江苏省田家炳中学2026届数学高二上期末调研试题含解析

江苏省田家炳中学2026届数学高二上期末调研试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．展开式中第3项的二项式系数为（）A.6 B.C.24 D.2．若数列满足，，则该数列的前2021项的乘积是（）A. B.C.2 D.13．由小到大排列的一组数据：，其中每个数据都小于，另一组数据2、的中位数可以表示为（）A. B.C. D.4．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A. B.C.＋1 D.5．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高（）A.30m B.C. D.6．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（）A.14 B.16C.18 D.207．已知函数是区间上的可导函数，且导函数为，则“对任意的，”是“在上为增函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级（选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级）的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是（）A.3，5 B.3，3C.3.5，5 D.3.5，49．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，、分别是的两个焦点，过的直线交于、两点，若的周长为，则的离心率为（）A. B.C. D.10．设集合或，，则（）A. B.C. D.11．是双曲线：上一点，已知，则的值（）A. B.C.或 D.12．命题“∃x0∈（0，+∞），”的否定是（）A.∀x∈（﹣∞，0），2x+sinx≥0B.∀x∈（0，+∞），2x+sinx≥0C.∃x0∈（0，+∞），D.∃x0∈（﹣∞，0），二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若实数x，y满足约束条件，则的最大值是_________.14．如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______15．在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为___________.16．设等差数列，前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点到上顶点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）斜率为2的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于两点，求的面积.18．（12分）已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.19．（12分）如图，四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面为菱形，且平面平面，，为上一点，满足.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知两动圆：和：，把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，取曲线上的相异两点、满足：且点与点均不重合.（1）求曲线的方程；（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；21．（12分）已知抛物线C：经过点.（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）经过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于两点M，N，且与抛物线的准线交于点Q.若，求直线l的方程.22．（10分）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且.（1）求抛物线的方程；（2）过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于、和、四点，求四边形面积的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据二项展开式的通项公式，即可求解.【详解】由题意，二项式展开式中第3项，所以展开式中第3项的二项式系数为.故选：A.2、C【解析】先由数列满足，，计算出前5项，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【详解】因为数列满足，，所以，同理可得，…所以数列每四项重复出现，即，且，而，所以该数列的前2021项的乘积是.故选：C.3、C【解析】先根据题意对数据进行排列，然后由中位数的定义求解即可【详解】因为由小到大排列的一组数据：，其中每个数据都小于，所以另一组数据2、从小到大的排列为，所以这一组数的中位数为，故选：C4、A【解析】设F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，根据圆的切线性质和三角形中位线得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用双曲线的定义求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立关系即可求得离心率的值.【详解】不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，如图所示:因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故选A.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，联想到双曲线的另一个焦点，作辅助线，利用双曲线的定义是求解离心率问题的有效方法.5、D【解析】在△中有，再应用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【详解】由题设知：，又，△中，可得，在△中，，则.故选：D6、B【解析】由题可知这是一个等差数列，前项和，，列式求基本量即可.【详解】设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，则由题可得，解得，所以不更出的钱数为.故选：B7、A【解析】根据充分条件与必要条件的概念，由导函数的正负与函数单调性之间关系，即可得出结果.【详解】因为函数是区间上的可导函数，且导函数为，若“对任意的，”，则在上为增函数；若在上为增函数，则对任意的恒成立，即由“对任意的，”能推出“在上为增函数”；由“在上为增函数”不能推出“对任意的，”，因此“对任意的，”是“在上为增函数”的充分不必要条件.故选：A8、C【解析】将甲的所有选修课等级从低到高排列可得甲的中位数，由图可知乙的选修课等级的众数.【详解】由条形图可得，甲同学共有10门选修课，将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后，第5，6门的成绩等级分别为3，4，故中位数为，乙成绩等级的众数为5.故选：C.9、A【解析】本题首先可根据题意得出，然后根据的周长为得出，最后根据求出的值，即可求出的离心率.【详解】因为椭圆的面积为，所以长半轴长与短半轴长的乘积，因为的周长为，所以根据椭圆的定义易知，，，，则的离心率，故选：A.10、B【解析】根据交集的概念和运算直接得出结果.【详解】由题意知，.故选：B.11、B【解析】根据双曲线定义，结合双曲线上的点到焦点的距离的取值范围，即可求解.【详解】双曲线方程为：，是双曲线：上一点，，，或，又，.故选：B12、B【解析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【详解】命题“∃x0∈（0，+∞），”的否定是“∀x∈（0，+∞），2x+sinx≥0”故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.【详解】，画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线到点时，取得最大值为.故答案为：14、【解析】取的中点，连接，，过点A作，垂足为，设，利用三角形的边角关系求出，利用锥体的体积公式求出的值，确定三棱锥外接球的球心，求解外接球的半径，由表面积公式求解即可【详解】取的中点，连接，，过点A作，交DE的延长线于点，所以为二面角的平面角，设，则，，所以，所以，EH=，因为三棱锥的体积为，所以，解得：，，设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接，，，过点O作OF⊥AH于点F，则，，，，设，则，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱锥外接球的半径满足，则三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，棱锥的体积公式的理解与应用，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心，15、【解析】由空间直角坐标系中点到轴的距离为计算可得【详解】解：空间直角坐标系中，点到轴的距离为故答案为：16、【解析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出【详解】由等差数列的性质可得：对于任意的都有，则故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由题可得，即求；（2）由题可设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理法结合三角形面积公式即求.【小问1详解】由题意可得，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】解法一：由（1）得，则由题意可设直线，代入椭圆方程整理可得，设，则，则由弦长公式知，又设到的距离为，则由点到直线距离公式可得，的面积，即所求面积为.解法二：由（1）得，则由题意可设直线，即代入椭圆方程整理可得，设，则，，则的面积，即所求面积为.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用，结合已知条件，即可容易求得通项公式；（2）根据（1）中所求，对数列进行裂项求和，即可求得.【小问1详解】当时，.当时，，因为当时，，所以.【小问2详解】因为，所以，故数列的前项和.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设为中点，连接，根据，证明平面得到答案.（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，计算各点坐标，计算平面和平面的法向量，根据向量夹角公式计算得到答案.【详解】（1）设为中点，连接，，∵，∴，又∵底面四边形为菱形，，∴为等边三角形，∴，又∴，，平面，∴平面，而平面，∴.（2）∵平面平面，平面平面，，∴平面以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，由，，，即，∴，，，设为平面的法向量，则由，令，得，，∴，设为平面的法向量，则由，令，得，，∴，设二面角的平面角为，则，∴二面角的的余弦值为.【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，建立空间直角坐标系是解题的关键.20、（1）；（2）证明见解析，.【解析】（1）设两动圆的公共点为，则有，运用椭圆的定义，即可得到，，，进而得到的轨迹方程；（2），设，，，，设出直线方程，联立方程组，利用韦达定理法及向量的数量积的坐标表示，即可得到定点.【小问1详解】设两动圆的公共点为，则有由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，设方程为，则，，所以曲线的方程是：【小问2详解】由题意可知：，且直线斜率存在，设，，设直线：，联立方程组，可得，，，因为，所以有，把代入整理化简得，或舍，因为点与点均不重合，所以直线恒过定点21、（1）抛物线C的方程为，准线方程为（2）或.【解析】（1）将点代入抛物线求出即可得出抛物线方程和准线方程；（2）设出直线方程，与抛物线联立，表示出弦长和即可求出.【小问1详解】将代入可得，解得，所以抛物线C的方程为，准线方程为；【小问2详解】由题得，设直线方程为，，设，联立方程，可得，则，所以，因为直线与准线