2025年大学《应用统计学》专业题库- 天气预测模型与统计学方法

2025年大学《应用统计学》专业题库——天气预测模型与统计学方法考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、已知某地区连续10天的日最高气温（单位：℃）数据如下：32,35,33,30,29,31,34,36,28,30。请计算该组数据的样本均值、样本方差和样本标准差。二、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，即P(X=k)=(λ^k*e^-λ)/k!，k=0,1,2,...。请计算X的数学期望和方差。三、为了比较两种不同肥料（A和B）对作物产量的影响，随机选取10块土地进行实验，其中5块使用肥料A，5块使用肥料B。假设两块土地上的作物产量均服从正态分布，且方差相等但未知。测得肥料A处理的土地平均产量为15吨/公顷，标准差为1吨/公顷；肥料B处理的土地平均产量为14吨/公顷，标准差为1.2吨/公顷。请构造一个置信水平为95%的置信区间，用于估计两种肥料处理下作物产量均值之差。四、某气象站监测到某个月份每天的降雨量（单位：毫米），假设降雨量数据服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ和σ²未知。现从中随机抽取了30天的降雨量数据，计算得到样本均值为25毫米，样本标准差为5毫米。请检验该月份的平均降雨量是否显著大于20毫米？（显著性水平α=0.05）五、假设某城市夏季气温（Y，单位：℃）与日照时数（X，单位：小时）之间存在线性关系。随机收集了15对观测数据，并利用这些数据拟合了简单线性回归方程，得到回归系数b₁=0.8，回归系数b₀=18，且回归模型的残差平方和SSE=180。请计算回归模型的判定系数R²，并解释其含义。六、在建立了一个用于预测未来一周平均气温的多元线性回归模型后，得到模型的回归系数（除截距项外）及其标准误如下：b₁（日照时数）=0.7,SE(b₁)=0.1；b₂（湿度）=-0.5,SE(b₂)=0.2。请检验日照时数对气温的影响是否显著？（显著性水平α=0.01）七、某研究希望分析过去20年间某地区夏季（6月-8月）总降雨量（Y，单位：毫米）与春季（3月-5月）平均气温（X，单位：℃）之间的关系。收集数据后，绘制了散点图，初步判断两者可能存在非线性关系。请简要说明可以尝试使用哪些统计方法来拟合这种非线性关系，并简述每种方法的原理。八、假设某气象模型预测未来一周每天的降雨概率分别为：0.2,0.5,0.1,0.0,0.3,0.4,0.2。请计算这周至少有3天降雨的概率。九、对一个时间序列数据进行了平稳性检验，ADF检验的统计量为-2.5，自由度为2。请查阅ADF临界值表（显著性水平α=0.05），判断该时间序列是否平稳。十、请简述在比较三个或以上不同地区年平均气温是否存在显著差异时，为什么通常需要使用方差分析（ANOVA）而不是分别进行两次或多次两个地区之间的t检验？试卷答案一、样本均值=(32+35+33+30+29+31+34+36+28+30)/10=315/10=31.5℃样本方差s²=[(32-31.5)²+(35-31.5)²+...+(28-31.5)²+(30-31.5)²]/(10-1)=[0.25+12.25+2.25+2.25+6.25+0.25+7.25+22.25+12.25+2.25]/9=78/9≈8.667样本标准差s=√s²=√8.667≈2.944℃解析思路：直接应用样本均值、样本方差和样本标准差的定义公式进行计算。先求和得到总均值，再计算每个数据点与均值的差的平方，求和后除以样本量减一得到样本方差，最后对样本方差开平方得到样本标准差。二、数学期望E(X)=λ方差Var(X)=λ解析思路：直接应用泊松分布的数学期望和方差公式，即E(X)=λ，Var(X)=λ。这是泊松分布的基本性质。三、设两种肥料的产量均值分别为μ₁和μ₂。需要构造μ₁-μ₂的置信区间。已知：n₁=5,x̄₁=15,s₁=1;n₂=5,x̄₂=14,s₂=1.2。由于两总体方差未知但相等，使用t分布构建置信区间。首先计算合并方差估计量s_p²=[(n₁-1)s₁²+(n₂-1)s₂²]/(n₁+n₂-2)=[(4*1²)+(4*1.2²)]/8=[4+5.76]/8=9.76/8=1.22合并标准差估计量s_p=√1.22≈1.104t临界值t_(α/2,df)=t_(0.025,8)≈2.306(查t分布表，自由度df=n₁+n₂-2=8)置信区间下限=(x̄₁-x̄₂)-t_(α/2,df)*s_p*√(1/n₁+1/n₂)=(15-14)-2.306*1.104*√(1/5+1/5)=1-2.306*1.104*√(2/5)=1-2.306*1.104*0.6325=1-1.607≈-0.607置信区间上限=(x̄₁-x̄₂)+t_(α/2,df)*s_p*√(1/n₁+1/n₂)=1+1.607≈2.607置信区间为(-0.607,2.607)吨/公顷解析思路：这是两独立样本均值之差的置信区间估计问题，已知两总体方差未知但相等。首先计算合并方差估计量，然后确定自由度和相应的t临界值。最后代入样本统计量（样本均值和合并标准差）以及样本量，计算得到置信区间的上下限。四、原假设H₀:μ≤20备择假设H₁:μ>20样本量n=30,样本均值x̄=25,样本标准差s=5,显著性水平α=0.05。由于总体方差未知且样本量n=30（属于大样本），使用Z检验。检验统计量Z=(x̄-μ₀)/(s/√n)=(25-20)/(5/√30)=5/(5/5.477)=5/0.913≈5.474查标准正态分布表，Z_(1-α)=Z_(0.95)≈1.645。因为计算得到的Z统计量5.474>Z临界值1.645，所以拒绝原假设H₀。解析思路：这是单样本均值检验问题，总体方差未知但样本量较大（n≥30），可以使用Z检验。首先根据题意确定原假设和备择假设。然后计算检验统计量Z的值，该值衡量样本均值与假设均值之间的差距（以标准误为单位）。最后将计算得到的Z值与对应显著性水平下的Z临界值进行比较，根据比较结果做出拒绝或不拒绝原假设的判断。五、R²=1-SSE/SST需要计算总平方和SST。SST=Σ(yᵢ-ŷ̄)²，其中ŷ̄是样本均值。SST=Σ(yᵢ-x̄y)²=n*s_y²总平方和SST=n*s_y²=n*SSE/(n-1)=15*180/(15-1)=2700/14≈192.857R²=1-180/192.857=1-0.930≈0.070解析思路：判定系数R²表示回归模型对数据变异性的解释程度。计算公式为R²=1-SSE/SST。其中SSE是残差平方和，已知为180。SST是总平方和，可以通过SST=n*s_y²计算，s_y²是样本数据的方差。需要先计算出SST，然后代入R²公式求解。R²的值介于0和1之间，越接近1表示模型拟合越好。六、原假设H₀:β₁=0（日照时数对气温无影响）备择假设H₁:β₁≠0（日照时数对气温有影响）回归系数b₁=0.7,标准误SE(b₁)=0.1,显著性水平α=0.01。检验统计量t=b₁/SE(b₁)=0.7/0.1=7.0自由度df=n-p-1=15-2-1=12查t分布表，t_(α/2,df)=t_(0.005,12)≈3.055。因为计算得到的t统计量7.0>t临界值3.055，所以拒绝原假设H₀。解析思路：这是关于回归系数β₁的假设检验问题，检验自变量（日照时数）对因变量（气温）的影响是否显著。由于总体方差未知，使用t检验。原假设是回归系数等于0（无影响），备择假设是回归系数不等于0（有影响）。计算检验统计量t的值，该值衡量估计的回归系数与0之间的差距（以标准误为单位）。然后将t统计量与对应自由度和显著性水平（α/2）下的t临界值进行比较，根据比较结果做出拒绝或不拒绝原假设的判断。七、可以尝试使用以下方法：1.多项式回归：假设两者存在非线性关系，可以尝试拟合一个多项式模型Y=β₀+β₁X+β₂X²+...+β<0xE2><0x82><0x99>X<0xE2><0x82><0x99>+ε。需要先确定多项式的阶数。2.变量转换：对变量进行变换，例如对Y取对数（Y'=ln(Y)），或者对X取倒数（X'=1/X），或者两者都进行变换，然后重新进行线性回归。例如拟合Y'=β₀+β₁X'+ε。3.分段线性回归：如果散点图显示关系在某个点发生明显转折，可以采用分段线性回归。4.其他非线性回归模型：根据关系的具体形态，可能适合其他非线性模型，如指数模型、对数模型、幂函数模型等。解析思路：识别非线性关系通常从散点图开始。如果散点图显示出曲线趋势，则多项式回归或变量转换是常见的尝试方法。多项式回归通过增加变量的幂次来拟合曲线。变量转换可以改变关系的形态，使其更适合线性回归模型。选择哪种方法取决于数据的具体形态和理论依据。八、设事件A为“某天降雨”，P(Aᵢ)为第i天降雨概率。需要计算P(A₁∪A₂∪A₃∪A₄∪A₅∪A₆∪A₇)≥3。使用补充事件计算：P(至少3天降雨)=1-P(最多2天降雨)=1-[P(0天降雨)+P(1天降雨)+P(2天降雨)]计算各项概率：P(0天降雨)=P(A₁'∩A₂'∩...∩A₇')=(1-0.2)⁷=0.8⁷≈0.2097P(1天降雨)=ΣP(Aᵢ∩A<0xE1><0xB5><0xA3>∩A<0xE1><0xB5><0xA4>∩...∩A<0xE1><0xB5><0xA7>')=7*(0.2*0.8⁶)≈7*0.1641≈1.1487P(2天降雨)=ΣP(Aᵢ∩A<0xE1><0xB5><0xA3>∩A<0xE1><0xB5><0xA4>'∩...∩A<0xE1><0xB5><0xA7>')=C(7,2)*(0.2²*0.8⁵)=21*(0.04*0.3277)≈21*0.0131≈0.2741P(最多2天降雨)=0.2097+1.1487+0.2741≈1.6325（注意：此值大于1，计算有误，应重新检查组合数和概率相乘）更准确的方法是使用二项分布B(n=7,p=0.2)，计算P(X≤2)：P(X=0)=(7C0)*(0.2)^0*(0.8)^7≈0.2097P(X=1)=(7C1)*(0.2)^1*(0.8)^6≈0.4704P(X=2)=(7C2)*(0.2)^2*(0.8)^5≈0.2097P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)≈0.2097+0.4704+0.2097=0.8898P(至少3天降雨)=1-P(X≤2)=1-0.8898=0.1102解析思路：问题涉及多个独立事件的概率计算，且事件发生的概率相同。可以使用二项分布来解决。定义事件A为某天降雨，概率为p=0.2。计算7天内至少有3天降雨的概率，可以转化为计算最多有2天不降雨（即0,1,2天降雨）的概率，再用1减去这个概率。利用二项分布公式计算P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中n=7,p=0.2。分别计算k=0,1,2时的概率，然后求和得到P(X≤2)，最终求出P(X≥3)。九、原假设H₀:Y是平稳序列备择假设H₁:Y是非平稳序列ADF检验统计量t=-2.5，自由度df=2。查ADF临界值表（显著性水平α=0.05），对于df=2：临界值t_(0.05,2)≈-3.438因为计算得到的ADF统计量-2.5>临界值-3.438，所以不能拒绝原假设H₀。解析思路：时间序列的平稳性检验，常用ADF（AugmentedDickey-Fuller）检验。检验