2025年大学《数理基础科学》专业题库-大学数理基础科学的基变换理论

2025年大学《数理基础科学》专业题库——大学数理基础科学的基变换理论考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.设V是数域F上的n维向量空间，α₁,α₂,...,αₙ是V的一组基。若β₁,β₂,...,βₙ是V中的n个向量，且存在唯一的坐标表示式：βᵢ=Σᵢ<0xE2><0x82><0x99>=₁c<0xE2><0x82><0x99>ᵢα<0xE2><0x82><0x99>(i=1,2,...,n)则向量组β₁,β₂,...,βₙ线性（）。A.必定无关B.必定相关C.可能无关，可能相关D.依赖于c<0xE2><0x82><0x99>ᵢ的取值2.设A=[a<0xE1><0xB5><0xA3>ᵢⱼ]是数域F上的m×n矩阵，B=[b<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼₖ]是数域F上的n×k矩阵。定义从Fⁿ到F^k的线性变换T：x→Ax，则T在基β₁,β₂,...,βₙ下对应的矩阵P与矩阵B的关系为（）。A.P=BB<0xE1><0xB5><0xA3>⁻¹BB<0xE1><0xB5><0xA3>⁻¹BB<0xE1><0xB5><0xA3>⁻¹B.P=BB<0xE1><0xB5><0xA3>C.P=BB<0xE1><0xB5><0xA3>⁻¹D.P=B<0xE1><0xB5><0xA3>⁻¹B3.设V是数域F上的向量空间，β={β₁,β₂,...,βₙ}和γ={γ₁,γ₂,...,γₙ}是V的两组基。从基β到基γ的过渡矩阵为P。若向量x在基β下的坐标为x<0xE2><0x82><0x99>，则x在基γ下的坐标x<0xE1><0xB5><0xA3>满足（）。A.x<0xE1><0xB5><0xA3>=Px<0xE2><0x82><0x99>B.x<0xE1><0xB5><0xA3>=P<0xE1><0xB5><0xA3>⁻¹x<0xE2><0x82><0x99>C.x<0xE1><0xB5><0xA3>=x<0xE2><0x82><0x99>P<0xE1><0xB5><0xA3>D.x<0xE1><0xB5><0xA3>=P<0xE1><0xB5><0xA3>Px<0xE2><0x82><0x99>4.设A是数域F上的n阶矩阵，B是与A相似的n阶矩阵。若A可逆，则B（）。A.必定可逆B.必定不可逆C.可能可逆，可能不可逆D.不可逆的秩一定小于A的秩5.设A是数域F上的n阶矩阵，B是与A相似的n阶矩阵。则A和B的秩（）。A.必定相等B.必定不相等C.可能相等，可能不相等D.相等与否取决于相似变换矩阵二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在题后的横线上）1.设n维向量空间V中的两个基为β={β₁,β₂,...,βₙ}和γ={γ₁,γ₂,...,γₙ}，从基β到基γ的过渡矩阵为P。向量β<0xE1><0xB5><0xA3>在基β下的坐标为(1,2,...,n)ᵀ，则β<0xE1><0xB5><0xA3>在基γ下的坐标为_______。2.设A是从R²到R²的线性变换，A在标准基e₁=(1,0)ᵀ,e₂=(0,1)ᵀ下的矩阵为[12;34]。若另一组基为γ₁=(1,1)ᵀ,γ₂=(1,-1)ᵀ，则线性变换A在基γ₁,γ₂下对应的矩阵为_______。3.设A=[12;34]和B=[01;-10]是R²上的两个线性变换对应的矩阵。若线性变换T₁对应矩阵A，线性变换T₂对应矩阵B，则线性变换T₁+T₂在标准基下的矩阵为_______。4.设A是数域F上的n阶可逆矩阵，B是数域F上的n阶矩阵。若矩阵C=A⁻¹BA，则从基β={e₁,e₂,...,eₙ}到基γ={Ae₁,Ae₂,...,Aeₙ}的过渡矩阵为_______。5.设V是二维向量空间，β={β₁,β₂}和γ={γ₁,γ₂}是V的两组基，从基β到基γ的过渡矩阵P=[12;01]。若向量α在基γ下的坐标为(3,-1)ᵀ，则α在基β下的坐标为_______。三、计算题（共35分）1.（10分）在R³中，给定两组基：β={e₁=(1,0,0)ᵀ,e₂=(1,1,0)ᵀ,e₃=(1,1,1)ᵀ}和γ={γ₁=(1,0,0)ᵀ,γ₂=(0,1,0)ᵀ,γ₃=(0,0,1)ᵀ}。求从基β到基γ的过渡矩阵P。2.（10分）设R³中的向量α=(1,2,3)ᵀ。已知从标准基β={e₁,e₂,e₃}到基γ={γ₁,γ₂,γ₃}的过渡矩阵P=[101;110;011]。求向量α在基γ下的坐标。3.（15分）设A=[12;21]是R²上的线性变换T在标准基下的矩阵。求线性变换T在基γ₁=(1,0)ᵀ,γ₂=(1,1)ᵀ下的矩阵B=[b<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼₖ]。四、证明题（共30分）1.（15分）设V是数域F上的n维向量空间，β={β₁,β₂,...,βₙ}和γ={γ₁,γ₂,...,γₙ}是V的两组基，从基β到基γ的过渡矩阵为P=[p<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼ]。证明：过渡矩阵P是可逆矩阵。2.（15分）设A和B是数域F上的n阶矩阵，且A与B相似，即存在可逆矩阵P使得B=P⁻¹AP。证明：若A可逆，则B也可逆，且B⁻¹=P⁻¹A⁻¹P。---试卷答案一、选择题1.A2.C3.A4.A5.A二、填空题1.P(1,2,...,n)ᵀ2.[23;1-2]3.[13;13]4.A⁻¹B5.(-7,5)ᵀ三、计算题1.解：设从基β到基γ的过渡矩阵为P=[p<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼ]。则γᵢ=Σⱼ<0xE2><0x82><0x99>=₁p<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼβⱼ。由γ₁=(1,0,0)ᵀ,γ₂=(0,1,0)ᵀ,γ₃=(0,0,1)ᵀ，得：γ₁=p<0xE1><0xB5><0xA3>₁₁β₁+p<0xE1><0xB5><0xA3>₁₂β₂+p<0xE1><0xB5><0xA3>₁₃β₃=(1,0,0)ᵀγ₂=p<0xE1><0xB5><0xA3>₂₁β₁+p<0xE1><0xB5><0xA3>₂₂β₂+p<0xE1><0xB5><0xA3>₂₃β₃=(0,1,0)ᵀγ₃=p<0xE1><0xB5><0xA3>₃₁β₁+p<0xE1><0xB5><0xA3>₃₂β₂+p<0xE1><0xB5><0xA3>₃₃β₃=(0,0,1)ᵀ即：[γ₁;γ₂;γ₃]=[β₁β₂β₃]P[100;010;001]=[111;011;001]P解此矩阵方程，得P=([111;011;001])⁻¹[100;010;001]=[10-1;01-1;001][100;010;001]=[10-1;01-1;001]。所以从基β到基γ的过渡矩阵P=[10-1;01-1;001]。2.解：设向量α在基γ下的坐标为x<0xE1><0xB5><0xA3>=(x₁,x₂,x₃)ᵀ。则α=γx<0xE1><0xB5><0xA3>=Σⱼ<0xE2><0x82><0x99>=₁x<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼγⱼ。由α=(1,2,3)ᵀ，P=[10-1;01-1;001]，得：(1,2,3)ᵀ=(x₁,x₂,x₃)ᵀ[10-1;01-1;001]=(x₁,x₂,-x₁-x₂)ᵀ。解得x₁=1,x₂=2,-x₁-x₂=3=>-1-2=3，矛盾。应改为(1,2,3)ᵀ=(x₁,x₂,x₃)ᵀP=(x₁,x₂,x₁+x₂)ᵀ。解得x₁=1,x₂=2,x₁+x₂=3=>1+2=3。所以α在基γ下的坐标为(1,2,3)ᵀ。3.解：设线性变换T在基γ₁,γ₂下的矩阵为B=[b<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼₖ]。则T(γ₁)=b<0xE1><0xB5><0xA3>₁₁γ₁+b<0xE1><0xB5><0xA3>₁₂γ₂，T(γ₂)=b<0xE1><0xB5><0xA3>₂₁γ₁+b<0xE1><0xB5><0xA3>₂₂γ₂。由T(γ₁)=T((1,0)ᵀ)=(1,0)ᵀA=(1,0)ᵀ[12;21]=(1,2)ᵀ，T(γ₂)=T((1,1)ᵀ)=(1,1)ᵀA=(1,1)ᵀ[12;21]=(3,3)ᵀ。又γ₁=(1,0)ᵀ,γ₂=(1,1)ᵀ，得：(1,2)ᵀ=b<0xE1><0xB5><0xA3>₁₁(1,0)ᵀ+b<0xE1><0xB5><0xA3>₁₂(1,1)ᵀ=(b<0xE1><0xB5><0xA3>₁₁+b<0xE1><0xB5><0xA3>₁₂,b<0xE1><0xB5><0xA3>₁₂)ᵀ。(3,3)ᵀ=b<0xE1><0xB5><0xA3>₂₁(1,0)ᵀ+b<0xE1><0xB5><0xA3>₂₂(1,1)ᵀ=(b<0xE1><0xB5><0xA3>₂₁+b<0xE1><0xB5><0xA3>₂₂,b<0xE1><0xB5><0xA3>₂₂)ᵀ。解得b<0xE1><0xB5><0xA3>₁₁=1,b<0xE1><0xB5><0xA3>₁₂=1，b<0xE1><0xB5><0xA3>₂₁=2,b<0xE1><0xB5><0xA3>₂₂=-1。所以B=[b<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼₖ]=[12;1-1]。四、证明题1.证明：设V是数域F上的n维向量空间，β={β₁,β₂,...,βₙ}和γ={γ₁,γ₂,...,γₙ}是V的两组基，从基β到基γ的过渡矩阵为P=[p<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼ]。任取α∈V，设α在基β下的坐标为x=(x₁,x₂,...,xₙ)ᵀ，α在基γ下的坐标为y=(y₁,y₂,...,yₙ)ᵀ。则α=Σⱼ<0xE2><0x82><0x99>=₁x<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼβⱼ=Σⱼ<0xE2><0x82><0x99>=₁y<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼγⱼ。由γⱼ=Σᵢ<0xE2><0x82><0x99>=₁p<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼβⱼ，代入上式得：Σⱼ<0xE2><0x82><0x99>=₁x<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼ(Σᵢ<0xE2><0x82><0x99>=₁p<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼβⱼ)=Σⱼ<0xE2><0x82><0x99>=₁y<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼγⱼ。Σᵢ<0xE2><0x82><0x99>=₁(Σⱼ<0xE2><0x82><0x99>=₁x<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼp<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼ)βⱼ=Σⱼ<0xE2><0x82><0x99>=₁y<0xE1><0xB5><0xA3>ⱼγⱼ。因为