22.（本小题8分）

如图，ZMBC的外角NZMC的平分线交BC边的垂直平分线于点P,「。1.48于点。.

（1）过点P作PE_L4C于点E,求证：BD=CE：

（2）若H8=6CM,AC=10cm,求力。的长.

23.（本小题8分）

如图，△48C中，AB=AC,乙1=40°

（1）作边AB的垂直平分线MN（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在已知的图中，若MN交AC于点D,连结BD,求zDBC的度数.

24.（本小题8分）

如图，AB=4a点£为4。上一点且BE=CE.求证：BD=CD.

/

D

25.（本小题8分）

如图，。。是乙40B的平分线，P是。C上的一点，PDLOA,PE10B,垂足分别为。、E.尸是0C上的

另一点，连接DF、EF.

求证：DF=EF.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】略

2.【答案】4

【解析】［分析］

本题考查了网格的特点和线段的垂直平分线，注意不要漏点，根据线段垂直平分线的性质，点C在48

的垂直平分线上，最后根据方格纸确定点C的个数.

［详解］

解：如图，满足4C=BC,故点C在48的垂直平分线上，有5个，

故选人.

3.【答案】D

【解析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是过。作0018C于

D,。£_1/1。于£,OFLAB于F,由角平分线的性质得到。。=0E=OF,由

三角形面积公式即可得到

S/snAfi：St£)K•I"II-11•~I”.

【详解】解：过。作。DIBC于。，OELAC^E,OF1AB于F,

-AO,BO,CO分别平分乙BAC,乙ABC,^ACB,

•••OD=OE=OF,

•••△408的面积=；718.0匕目08c的面积=280.00,△OXC的面积=々AC•OE,

、：S-<wc：必，W1-11-1,•；I”.

故选：D.

4.【答案】B

【解析】由已知条件•，利用线段的垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后将△4BC

的周长转化为△4CD的周长和线段40、08的和即可得△48C的周长=BA+AC+CD+DB=BA+

(AC+CD+DA).

【详解】•••DE是48的垂直平分线,

AB=2AE=2x1=2cm,DB=£M,

・•.△ABC的周长为

BA+AC+CD+DB=BA+{AC+CD+DA)=2+12=14cm.

△。的周长是14c7Tl.

故选B

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质；根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离

相等，得到。8=。4是正确解答本题的关键.

5.【答案】B

【解析】过D分别作DE14B于E,。尸14C于尸，由角平分线的性质证得DE=DF，由三角形的面积

公式求出。F,再由三角形的面积公式即可求出©AC。的面积.

解：过。分别作。E于£,。尸14C于F,

•••40是乙8力。的平分线，

•••DE=DF,

vAB=40m,用力BO的面积为320m2,

2x320

•.•DE=DF=^^=16(?n),

.••团4CO的面积=1/1C-DF=1x30x16=240(m2),

故选：B.

本题主要考查J'角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质证得DE=D尸是解决问题

的关键.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，过。点作于H,如

图，根据角平分线的性质得到D”=DE=2,然后根据三角形的面积公式计算.

【详解】

解：过。点作DH18C于"，如图，

A

•••BO是A/IBC的角平分线，DE1AB,DH1BC,DE=2,

DH=DE=2,

SW，SAHI)1)"2'h'"2'~.

故答案为：10.

7.【答案】B

【解析】利用线段垂直平分线的性质可得PA=PB=PC,从而利用等腰三角形的性质可得/PC/l=

“AC=22°,乙PBC=^PCB=33°,乙PAB=dBA,然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解

答.

【解答】解：•••点P为4/18。三边垂直平分线的交点，

:.PA=PB=PC,

Z-PCA=Z.PAC=22°,4PBC=NPCB=33°,4PAB=KPBA,

•••乙PCA+乙PAC+乙PBC+LPCB+LPAB+LPBA=180°,

Z.PAB=乙PBA=35°,

故选：B.

8.【答案】A

【解析】解：由作图可知：射线OP即为N408的角平分线，

:.Z.AOP=乙BOP,

故C正确，不符合题意；

由作图(1)(2)可知：OC=0D,CP=DP,

••.OP是CD的垂直平分线，

CD1OP,

故。正确，不符合题意；

由作图(2)可知：CD=CP=PD,

••.△CDP是等边三角形,

•••CD1OP,

CP=2CQ,

故8正确，不符合题意；

•••Z.AOP=Z.BOP,

当OC=CP时，Z-AOP=Z-CPO,

乙CPO=乙BOP,

/.CP//OB,

故A错误，符合题意；

故选：A.

由作图知。。=OD,CD=CP=DP,根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、

角平分线的基本作图，逐一判断可得.

本题考套作图-基本作图，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是

熟练掌握角平分线这个基本作图，属于中考常考题型.

9.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查角平分线的性质，三角形中线的性质，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两三

角形是解题的关键.

根据角平分线的性质定理，可得点，在N84C的平分线上，再根据三角形的中线性质可得A/WE的面

积=4BCE的面积，△4HE的面积=△CHE的面积，然后利用等式的性质可得△AB”的面积=△CBH的

面积，即可解答.

【解答】

解：如图：作2氏4c的平分线交8c于0,作AC的中线BE交于H,

•••力。平分4B/C,点H在力D上,

.•.点H到48、AC的距离相等,

•••8E是4C边上的中线,

ABE的面积=△BCE的面积，△AHE的面积=△CWE的面积,

4BE的面积一△4HE的面积=△BCE的面积一△CHE的面积，

AB”的面积=△C8H的面积，

凉亭”是乙84C的角平分线与AC边上中线的交点，

故选:A.

1().【答案】D

【解析】作。/<LAC于巴如图，根据角平分线定理得到。£尸=4,再利用三角形面积公式和

ShADB+SMDC=S-8c得到"x5x4+1x/lCx4=24,然后解一次方程即可・

【解答】解：作。尸14。于心如图，

•••4D是ZL4BC中NBAC的角平分线，DE1AB,DFLAC,

DE=DF=4,

S&ADB+S^ADC=S&ABC，

AIx5x4+Ixz4Cx4=24,

AC=7

故选：D.

11.【答案】C

【解析】提示：连接4D,AE,则由条件可知4Z)=BD,AE=EC.分两种情况：如图1,当ED与CE无

重合时，AD+AE=BD+CE=BC-DE=10-4=6.如图2,当BD与CE有重合时，AD+AE=

BD+CE=BC+DE=10+4=14.

【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，含30。角的直角三角形，掌握角平

分线上的点到角两边的距离相等.过点。作。E18C于点E,根据角平分线的性质，得到AO=CE=3,

再由30。角所对的直角边等于斜边一半，得到CD=6,即可求出力C的长.

解；如图，过点。作OEJLBC于点E,

•••8。是的角平分线，△4=90°,

AD=DE,

•••点。到8C的距离为3,

:.DE=AD=3,

在g△£)£1(?中，ZC=30°,

:.CD=2DE=6,

AC=AD+CD=3+6=9,

故选：C.

13.【答案】19

【解析】【分析】

本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线.卜•的点到线段两个端点的距离相等.

根据线段垂直平分线性质得出AD=OC,求出/1C和/1B+BC的长，即可求出答案.

【解答】

解：•••DE是4c的垂直平分线，AE=3,

AC=2AE=6,AD=DC,

•・•△4BD的周长为13,

•••AB+BD+AD=13,

AB+BD+DC=AB+BC=13,

718。的周长为48+BC+AC=13+6=19,

故答案为19.

14.【答案】40°

【解析】略

15.【答案】20

【解析】根据线段垂直平分线的性质得到。4=。。=。8,根据等腰三角形的性质得到2。4?=

LOCA=40%乙OBC=AOCB,乙。8力=根据三角形的内角和定理即可得到结论.

【解答】解：连接3。，•・♦点。是48,4C垂直平分线0。，E0内交点,

AWDA=乙0EA=90°,0A=0C=0B,

Z.0AC=/.OCA=40°,^OBC=Z.OCB,Z.OBA=LOAB,

vZ.ODA+乙OEA+Z.BAC+Z.DOE=360°,

Z.BAC=70%

乙OBA=Z.OAB=70°-40°=30°,

•••Z-ABC十Z-ACB=1800-Z-BAC=110°,

•••乙ORC=Z-OCB=^-[AABC+^ACB-(A.OBA+Z.OCA)]="110°-(40°+30°)]=20°,

故答案为：20.

16.【答案】45°

【解析】解：•••四边形4BCD是菱形,

:.AD=AB,

Z,ABD=/.ADB=1(180°-乙4)=75°,

由作图可知，EA=EB,

•••Z-ABE=Z4=30°,

•••LEBD=LABD-LABE=75°-30°=45°,

故答案为45。.

根据乙E8D=Z/1FD-Z.ABE,求出乙480,4力BE即可解决问题.

本题考查作图-基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,

属于中考常考题型.

17.【答案】⑴证明：•.•四边形/BCD是平行四边形，

•••OD=OB,DC//AB,

•••Z.FDO=乙EBO,

2FDO=LEBO

在△OF。和△BE。中，OD=0B,

ZF0D=LEOB

BEO(ASA),

...OE=OF；

(2)解；•••四边形/BCD是平行四边形，

AB=CD,AD=BC,OA=0C,

vEF1AC,

•••AE=CE,

•••△BEC的周长是10,

BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10,

Q/l8c。的冏长=2(BC+AB)=20.

【解析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线

的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

(1)根据平行四边形的性质得出。。=OB,DC//AB,推出乙F。。=Z-EBO,证出△DFO沿X8E。即可：

(2)由平行四边形的性质得出AB=CD,AD=BC,OA=OC,由线段垂直平分线的性质得出4E=CE,

由已知条件得出BC+4B=10,即可得出口48CD的周长.

18.【答案】解：在R£2\ABC中，Z-C=90°,AC=8,48=10,

BC=VAB2-AC2=V102-82=6，

连接8E,

vDE垂直平分/1B,

:.AE=BE,

设4E=8E=x,则CE=8—;v,

-BC2+CE2=BE2,

・••62+(8-%)2=%2,

解得无二箕

4

A“E=—25.

4

【解析】由勾股定理先求出BC=6,连接BE,根据中垂线的性质设力E=BE=%,知ICE=8-％,在

Rt△8CE中由BC?+CE2=BE?列出关于％的方程，解之可得答案.

本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理及线段中垂线的性质.

19.【答案】解；过点/!作4。1Z7C于点0,则AO=h.

vAB=AC=5dm,/.垂直平分8c..BD=^BC=3dm.

在Rt△480中，AD=VAB2-BD2=V52-32=4(dm),

即h二4dm./.九的长为4dm.

【解析】略

20.【答案】【小题1】

•.•点4与点。关于CN对称，是的垂直平分线，.•.&!=CD.ABC是等边三角形，."4=08,

•••CD=CB.

【小题2】

•••CN是4。的垂直平分线，•••CA=CD,z_ACE=Z.DCE.vZ.ACN=a,：.Z.ACD=2/-ACN=2a.vCB=

CD,Z.ACB=60°,/.BCD=Z.ACB+/.ACD=60°+2a,Z.BDC=Z-DBC=1(180°-Z.BCD)=

60°-a.

【小题3】

结论：PB=PC+2PE.证明：在P8上截取PF,使PF=PC,连接CR设乙4CN=a,vCA=CD,^ACD=

2a,.-.£CDA=乙CAD=90°-乂•••乙BDC=60°-a、：.乙PDE=LCDA-乙BDC=30°,•••PD=2PE.•••

LCPF=£.DPE=90°-LPDE=60°,CPF是等边三角形，ALCPF=Z.CFP=60°,:•乙BFC=

(Z.CFB=乙CPD,

乙DPC=120°.?EAFFC？UA。尸C中，\^CBF=Z.CDP,/.△BFgADPC(AAS),:.BF=PD=2PE.：.

[CB=CD,

PB=PF+BF=PC+2PE.

【解析】1.略

2.略

3.略

21.【答案】证明：过点P作P£_L。力于点E,作PF108于点凡如图所示,

则4/EP=Z-BFP=90°,

•••zl+z2=180°,z2+z3=180°,

•••z.1=z3.

在△力PE和△8PF中，

Z.AEP=乙BFP

Z1=z3,

PA=PB

APE^^BPF(AAS),

PE=PF.

OP平分乙408.

【解析】本题考杳了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定，利用全等三角形的判定定理A4s

证出△4PE0ZkBP"是解题的关键，过点P作PEJ.O/1于点E,作PFJ.08于点F,根据等角的补角相

等可得出41=43,结合44"二乙8",P力=PB即可证出BP/(44S),根据全等三角形

的性质可得出PE=PF,进而可证出OP平分々1。乩

22.【答案】【小题1】

证H3：连