甘肃省静宁一中2025-2026学年数学高二第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

甘肃省静宁一中2025-2026学年数学高二第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线上点到点的距离为15，则点到点的距离为（）A.9 B.6C.6或36 D.9或212．若数列是等比数列，且，则（）A.1 B.2C.4 D.83．设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A. B.C. D.4．某工厂去年的电力消耗为千瓦，由于设各更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少，则从今年起，该工厂第5年消耗的电力为（）A.m千瓦 B.m千瓦C.m千瓦 D.m千瓦5．已知函数，则（）A.函数在上单调递增B.函数上有两个零点C.函数有极大值16D.函数有最小值6．命题“，”的否定形式是（）A.“，” B.“，”C.“，” D.“，”7．与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（）A. B.C. D.8．如图，执行该程序框图，则输出的的值为（）A. B.2C. D.39．已知抛物线，过抛物线的焦点作轴的垂线，与抛物线交于、两点，点的坐标为，且为直角三角形，则以直线为准线的抛物线的标准方程为（）A. B.C. D.10．试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为A. B.C. D.11．下图是一个“双曲狭缝”模型，直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝30cm，则|AD|＝（）A.10cm B.20cmC.25cm D.30cm12．已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆被直线所截得弦的最短长度为___________.14．写出一个同时满足下列条件①②的圆C的一般方程______①圆心在第一象限；②圆C与圆相交的弦的方程为15．如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,且,则异面直线与所成的角的余弦值为______,点到平面的距离等于______.16．如图，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度米，高度米（即桥拱顶到基座所在的直线的距离）．由于河流上游降雨，导致河水从桥的基座处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为______米三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）设的两个极值点分别为，证明：18．（12分）已知数列为各项均为正数的等比数列，若（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和19．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为（1）求抛物线C的标准方程；（2）若AB是过抛物线C的焦点F的弦，以弦AB为直径的圆与直线的位置关系是什么？先给出你的判断结论，再给出你的证明，并作出必要的图形20．（12分）已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点（1）求的最小值；（2）当的面积最大时，求直线l的方程21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若与相交于A、两点，设，求.22．（10分）已知的内角的对边分别为a，，若向量，且（1）求角的值；（2）已知的外接圆半径为，求周长的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用双曲线的定义可得答案.【详解】设，，，为双曲线的焦点，则由双曲线定义，知，而所以或21故选：D.2、C【解析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出，即可得出结果.【详解】因为数列是等比数列，由，得，所以，因此.故选：C.3、B【解析】根据抛物线的方程写出焦点坐标，求出直线的方程、点的坐标，最后根据三角形面积公式进行求解即可.【详解】抛物线的焦点的坐标为，所以直线的方程为：，令，解得，因此点的坐标为：，因为面积为4，所以有，即，，因此抛物线的方程为.故选：B.4、D【解析】根据等比数列的定义进行求解即可.【详解】因为去年的电力消耗为千瓦，工厂计划每年比上一年的电力消耗减少，所以今年的电力消耗为，因此从今年起，该工厂第5年消耗的电力为，故选：D5、C【解析】对求导，研究的单调性以及极值，再结合选项即可得到答案.【详解】，由，得或，由，得，所以在上递增，在上递减，在上递增，所以极大值为，极小值为，所以有3个零点，且无最小值.故选：C6、C【解析】由全称命题的否定是特称命题即得.【详解】“任意”改为“存在”，否定结论即可.命题“，”的否定形式是“，”.故选：C.7、C【解析】由直线平行及直线所过的点，应用点斜式写出直线方程即可.【详解】与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为，整理得故选：C8、B【解析】根据程序流程图依次算出的值即可.【详解】，第一次执行，，第二次执行，，第三次执行，，所以输出.故选：B9、B【解析】设点位于第一象限，求得直线的方程，可得出点的坐标，由抛物线的对称性可得出，进而可得出直线的斜率为，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直线为准线的抛物线的标准方程.【详解】设点位于第一象限，直线的方程为，联立，可得，所以，点.为等腰直角三角形，由抛物线的对称性可得出，则直线的斜率为，即，解得.因此，以直线为准线的抛物线的标准方程为.故选：B.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，考查计算能力，属于中等题.10、A【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为过点P作于点，由定义可得,所以，由图形可得，当三点共线时，最小，此时故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决11、B【解析】由离心率求出双曲线方程，由对称性设出点A，B，D坐标，求出坐标，求出答案.【详解】由题意得：，解得：，因为离心率，所以，，故双曲线方程为，设，则，，则，所以，则，解得：，故.故选：B12、B【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系分析选项A,C,D，由平面与平面垂直的判定定理判定选项D.【详解】选项A.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.选项B.由，，则，故正确.选项C.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.选项D.由,,则可能相交，可能平行，故不正确.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】首先确定直线所过定点；由圆的方程可确定圆心和半径，进而求得圆心到的距离，由此可知所求最短长度为.【详解】由得：，直线恒过点；，在圆内；又圆的圆心为，半径，圆心到点的距离，所截得弦的最短长度为.故答案为：.14、（答案不唯一）【解析】设所求圆为，由圆心在第一象限可判断出，只需取特殊值，即可得到答案.【详解】可设所求圆为，即只需，解得：，不妨取，则圆的方程为：.故答案为：（答案不唯一）15、①.②.【解析】因为底面是菱形,可得,则异面直线与所成的角和与所成的角相等,即可求得异面直线与所成的角的余弦值.在底面从点向作垂线,求证垂直平面,即可求得答案.【详解】根据题意画出其立体图形:如图底面是菱形,则异面直线与所成的角和直线与所成的角相等平面,平面又,底面是菱形即故:异面直线与所成的角的余弦值为:在底面从点向作垂线平面,平面,平面故是到平面的距离故答案为:,.【点睛】本题考查了求异面直线的夹角和点到面距离,解题关键是掌握将求异面直线夹角转化为共面直线夹角的解法,考查了分析能力和推理能力,属于基础题.16、【解析】以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立直角坐标系，则根据点在抛物线上，可得抛物线的方程，设水面与桥的交点坐标为，求出，进而可得水面的宽度.【详解】以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立直角坐标系，则抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，即故抛物线的方程为，设河水上涨1米后，水面与桥的交点坐标为，则，得，所以此时桥洞中水面的宽度为米故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)对函数求导，把问题转化为导函数值为0的方程有两个正根，再构造函数求解作答.(2)将所证不等式等价转化，构造函数，利用导数探讨其单调性作答.【小问1详解】函数的定义域为，求导得：，依题意，函数在上有两个不同极值点，于是得有两个不等的正根，令，，则，当时，，当时，，于是得在上单调递增，在上单调递减，，因，恒成立，即当时，的值从递减到0(不能取0)，又，有两个不等的正根等价于直线与函数的图象有两个不同的公共点，如图，因此有，所以a取值范围是.【小问2详解】由(1)知分别是方程的两个不等的正根，，即，作差得，则有，原不等式，令，则，于是得，设，则，因此，在单调递增，则有，即成立，所以.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.18、（1）（2）【解析】（1）利用等比数列通项公式列出方程组，可求解，，从而写出；（2）化简数列，裂项相消法求和即可.【小问1详解】设数列的公比为，∵，∴，即①∵，∴②②÷①，解得∴∴【小问2详解】∵，∴∴∴19、（1）；（2）相切，证明过程、图形见解析.【解析】（1）根据抛物线的准线方程，结合抛物线标准方程进行求解即可；（2）设出直线AB的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合圆的性质进行求解即可.【小问1详解】因为抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为，所以设抛物线C的标准方程为：，因为该抛物线的准线方程为，所以有，所以抛物线C的标准方程；小问2详解】以弦AB为直径的圆与直线相切，理由如下：因为AB是过抛物线C的焦点F的弦，所以直线AB的斜率不为零，设椭圆的焦点坐标为，设直线AB的方程为：，则有，设，则有，因此，所以弦AB为直径的圆的圆心的横坐标为：，以弦AB为直径的圆的直径为：所以弦AB为直径的圆的半径，以弦AB为直径的圆的圆心到准线的距离为：，所以以弦AB为直径的圆与直线相切.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程的根与系数关系是解题的关键.20、（1）4；（2）或.【解析】(1)过定点D(4，2)，当CD⊥l时，|PQ|最小；(2)，当时，△CPQ面积最大，此时△CPQ为等腰直角三角形，圆心到直线l的距离，据此即可求出m.【小问1详解】由，得，由，∴直线l过定点D(4，2)，∵，∴在圆C内部，∴直线和l与圆C相交，当CD⊥l时，|PQ|最小，；【小问2详解】∵，∴当时，△CPQ面积最大，此时△CPQ为等腰直角三角形，故圆心到直线l的距离，∴，解得，∴此时l的方程为：或.21、（1）曲线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为（2）【解析】（1）直接利用转换关系式把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）易得满足直线的方程，转化为参数方程，代入曲线的普通方程，再利用韦达定理结合弦长公式即可得出答案.【小问1详解】解：曲线的参数方程为（为参数），转化为普通方程为，曲线的极坐标方程为，