2025-2026学年陕西省西藏民族学院附属中学高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

2025-2026学年陕西省西藏民族学院附属中学高二数学第一学期期末综合测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“”是“直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．等比数列的各项均为正数，且，则A. B.C. D.3．已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（）A.2 B.4C.6 D.84．已知是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A. B.或2C. D.或5．围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，规定甲与乙对阵，丙与丁对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，他们之间相互获胜的概率如下：甲乙丙丁甲获胜概率乙获胜概率丙获胜概率丁获胜概率则甲最终获得冠军的概率是（）A.0.165 B.0.24C.0.275 D.0.366．等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（）A. B.C. D.8．椭圆的一个焦点坐标为，则（）A.2 B.3C.4 D.89．圆与圆公切线的条数为（）A.1 B.2C.3 D.410．过椭圆右焦点作x轴的垂线，并交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以线段AB为直径的圆与有2个公共点，则C的离心率e的取值范围是（）A. B.C. D.11．“”是“直线与直线互相垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12．2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，这标志着中国空间站在轨组装建造全面展开，我国载人航天工程“三步走”战略成功迈出第三步.到今天，天和核心舱在轨已经九个多月.在这段时间里，空间站关键技术验证阶段完成了5次发射、4次航天员太空出舱、1次载人返回、1次太空授课等任务.一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约351km，远地点高度大约385km，地球半径约6400km，则该轨道的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线中心在坐标原点，左右焦点分别为，渐近线分别为，过点且与垂直的直线分别交于两点，且，则双曲线的离心率为________14．若椭圆的长轴是短轴的2倍，且经过点，则椭圆的离心率为________.15．曲线在处的切线方程为______16．已知是数列的前n项和，且，则________；数列的通项公式________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.18．（12分）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.19．（12分）已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，若，，成等比数列，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为求椭圆的标准方程；过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦与，求的取值范围20．（12分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，也侵害木棉、锦葵等植物．为了防治虫害，从根源上抑制害虫数量．现研究红铃虫的产卵数和温度的关系，收集到7组温度和产卵数的观测数据于表Ⅰ中．根据绘制的散点图决定从回归模型①与回归模型②中选择一个来进行拟合表Ⅰ温度x/℃20222527293135产卵数y/个711212465114325（1）请借助表Ⅱ中的数据，求出回归模型①的方程：表Ⅱ（注：表中）18956725.271627810611.06304041.86825.09（2）类似的，可以得到回归模型②的方程为，试求两种模型下温度为时的残差；（3）若求得回归模型①的相关指数，回归模型②的相关指数，请结合（2）说明哪个模型的拟合效果更好参考数据：.附：回归方程中，相关指数.21．（12分）设椭圆：的左顶点为，右顶点为.已知椭圆的离心率为，且以线段为直径的圆被直线所截得的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点，且点在第一象限，点关于轴对称点为点，直线与直线交于点，若直线斜率大于，求直线的斜率的取值范围.22．（10分）已知函数f（x）+alnx，实数a＞0（1）当a＝2时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）讨论函数f（x）在区间（0，10）上的单调性和极值情况；（3）若存在x∈（0，+∞），使得关于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求实数a的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据题意，结合直线与圆的位置关系求出，即可求解.【详解】根据题意，由直线与圆相切，知圆心到直线的距离，解得或，因此“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A.2、B【解析】根据等比数列的性质，结合已知条件，求得，进而求得的值.【详解】由于数列是等比数列，故，所以，故.故选B.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题.3、B【解析】根据，，三点共线，结合点到准线的距离为2，得到，再利用抛物线的定义求解.【详解】如图所示：∵，，三点共线，∴是圆的直径，∴，轴，又为的中点，且点到准线的距离为2，∴，由抛物线的定义可得，故选：B.4、B【解析】由等比中项的性质可得，分别计算曲线的离心率.【详解】由是和的等比中项，可得，当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的椭圆，离心率，当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的双曲线，离心率，故选：B.5、B【解析】先求出甲第一轮胜出的概率，再求出甲第二轮胜出的概率，即可得出结果.【详解】甲最终获得冠军的概率，故选：B.6、B【解析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件故选：B【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程7、B【解析】先求出，再利用向量的线性运算和数量积计算求解.【详解】解：由题得,,故选：B8、D【解析】由条件可得，，，，由关系可求值.【详解】∵椭圆方程为：，∴，∴，，∵椭圆的一个焦点坐标为，∴，又，∴，∴，故选：D.9、D【解析】分别求出圆和圆的圆心和半径，判断出两圆的位置关系可得到公切线的条数.【详解】根据题意，圆即，其圆心为，半径；圆即，其圆心为，半径；两圆的圆心距，所以两圆相离，其公切线条数有4条；故选：D.10、A【解析】求得以为直径的圆的圆心和半径，求得直线的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式，化简后求得椭圆离心率的取值范围.【详解】椭圆的左焦点，右焦点，上顶点，，所以为直径的圆的圆心为，半径为.直线的方程为，由于以线段为直径的圆与相交，所以，，，，，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：A11、A【解析】根据直线垂直求出的范围即可得出.【详解】由直线垂直可得，解得或1，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.12、A【解析】根据远地点和近地点，求出轨道即椭圆的半长轴和半焦距，即可求得答案.【详解】设椭圆的半长轴为a，半焦距为c.则根据题意得;解得，故该轨道即椭圆的离心率为，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】判断出三角形的形状，求得点坐标，由此列方程求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意设双曲线方程为，双曲线的渐近线方程为，右焦点，不妨设.由于，所以是线段的中点，由于，所以是线段的垂直平均分，所以三角形是等腰三角形，则.直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，由解得，则，即，化简得，所以双曲线的离心率为.故答案为：14、【解析】分类讨论焦点在轴与焦点在轴两种情况.【详解】因为椭圆经过点，当焦点在轴时，可知，，所以，所以，当焦点在轴时，同理可得.故答案为：15、【解析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程【详解】解：的导数为，可得曲线在处的切线斜率为，切点为，即有切线方程为故答案为【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题16、①.②.【解析】当时，，推导出，从而数列是从第二项起，公比为的等比数列，进而能求出数列的通项公式，即可求得答案.【详解】为数列的前项和，①时，②①②，得：，，，，数列的通项公式为.故答案为：；.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）(,).（2）【解析】（1）根据条件列关于P点坐标得方程组，解得结果，（2）先根据点到直线距离公式结合条件解得点M坐标，再建立的函数解析式，最后根据二次函数性质求最小值.【详解】解:（1）由已知可得点A(－6,0),F(4,0)设点P(,),则={+6,},={－4,},由已知可得则2+9－18=0,解得=或=－6.由于>0,只能=,于是=.∴点P的坐标是(,).（2）直线AP的方程是－+6=0.设点M(,0),则M到直线AP的距离是.于是=,又－6≤≤6,解得=2.椭圆上的点(,)到点M的距离为,则,由于－6≤≤6,∴当=时,取得最小值.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.18、（1）（2）【解析】（1）根据与的关系，分和两种情况，求出，再判断是否合并；（2）利用错位相减法求出数列的前n项和.【小问1详解】，当时，，当时，，也满足上式，数列的通项公式为：.【小问2详解】由（1）可得，①②①②得，19、（1）（2）【解析】根据，，成等比数列，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．列出关于、、的方程组，求出、的值，即可得出椭圆的方程；对直线和分两种情况讨论：一种是两条直线与坐标轴垂直，可求出两条弦长度之和；二是当两条直线斜率都存在时，设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可计算出的长度的表达式，然后利用相应的代换可求出的长度表达式，将两线段长度表达式相加，利用函数思想可求出两条弦长的取值范围最后将两种情况的取值范围进行合并即可得出答案【详解】易知，得，则，而，又，得，，因此，椭圆C的标准方程为；当两条直线中有一条斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，由题意易得；当两条直线斜率都存在且不为0时，由知，设、，直线MN的方程为，则直线PQ的方程为，将直线方程代入椭圆方程并整理得：，显然，，，，同理得，所以，，令，则，，设，，所以，，所以，，则综合可知，的取值范围是【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求范围，属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.20、（1）（或）（2）模型①：1.54；模型②：65.54（3）模型①【解析】（1）利用两边取自然对数，利用表中的数据即可求解；（2）分别计算模型①、②在时残差；（3）根据相关指数的大小判断摸型①、②的残差平方和，再得出那个模型的拟合效果更好.【小问1详解】由，得，令，得，由表Ⅱ数据可得，，，所以，所以回归方程为（或）.【小问2详解】由题意可知，模型①在时残差为，模型②在时残差为.【小问3详解】因为，即模型①的相关指数大于模型②的相关指数，由相关指数公式知，模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，因此模型①得到的数据更接近真实数据，所以模型①的拟合效果更好.21、（1）；（2）.【解析】（1）根据直线被圆截得的弦长为，由解得，再由离心率结合求解。（2）设，则，得到直线：；直线：，联立求得，再根据线斜率大于，求得，然后由求解.【详解】（1）以线段为直径的圆的圆心为：，半径，圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长为，解得：，又椭圆离心率，∴，，椭圆的标准方程为：.（2）设，其中，，则，∴，，则直线为：；直线为：，由得：，∴，∴，∴，令，，则，∴，∵∴，∴，即.【点睛】本题主要考查椭圆方程和几何性质以及直线与圆，椭圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22、（1）4x﹣y+2＝0（2）答案见解析（3）（0，2）∪（2，+∞）【解析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程；（2）求得f（x）的导数，分a、0＜a两种情况讨论求出答案即可；（3）由题意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，令，x＞0，求得其最小值，再把最小值看成