2025年大学《核物理》专业题库- 核物理研究中的相对论效应探讨

2025年大学《核物理》专业题库——核物理研究中的相对论效应探讨考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、相对论动量\(\mathbf{p}\)和能量\(E\)的四维矢量为\((E/c,\mathbf{p})\)。一个静止质量为\(m_0\)的粒子，其总能量\(E\)与动量\(p\)之间的关系式为？当粒子速度\(v\)接近光速\(c\)时，其动量\(p\)近似等于多少？二、在\(S\)系中观察到一个静止质量为\(m_0\)的粒子衰变为两个静止质量分别为\(m_1\)和\(m_2\)的粒子。若在\(S\)系中测得两个衰变粒子的速度分别为\(v_1\)和\(v_2\)，且\(v_1\)沿\(x\)轴正方向。请写出能量守恒和动量守恒的相对论性方程。三、一个电子在实验室参考系中以\(0.9c\)的速度运动。求：1.实验室参考系中测量该电子的动量和总能量。2.在电子的参考系中，测量实验室参考系以多大速度运动？实验室中测得的长度收缩因子是多少？四、在实验室参考系\(S\)中，两个事件发生在同一地点，时间间隔为\(\Deltat=10^{-8}\)秒。在另一个相对实验室沿\(x\)轴正方向匀速运动的参考系\(S'\)中，测量这两个事件的时间间隔\(\Deltat'\)为\(9\times10^{-8}\)秒。求参考系\(S'\)相对于\(S\)的速度\(v\)。五、一个静止质量为\(m_0\)的粒子，在实验室参考系中发射一个静止质量为\(m_1\)的粒子，速度为\(v_1\)。求该粒子在发射后剩余部分（反冲粒子）的静止质量\(m_0'\)和速度\(v'\)。六、在核物理中，描述基本粒子的内禀量子数如自旋和宇称。相对论性自旋轨道耦合修正会导致哪些粒子性质的改变？请举例说明相对论效应对介子（如\(\pi\)介子）寿命和内禀自旋的影响。七、简述广义相对论中的引力时间膨胀效应。设想一个核反应在强引力场（如黑洞视界附近）发生，与远离引力源处相比，该反应的固有速率（单位时间发生的反应次数）是否会发生变化？为什么？八、高能粒子束流在核物理实验中扮演重要角色。为什么在能量达到几百GeV量级时，必须考虑相对论效应？如果不考虑相对论效应，会对实验结果（如粒子碰撞截面、粒子能量谱）产生什么主要影响？试卷答案一、关系式：\(E^2=(m_0c^2)^2+(pc)^2\)。近似式：当\(v\llc\)，\(p\approxmv\)；当\(v\)接近\(c\)，\(p\approx\frac{m_0v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\approx\frac{m_0c}{\sqrt{c^2-v^2}}\)。二、能量守恒：\(E=E_1+E_2\)，其中\(E_1=\frac{m_1c^2}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}\)，\(E_2=\frac{m_2c^2}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}\)。动量守恒：\(\mathbf{p}=\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2\)，其中\(\mathbf{p}_1=\frac{m_1\mathbf{v}_1}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}\)，\(\mathbf{p}_2=\frac{m_2\mathbf{v}_2}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}\)。三、1.动量：\(p=\frac{m_0v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\frac{m_0(0.9c)}{\sqrt{1-(0.9c)^2/c^2}}=\frac{0.9m_0c}{\sqrt{1-0.81}}=\frac{0.9m_0c}{\sqrt{0.19}}\approx2.14m_0c\)。总能量：\(E=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-0.81}}=\frac{m_0c^2}{\sqrt{0.19}}\approx2.29m_0c^2\)。2.速度：由洛伦兹变换\(\Deltat'=\gamma(\Deltat-\frac{v}{c^2}\Deltax)\)，此处\(\Deltax=0\)，\(\Deltat'=9\times10^{-8}\)，\(\Deltat=10^{-8}\)。得\(\gamma=\frac{\Deltat}{\Deltat'}=\frac{10^{-8}}{9\times10^{-8}}=\frac{1}{9}\)。\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\)，则\(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\frac{1}{9}\)，解得\(1-v^2/c^2=81\)，即\(v^2/c^2=1-1/81=80/81\)。\(v=c\sqrt{80/81}=c\sqrt{\frac{80}{81}}\approx0.942c\)。长度收缩因子：\(\sqrt{1-v^2/c^2}=\sqrt{1-80/81}=\sqrt{1/81}=1/9\)。四、由洛伦兹变换\(\Deltat'=\gamma(\Deltat-\frac{v}{c^2}\Deltax)\)，此处\(\Deltax=0\)，则\(\Deltat'=\gamma\Deltat\)。\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\)。\(\Deltat'=\frac{\Deltat}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\)，即\(\sqrt{1-v^2/c^2}=\frac{\Deltat}{\Deltat'}\)。\(1-v^2/c^2=(\frac{\Deltat}{\Deltat'})^2\)。\(v^2/c^2=1-(\frac{\Deltat}{\Deltat'})^2\)。\(v=c\sqrt{1-(\frac{\Deltat}{\Deltat'})^2}=c\sqrt{1-(\frac{10^{-8}}{9\times10^{-8}})^2}=c\sqrt{1-(\frac{1}{9})^2}=c\sqrt{1-\frac{1}{81}}=c\sqrt{\frac{80}{81}}=\frac{\sqrt{80}}{9}c\approx0.942c\)。五、在\(S\)系中，设发射粒子后剩余粒子的质量为\(m_0'\)，速度为\(v'\)（沿\(x\)轴正方向）。动量守恒：\(0=\frac{m_1v_1}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}+\frac{m_0'v'}{\sqrt{1-v'^2/c^2}}\)。得\(\frac{m_1v_1}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}=-\frac{m_0'v'}{\sqrt{1-v'^2/c^2}}\)。能量守恒：\(m_0c^2=\frac{m_1c^2}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}+\frac{m_0'c^2}{\sqrt{1-v'^2/c^2}}\)。得\(m_0=\frac{m_1}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}+\frac{m_0'}{\sqrt{1-v'^2/c^2}}\)。由动量守恒式解出\(v'\)：\(v'=-\frac{m_1v_1\sqrt{1-v'^2/c^2}}{m_0'\sqrt{1-v_1^2/c^2}}\)。代入能量守恒式：\(m_0=\frac{m_1}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}+\frac{m_0'}{\sqrt{1-(-\frac{m_1v_1\sqrt{1-v'^2/c^2}}{m_0'\sqrt{1-v_1^2/c^2}})^2/c^2}}\)。简化：\(m_0=\frac{m_1}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}+\frac{m_0'}{\sqrt{1-\frac{m_1^2v_1^2(1-v'^2/c^2)}{m_0'^2(1-v_1^2/c^2)^2}/c^2}}=\frac{m_1}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}+\frac{m_0'}{\sqrt{1-\frac{m_1^2v_1^2(1-v'^2/c^2)}{m_0'^2c^2(1-v_1^2/c^2)^2}}}\)。进一步化简求解\(m_0'\)和\(v'\)比较复杂，但思路是通过联立动量守恒和能量守恒方程组求解。通常采用能量守恒方程两边平方，并利用动量守恒方程消去其中一个变量（如\(v'\)），得到关于\(m_0'\)的二次方程或联立方程组求解。最终\(m_0'\)会小于\(m_0\)，\(v'\)的绝对值会小于\(v_1\)。六、相对论性自旋轨道耦合修正会导致粒子内禀自旋\(\mathbf{s}\)与其轨道角动量\(\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}\)之间发生耦合，使得总角动量\(\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{s}\)的取值发生改变。这种耦合效应在高能粒子运动时变得显著。对介子的影响：例如，\(\pi\)介子（自旋宇称为0）和\(K\)介子（自旋宇称为0或1）在高能加速器中运动时，相对论效应会修正其自旋和宇称的性质，影响其产生截面、衰变模式和寿命。特别是对于自旋为1的介子（如\(\rho\)介子、\(J/\psi\)粒子），相对论自旋轨道耦合对其能谱和宽度有显著影响。计算表明，相对论效应对\(\pi\)介子寿命的影响约为\(10^{-14}\)秒量级，对\(K\)介子的影响更小，但对于高自旋介子的影响则不容忽视。七、广义相对论中的引力时间膨胀效应指出，在引力势能较高的区域，时间流逝得更快；在引力势能较低的区域，时间流逝得更慢。即，越靠近强引力源，时间流逝越慢。设想一个核反应在强引力场（如黑洞视界附近）发生，其固有反应速率（单位时间发生的反应次数）由其内部时钟决定。由于在强引力场中，该反应发生的地点的内部时钟相对于远离引力源处的时钟运行得更慢（引力时间膨胀），因此，在远离引力源处观测，该核反应的发生速率会显得更慢。或者说，从外部看，强引力场中的物理过程（包括核反应）会变慢。八、在高能粒子束流（如电子加速器、质子对撞机）中，粒子被加速到接近光速\(c\)的能量（几百GeV量级）。此时，粒子的运动速度\(v\)与光速\(c\)相差无几，其相对论动量\(p