2025年国家开放大学（电大）《线性代数》期末考试复习题库及答案解析

2025年国家开放大学（电大）《线性代数》期末考试复习题库及答案解析所属院校：________姓名：________考场号：________考生号：________一、选择题1.行列式等于其任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和（）A.仅对第一行（列）成立B.仅对最后一行（列）成立C.对所有行（列）都成立D.仅当该行列式为方阵时成立答案：C解析：行列式的性质决定了其值等于任意一行（列）的元素与其对应代数余子式乘积之和，这一性质适用于该行列式的所有行和列，而不仅限于特定的行或列。2.阶数为n的非零矩阵，其秩一定小于n（）A.正确B.错误C.有时正确有时错误D.无法判断答案：B解析：矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数。一个n阶矩阵如果非零，其秩至少为1，因此其秩不可能小于n。3.向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任意一个向量都不能由其余向量线性表示（）A.正确B.错误C.仅是充分条件D.仅是必要条件答案：A解析：向量组线性无关的定义即为向量组中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。这是向量组线性无关的充分必要条件。4.矩阵的秩不变经过初等行变换（）A.正确B.错误C.有时正确有时错误D.无法判断答案：A解析：初等行变换包括交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的若干倍。这些变换不会改变矩阵的秩，因为它们不改变矩阵列向量的线性关系。5.方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0（）A.正确B.错误C.仅是充分条件D.仅是必要条件答案：A解析：方阵可逆的定义是其存在逆矩阵。方阵存在逆矩阵的充分必要条件是其行列式不为零。6.齐次线性方程组Ax=0一定有非零解（）A.正确B.错误C.仅当A为方阵时成立D.仅当A的秩小于未知数个数时成立答案：B解析：齐次线性方程组Ax=0的解包括零解和非零解。只有当A的秩小于未知数个数时，方程组才有非零解。7.实对称矩阵的特征值一定是实数（）A.正确B.错误C.仅当矩阵可逆时成立D.仅当矩阵为正定矩阵时成立答案：A解析：实对称矩阵的特征值一定是实数，这是线性代数中的一个重要性质。8.若A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则矩阵乘积AB的秩不超过矩阵A和B的秩（）A.正确B.错误C.仅当m=n时成立D.仅当A和B都为满秩矩阵时成立答案：A解析：矩阵乘积AB的秩不超过矩阵A和B的秩，这是矩阵秩的一个重要不等式。9.设A为n阶方阵，若存在非零向量x使得Ax=0，则矩阵A一定不可逆（）A.正确B.错误C.仅当x为特征向量时成立D.仅当0是A的特征值时成立答案：A解析：根据矩阵可逆的定义，如果存在非零向量x使得Ax=0，则矩阵A的行列式为零，因此A不可逆。10.向量空间V中的零向量是唯一的（）A.正确B.错误C.仅当V中只有一个向量时成立D.仅当V是有限维向量空间时成立答案：A解析：向量空间中的零向量是唯一的，这是向量空间定义的一个基本要求。11.由非零向量组成的向量组一定线性无关（）A.正确B.错误C.仅当向量组中向量的个数等于向量的维数时成立D.仅当向量组中向量个数小于向量的维数时成立答案：B解析：由非零向量组成的向量组不一定线性无关。例如，二维空间中的两个向量如果共线，则它们线性相关，尽管它们都不是零向量。12.两个同阶可逆矩阵相乘，其乘积矩阵一定可逆（）A.正确B.错误C.仅当两个矩阵中至少有一个是单位矩阵时成立D.仅当两个矩阵是对角矩阵时成立答案：A解析：可逆矩阵具有性质：如果矩阵A和B都是可逆的，则它们的乘积AB也是可逆的，且（AB）⁻¹=B⁻¹A⁻¹。13.矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩（）A.正确B.错误C.仅当初等列变换不涉及列的互换时成立D.仅当初等列变换不涉及列的倍乘时成立答案：B解析：矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩，但初等列变换会改变矩阵的秩。例如，将矩阵的一列乘以非零常数并加到另一列上，会改变矩阵的秩。14.若向量组A可以由向量组B线性表示，且向量组B可以由向量组C线性表示，则向量组A可以由向量组C线性表示（）A.正确B.错误C.仅当向量组A、B、C都线性无关时成立D.仅当向量组A、B、C的维度相同时成立答案：A解析：这是线性代数中的传递性。如果向量组A可以由向量组B线性表示，向量组B可以由向量组C线性表示，那么向量组A中的任何一个向量都可以先由向量组B线性表示，再由向量组C线性表示，从而可以由向量组C线性表示。15.线性方程组Ax=b的增广矩阵为[A|b]，若增广矩阵的秩大于系数矩阵A的秩，则该线性方程组无解（）A.正确B.错误C.仅当b不为零向量时成立D.仅当A为满秩矩阵时成立答案：A解析：这是线性方程组解的判定定理。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，说明方程组中存在矛盾方程，因此方程组无解。16.实对称矩阵一定可以对角化（）A.正确B.错误C.仅当矩阵为正定矩阵时成立D.仅当矩阵为负定矩阵时成立答案：A解析：实对称矩阵一定可以正交对角化，即存在正交矩阵P和diagonal矩阵D，使得A=PDP⁻¹。这是线性代数中的一个重要定理。17.非零向量v是矩阵A的特征向量，则对应的特征值λ一定不为零（）A.正确B.错误C.仅当A为可逆矩阵时成立D.仅当A为正定矩阵时成立答案：A解析：特征向量的定义是Av=λv，其中v是非零向量，λ是标量。如果λ为零，则Av=0v=0，这与v是非零向量矛盾。因此，特征值λ一定不为零。18.行列式等于其转置行列式（）A.正确B.错误C.仅当行列式为方阵时成立D.仅当行列式为奇数阶方阵时成立答案：A解析：行列式的性质之一是其值等于其转置行列式的值。这一性质适用于所有行列式，而不仅限于特定的行数或列数。19.若n阶方阵A满足A²=I，则A的特征值只能是1或-1（）A.正确B.错误C.仅当A为正定矩阵时成立D.仅当A为反对称矩阵时成立答案：A解析：设λ是矩阵A的特征值，v是对应的特征向量，则有Av=λv。对两边同时作用A，得到A²v=A(λv)=λ(Av)=λ²v。由于A²=I，所以A²v=Iv=v。因此，λ²v=v，即λ²=1。所以λ只能是1或-1。20.齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是矩阵A的行向量组线性相关（）A.正确B.错误C.仅当A为方阵时成立D.仅当A的列向量组线性相关时成立答案：A解析：齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是矩阵A的行向量组线性相关。这是因为齐次线性方程组有非零解意味着存在非零解向量，而存在非零解向量当且仅当系数矩阵的行向量组线性相关。二、多选题1.下列关于矩阵秩的描述中，正确的有（）A.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数B.矩阵的秩等于其行向量组的极大线性无关组所含向量的个数C.矩阵的秩等于其列向量组的极大线性无关组所含向量的个数D.矩阵的秩等于其行向量组的秩与列向量组的秩之和E.零矩阵的秩为0答案：ABCE解析：矩阵的秩是矩阵行向量组或列向量组的极大线性无关组所含向量的个数，也等于其非零子式的最高阶数。零矩阵的所有子式都为零，因此其最高阶非零子式不存在，其秩定义为0。矩阵的行秩与列秩相等，这是线性代数中的重要定理。选项D错误，矩阵的秩等于其行向量组的秩或列向量组的秩，而不是两者之和。2.下列关于向量组线性关系的描述中，正确的有（）A.若向量组中存在零向量，则该向量组线性相关B.若向量组中有一个向量是其余向量的线性组合，则该向量组线性相关C.若向量组线性无关，则其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示D.若向量组线性相关，则其中存在一个向量是其余向量的线性组合E.两个非零向量线性无关的充分必要条件是它们不成比例答案：ABCDE解析：向量组线性相关的定义是其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。因此，选项B和D正确。向量组线性无关的定义是其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示，因此选项C正确。选项A正确，因为包含零向量的向量组一定线性相关，因为零向量可以由任意其他向量乘以0得到。选项E正确，两个非零向量如果成比例，则其中一个向量可以由另一个向量乘以常数得到，即它们线性相关；反之，如果不成比例，则它们线性无关。3.下列关于线性方程组的描述中，正确的有（）A.非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩B.非齐次线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩C.齐次线性方程组Ax=0一定有解，解包括零解和可能的非零解D.齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于未知数的个数E.齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数答案：ABCE解析：非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩（A正确），无解的充分必要条件是增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩（B正确）。齐次线性方程组Ax=0一定有零解。它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数（E正确），或者等价地，系数矩阵的行秩小于未知数的个数（D错误，应为行秩小于未知数个数）。选项C正确，因为齐次线性方程组总是有零解，并且当系数矩阵的秩小于未知数的个数时，还有非零解。4.下列关于特征值与特征向量的描述中，正确的有（）A.特征向量是非零向量B.特征值可以是零C.若v是矩阵A的特征向量，则对于任意非零常数c，cv也是A的特征向量D.若λ是矩阵A的特征值，则方程(A-λI)x=0有非零解E.矩阵A的特征值个数等于其阶数答案：ACD解析：特征向量的定义要求它是非零向量（A正确）。特征值可以是零，此时对应的特征向量是零向量，但零向量不是特征向量的定义，所以特征值通常指非零特征值（B错误）。若v是矩阵A的特征向量，则Av=λv。对于任意非零常数c，A(cv)=c(Av)=c(λv)=λ(cv)，因此cv也是A的特征向量（C正确）。若λ是矩阵A的特征值，则方程(A-λI)x=0有非零解，这个非零解就是对应的特征向量（D正确）。矩阵A的特征值个数等于其阶数，指的是特征值的几何重数之和等于阶数，而不是特征值的个数等于阶数。一个n阶矩阵可能有重根，特征值的个数可以小于n（E错误）。5.下列关于矩阵可逆性的描述中，正确的有（）A.可逆矩阵一定是方阵B.可逆矩阵的行列式不为零C.可逆矩阵一定是对角矩阵D.若矩阵A可逆，则其转置矩阵Aᵀ也可逆E.若矩阵A可逆，则其逆矩阵A⁻¹也可逆答案：ABDE解析：可逆矩阵的定义是存在逆矩阵，而逆矩阵只对方阵定义，因此可逆矩阵一定是方阵（A正确）。方阵可逆的充分必要条件是其行列式不为零（B正确）。可逆矩阵可以是多种类型的矩阵，例如对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等，不一定是对角矩阵（C错误）。矩阵的转置运算不改变其可逆性，若矩阵A可逆，则其转置矩阵Aᵀ也可逆，且(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ（D正确）。逆矩阵的定义是满足AA⁻¹=I的矩阵，因此逆矩阵也是可逆的，且(A⁻¹)⁻¹=A（E正确）。6.下列关于向量空间基和维度的描述中，正确的有（）A.向量空间中任意一个极大线性无关组都可以作为该向量空间的基B.向量空间的基是线性无关的C.向量空间的基是能够生成该向量空间的D.向量空间的维数是其基中所含向量的个数E.有限维向量空间的任何线性无关组都可以扩展为该向量空间的一个基答案：ABCD解析：向量空间的基是定义该向量空间的一组线性无关的生成元。因此，基一定是线性无关的（B正确），也一定是能够生成该向量空间的（C正确）。向量空间的维数是基中所含向量的个数（D正确）。向量空间中任意一个极大线性无关组都可以作为该向量空间的基（A正确），因为极大线性无关组既是线性无关的，又能生成整个空间。对于有限维向量空间，任何线性无关组都可以通过添加向量扩展到整个空间的一个基（E正确）。7.下列关于线性变换的描述中，正确的有（）A.线性变换是保持向量加法和标量乘法的映射B.线性变换的像空间是其定义域的一个子空间C.线性变换的核是其定义域的一个子空间D.线性变换可以表示为矩阵乘法E.线性变换将线性无关的向量组映射为线性无关的向量组答案：ABCD解析：线性变换的定义是保持向量加法和标量乘法的映射，即对于任意向量u,v和标量c，有T(u+v)=T(u)+T(v)和T(cu)=cT(u)（A正确）。线性变换的像空间是由变换T定义的所有像向量T(v)组成的集合，这个集合一定是定义域向量空间的一个子空间（B正确）。线性变换的核是由所有被变换为零向量的向量组成的集合，这个集合也一定是定义域向量空间的一个子空间（C正确）。在有限维向量空间中，任何线性变换都可以由一个矩阵表示，即存在一个矩阵A，使得对于任意向量v，T(v)等于Av（D正确）。线性变换不一定保持向量组的线性无关性。例如，零变换将所有向量都映射为零向量，因此任何线性无关的向量组都会被映射为线性相关的向量组（E错误）。8.下列关于二次型的描述中，正确的有（）A.二次型可以通过正交变换化为标准形B.实二次型的标准形中，系数都是1或-1C.实二次型的正负惯性指数是由其特征值决定的D.正定二次型对应的矩阵一定是可逆的E.负定二次型对应的矩阵一定是可逆的答案：ADE解析：任何实二次型都可以通过正交变换（即使用正交矩阵P）化为标准形，即对角形（A正确）。实二次型的标准形中，系数可以是正负1或0，正负惯性指数是指标准形中1和-1的个数（B错误）。实二次型的正负惯性指数等于其特征值的正负个数（C错误，应为特征值的正负个数）。正定二次型的定义是对于任意非零向量x，xᵀAx>0，这意味着矩阵xᵀAx是正定矩阵，而正定矩阵一定是可逆的（D正确）。负定二次型的定义是对于任意非零向量x，xᵀAx<0，这意味着矩阵xᵀAx是负定矩阵，而负定矩阵也一定是可逆的（E正确）。9.下列关于矩阵相似性的描述中，正确的有（）A.相似矩阵具有相同的特征值B.相似矩阵具有相同的行列式C.相似矩阵具有相同的秩D.相似矩阵具有相同的迹E.相似矩阵具有相同的特征向量答案：ABCD解析：如果矩阵A与矩阵B相似，即存在可逆矩阵P使得B=PAL⁻¹，那么A和B具有相同的特征多项式，因此它们的特征值相同（A正确）。由于行列式等于特征值的乘积，相似矩阵具有相同的特征值，因此它们的行列式相同（B正确）。相似矩阵可以通过初等行变换化为相同的标准形，因此它们的秩相同（C正确）。由于迹等于特征值的和，相似矩阵具有相同的特征值，因此它们的迹相同（D正确）。相似矩阵的特征向量不同，因为如果v是A的特征向量，则Av=λv，而B=PAL⁻¹，对于B，有B(P⁻¹v)=P⁻¹(Av)=P⁻¹(λv)=λP⁻¹v，因此P⁻¹v是B的特征向量，而不是v本身（E错误）。10.下列关于向量空间同构的描述中，正确的有（）A.同构是保持向量加法和标量乘法的双射B.同构映射是线性的C.任何两个有限维向量空间如果维数相同，则它们同构D.同构映射的逆映射也是同构映射E.同构是向量空间之间的一种关系，用于比较它们的结构是否相同答案：ABCDE解析：向量空间之间的同构是一种双射（A正确），并且这个双射保持向量加法和标量乘法（B正确）。同构映射本质上是一个线性变换，其逆映射也是一个线性变换，因此也是同构映射（D正确）。任何两个有限维向量空间如果维数相同，则它们一定同构（C正确）。同构是向量空间之间的一种关系，用于比较它们的代数结构是否相同（E正确）。11.下列关于线性变换的描述中，正确的有（）A.线性变换是保持向量加法和标量乘法的映射B.线性变换的像空间是其定义域的一个子空间C.线性变换的核是其定义域的一个子空间D.线性变换可以表示为矩阵乘法E.线性变换将线性无关的向量组映射为线性无关的向量组答案：ABCD解析：线性变换的定义是保持向量加法和标量乘法的映射（A正确）。线性变换的像空间是由变换T定义的所有像向量T(v)组成的集合，这个集合一定是定义域向量空间的一个子空间（B正确）。线性变换的核是由所有被变换为零向量的向量组成的集合，这个集合也一定是定义域向量空间的一个子空间（C正确）。在有限维向量空间中，任何线性变换都可以由一个矩阵表示（D正确）。线性变换不一定保持向量组的线性无关性（E错误），例如零变换将所有向量都映射为零向量，因此任何线性无关的向量组都会被映射为线性相关的向量组。12.下列关于向量空间基和维度的描述中，正确的有（）A.向量空间中任意一个极大线性无关组都可以作为该向量空间的基B.向量空间的基是线性无关的C.向量空间的基是能够生成该向量空间的D.向量空间的维数是其基中所含向量的个数E.有限维向量空间的任何线性无关组都可以扩展为该向量空间的一个基答案：ABCD解析：向量空间的基是定义该向量空间的一组线性无关的生成元（B正确），因此基一定是线性无关的（B正确），也一定是能够生成该向量空间的（C正确）。向量空间的维数是基中所含向量的个数（D正确）。向量空间中任意一个极大线性无关组都可以作为该向量空间的基（A正确），因为极大线性无关组既是线性无关的，又能生成整个空间。对于有限维向量空间，任何线性无关组都可以通过添加向量扩展到整个空间的一个基（E正确）。13.下列关于特征值与特征向量的描述中，正确的有（）A.特征向量是非零向量B.特征值可以是零C.若v是矩阵A的特征向量，则对于任意非零常数c，cv也是A的特征向量D.若λ是矩阵A的特征值，则方程(A-λI)x=0有非零解E.矩阵A的特征值个数等于其阶数答案：ACD解析：特征向量的定义要求它是非零向量（A正确）。特征值可以是零，此时对应的特征向量是零向量，但零向量不是特征向量的定义，所以特征值通常指非零特征值（B错误）。若v是矩阵A的特征向量，则Av=λv。对于任意非零常数c，A(cv)=c(Av)=c(λv)=λ(cv)，因此cv也是A的特征向量（C正确）。若λ是矩阵A的特征值，则方程(A-λI)x=0有非零解，这个非零解就是对应的特征向量（D正确）。矩阵A的特征值个数等于其阶数，指的是特征值的几何重数之和等于阶数，而不是特征值的个数等于阶数。一个n阶矩阵可能有重根，特征值的个数可以小于n（E错误）。14.下列关于矩阵可逆性的描述中，正确的有（）A.可逆矩阵一定是方阵B.可逆矩阵的行列式不为零C.可逆矩阵一定是对角矩阵D.若矩阵A可逆，则其转置矩阵Aᵀ也可逆E.若矩阵A可逆，则其逆矩阵A⁻¹也可逆答案：ABDE解析：可逆矩阵的定义是存在逆矩阵，而逆矩阵只对方阵定义，因此可逆矩阵一定是方阵（A正确）。方阵可逆的充分必要条件是其行列式不为零（B正确）。可逆矩阵可以是多种类型的矩阵，例如对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等，不一定是对角矩阵（C错误）。矩阵的转置运算不改变其可逆性，若矩阵A可逆，则其转置矩阵Aᵀ也可逆，且(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ（D正确）。逆矩阵的定义是满足AA⁻¹=I的矩阵，因此逆矩阵也是可逆的，且(A⁻¹)⁻¹=A（E正确）。15.下列关于二次型的描述中，正确的有（）A.二次型可以通过正交变换化为标准形B.实二次型的标准形中，系数都是1或-1C.实二次型的正负惯性指数是由其特征值决定的D.正定二次型对应的矩阵一定是可逆的E.负定二次型对应的矩阵一定是可逆的答案：ADE解析：任何实二次型都可以通过正交变换化为标准形（A正确）。实二次型的标准形中，系数可以是正负1或0，正负惯性指数是指标准形中1和-1的个数（B错误）。实二次型的正负惯性指数等于其特征值的正负个数（C错误，应为特征值的正负个数）。正定二次型的定义是对于任意非零向量x，xᵀAx>0，这意味着矩阵xᵀAx是正定矩阵，而正定矩阵一定是可逆的（D正确）。负定二次型的定义是对于任意非零向量x，xᵀAx<0，这意味着矩阵xᵀAx是负定矩阵，而负定矩阵也一定是可逆的（E正确）。16.下列关于矩阵相似性的描述中，正确的有（）A.相似矩阵具有相同的特征值B.相似矩阵具有相同的行列式C.相似矩阵具有相同的秩D.相似矩阵具有相同的迹E.相似矩阵具有相同的特征向量答案：ABCD解析：如果矩阵A与矩阵B相似，即存在可逆矩阵P使得B=PAL⁻¹，那么A和B具有相同的特征多项式，因此它们的特征值相同（A正确）。由于行列式等于特征值的乘积，相似矩阵具有相同的特征值，因此它们的行列式相同（B正确）。相似矩阵可以通过初等行变换化为相同的标准形，因此它们的秩相同（C正确）。由于迹等于特征值的和，相似矩阵具有相同的特征值，因此它们的迹相同（D正确）。相似矩阵的特征向量不同，因为如果v是A的特征向量，则Av=λv，而B=PAL⁻¹，对于B，有B(P⁻¹v)=P⁻¹(Av)=P⁻¹(λv)=λP⁻¹v，因此P⁻¹v是B的特征向量，而不是v本身（E错误）。17.下列关于向量空间同构的描述中，正确的有（）A.同构是保持向量加法和标量乘法的双射B.同构映射是线性的C.任何两个有限维向量空间如果维数相同，则它们同构D.同构映射的逆映射也是同构映射E.同构是向量空间之间的一种关系，用于比较它们的结构是否相同答案：ABCDE解析：向量空间之间的同构是一种双射（A正确），并且这个双射保持向量加法和标量乘法（B正确）。同构映射本质上是一个线性变换，其逆映射也是一个线性变换，因此也是同构映射（D正确）。任何两个有限维向量空间如果维数相同，则它们一定同构（C正确）。同构是向量空间之间的一种关系，用于比较它们的代数结构是否相同（E正确）。18.下列关于线性方程组的描述中，正确的有（）A.非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩B.非齐次线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩C.齐次线性方程组Ax=0一定有解，解包括零解和可能的非零解D.齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于未知数的个数E.齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数答案：ABCE解析：非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩（A正确），无解的充分必要条件是增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩（B正确）。齐次线性方程组Ax=0一定有零解。它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数（E正确），或者等价地，系数矩阵的行秩小于未知数的个数（D错误，应为行秩小于未知数个数）。选项C正确，因为齐次线性方程组总是有零解，并且当系数矩阵的秩小于未知数的个数时，还有非零解。19.下列关于矩阵秩的描述中，正确的有（）A.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数B.矩阵的秩等于其行向量组的极大线性无关组所含向量的个数C.矩阵的秩等于其列向量组的极大线性无关组所含向量的个数D.矩阵的秩等于其行向量组的秩与列向量组的秩之和E.零矩阵的秩为0答案：ABCE解析：矩阵的秩是矩阵行向量组或列向量组的极大线性无关组所含向量的个数，也等于其非零子式的最高阶数（A正确）。零矩阵的所有子式都为零，因此其最高阶非零子式不存在，其秩定义为0（E正确）。矩阵的行秩与列秩相等，这是线性代数中的重要定理。因此，选项B和C正确描述了矩阵秩的定义。选项D错误，矩阵的秩等于其行向量组的秩或列向量组的秩，而不是两者之和。20.下列关于向量组线性关系的描述中，正确的有（）A.若向量组中存在零向量，则该向量组线性相关B.若向量组中有一个向量是其余向量的线性组合，则该向量组线性相关C.若向量组线性无关，则其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示D.若向量组线性相关，则其中存在一个向量是其余向量的线性组合E.两个非零向量线性无关的充分必要条件是它们不成比例答案：ABCDE解析：向量组线性相关的定义是其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。因此，选项B和D正确。向量组线性无关的定义是其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示，因此选项C正确。选项A正确，因为包含零向量的向量组一定线性相关，因为零向量可以由任意其他向量乘以0得到，即它们线性相关。选项E正确，两个非零向量如果成比例，则其中一个向量可以由另一个向量乘以常数得到，即它们线性相关；反之，如果不成比例，则它们线性无关。三、判断题1.齐次线性方程组Ax=0一定有解（）答案：正确解析：齐次线性方程组Ax=0总是有解的，即零解x=0。这是线性代数中的基本事实，因为将零向量代入方程组，必然满足等式两边相等。2.行列式等于其任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和（）答案：错误解析：行列式等于其任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和，这是行列式按行（列）展开定理的内容。题目中的表述没有指明是哪一行或哪一列，因此是错误的。正确的表述应该是“行列式等于其任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和”。3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩（）答案：正确解析：矩阵的初等行变换包括交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的若干倍。这些变换都不会改变矩阵的秩，因为它们不改变矩阵列向量的线性关系。4.若向量组A可以由向量组B线性表示，且向量组B可以由向量组C线性表示，则向量组A可以由向量组C线性表示