相似三角形的性质（高效培优讲义）-沪科版九年级数学上册

专题2.3相似三角形的性质

1.理解相似三角形的性质。

教学目标

2.能灵活运用相似三角形的性质解决相关问题。

教学重点：性质定理的理解与掌握；性质定理的应用；性质定理的探究过程

教学重难点

教学难点：相似比相关概念的区分：知识的综合运用

知识清单

知识点相似三角形的性质定理

1.相似三角形性质定理1

相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

2.相似三角形性质定理2

相似三角形周长的比等于相似比.

3.相似三角形性质定理3

相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

A

BC

【答案】D

【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是掌握似三角形的对应边比等于相似比.根据相似三角

形的对应边之比等于相似比，进行求解即可.

故选：D.

2.（2324九年级上•安徽滁州•期中）若两个相似三角形的对应中线之比为2:3,则它们的对应高之比为（）

A.2：3B.4：9C.9：4D.3：2

【答案】A

【知识点】证明三角形的对应线段成比例

【分析】本题考查了相似三角形的对■应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据

此作答即可.

【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为2:3,

所以它们的对应高之比为2：3,

故选：A.

A.2:3B.4:9C.3:2D.9:4

【答案】B

【知识点】利用相似三角形的性质求解

【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.根据相似三角形的面积

比等于相似比的平方解答即可.

故选：B.

【知识点】利用相似三角形的性质求解

【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是理解相似三角形的性质.

先根据相似三角形的性质列出比例式，转化为待求线段的方程求解.

【答案】7Z

lo

【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形的判定综合

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

题型精讲

题型01相似三角形的性质定理证明

【例1】求证：相似三角形对应高的比等于相似比.

又•4）、分别是AC、8c的高，

【总结】本题考查相似三角形的判定和性质.

【变式11］求证：相似三角形对应中线的比等于相似比.

1

【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用.

【变式12］求证，相似三角形对应角平分线的比等于相似比.

【总结】本题考查相似三角形的判定和性质.

题型02利用相似三角形的性质求线段的比

【答案】2：3

【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比，根据相似三角形周长的比等

于相似比，解答即可.

故答案为：2:3.

【解析】

【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用.

题型03利用相似三角形的性质求周长

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟记结论即可.

先证明三角形相似，然后利用相似三角形的性质解题即可.

【答案】（1）见解析：

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质.

（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形全等；

（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.

【答案】y/0.58

【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，关键是设出点的坐标，再根据三角形面积公式或相似

三角形的对应边的比相等求解.

故答案为：8.

B

(1)的长为.

【答案】912

【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，理解并掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键.

故答案为：9;

故答案为：12.

题型05利用相似三角形的性质求图形的面积比

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的性质以及判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定以及两个相

似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键.

【答案】A

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形面积公式的应用，熟练掌握相似三角形的判定与

性质是解题的关键；

先根据相似三角形的判定和性质求出对应边的比例关系，再利用三角形面积公式求出比值.

故选:A.

A

BEC

【答案】A

故选：A.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

（1）如图1，当点尸落在A8上时，则OE的长为一；

【详解】解：（1）连接。尸，

.•・点。为即的中点，

-E是8c的中点，

故答案为：三30；

（2）延长七力交打、于点G,

团EG垂直平分所，

团C/平分

回E是BC的中点，

故答案为：.

169

【点睛】本题考查了三角形的中线的应用，对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角

形斜边中线的性质，，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

题型06利用相似三角形的性质解决内接矩形问题

d)y=；(用含x的式子表示)

(2)2400

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：对应边的比等于对应高的比，同时考查了二次函数最值的求

法.

故答案为：2400.

(2)20

故答案为：60；

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，理解相似三角形的对应高的比等于相似

比是解题的关键.

⑵若这个零件长是宽的2倍，求这个零件的长和宽？

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解

题的关键.

【详解】(1)解：设这个零件的边长为，，

图1图2

⑴请利用图1解决“勾股容方”问题;

【答案】⑴称

⑵不能

【分析】本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质;

图2

团该宜角三角形能容纳的正方形边长为送步;

团"斜"不能压"正

①求y与x的函数表达式，并写巴自变量x的取值范围；

【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用,

设正方形的边长为巴

题型07相似三角形综合运用

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定知性质，熟练

掌握反比例函数k的几何意义，灵活运用相似三角形的判定和性质定理，平行线分线段成比例定理是解题的

关键.

【答案】1/0.125

O

回点E,F,M,N分别是线段胪，DP,BP,CP的中点,

D

A

4

【答案】⑴宗

（3）根据二次函数的性质，即可求解.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形

的判定和性质，二次函数的性质是解题的关键.

强化训练

一、单选题

DEC

【答案】D

【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定利性质，注：相似三角形的面积之比等于相

似比的平方.

A.4:1B.3:4C.4:3D.4:9

【答案】B

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用高相等的两个三角形面积之

比等于底之比是解题的关键.

【答案】A

【分析】本题考查正方形性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积相关知识.解题关键是利用正方

形性质判定三角形相似，结合线段比例关系求出各部分面积，土而得出面积比值.

故选:A.

二、填空题

【答案】140/吟4

A”是3c边上的高，

40

故答案为：y.

二、解答题

【答案】今12或2

【详解】解：如图,

综上所述，A。的值为（12或2,

【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定;

【答案】（1）证明见解析

(2)y

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，线段垂直平分线的性质，熟知相似三角

形的性质与判定条件是解题的关键.

团QE垂直平分BC,

【答案】（1）见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，注意；相似三角形的面积比等于相似

比的平方.

⑵这个矩形的边长分别为30,20

【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等知识，证明两个三

角形相似是解题的关键.

所以，这个矩形的边长分别为30,20.

【答案】（1）证明见解析

（*

【点睛】本题主要考查了垂线的性质，相似三角形的判定与性质综合，比例的性质，相似三角形的判定，

直角三角形的两个锐角互余，含30度角的直角三角形，等式的性质2,相似三角形的性质等知识点，正确

找出图中的相似三角形是解题的关键.

D

B

【答案】（1）见解析

49

⑵5

【分析】本