广东省2025-2026学年高二上学期两校联考期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省2025-2026学年高二上学期两校联考期中考试数学试卷一、选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为点在平面内，且，所以，解得.故选：D.2．直线的倾斜角为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】，，设倾斜角为，，，，，.故选：A.3．已知点A，B分别是直线与直线上的点，则的最小值为（

）A．0 B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知直线，所以当，且时，有最小值，其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为，所以故选：C.4．在正方体中，M是的中点，N是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设正方体棱长为2，取中点E,BC中点F连接,,,四边形为平行四边形，.,,四边形为平行四边形，.为与所成角.在中，,.与所成角的余弦值为.故选：D.

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，，，M为PB的中点，若PC上存在一点N使得平面平面AMN，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】取的中点，连接，由，所以，过点作，交于点，则，如图所示，由平面，平面，所以，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，由，为的中点，且，所以，又由，所以，所以.故选：B.6．已知向量，，若与共线，则（

）A．12 B．9 C． D．【答案】C【解析】由向量，共线，故存在，使得，即，解得，，所以．故选：C．7．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知点，若圆上不存在点满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】设点．若，则，整理得．所以点P的轨迹是以为圆心，半径的圆．圆是以为圆心，r为半径的圆，由题意可得或．又，所以或，解得或或．又，所以或，即的取值范围是．故选：C．8．已知正方体的棱长为2，为正方体内一点，若，，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，知点在四边形内，设的中点为，则．因为平面平面，所以．又因为，，，平面，所以平面，平面，所以，则，所以点在以为圆心，的半圆上运动，点的轨迹长度为．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，，空间中一点满足，则（

）

A．若，则三棱锥的体积为定值B．若，则点的轨迹长度为3C．若，则的最小值为D．若，则点到的距离的最小值为【答案】ACD【解析】

对A，若，分别作棱，的中点，，连接，则在线段上，易知平面，故点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；若，分别作，的中点，，则点的轨迹为线段，易知，故B错误；若，则，，三点共线，即点在线段上，易求点到的距离为，故的最小值为，故C正确；若，则点在线段上，易证，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，，所以，所以，所以点到的距离，所以当时，，故D正确.故选：ACD.10．在中，记角的对边分别为，则（

）A．若，，，则解此三角形有两解B．若为锐角三角形，则C．的充要条件为D．若，则为等腰直角三角形【答案】ABC【解析】对于A，由余弦定理得：，即，解得：或，此三角形有两解，A正确；对于B，为锐角三角形，，，，，，，B正确；对于C，当时，，由正弦定理知：，充分性成立；当时，由正弦定理知：，，必要性成立；的充要条件是，C正确；对于D，，由正弦定理可得：，，，或，或，即为等腰三角形或直角三角形，D错误.故选：ABC.11．直线与圆相切，则实数等于（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由，可得，知其圆心为，半径为，依题意，圆心到直线的距离为，解得或.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知直线：，直线：，若，则.【答案】2【解析】由直线：与直线：平行，得，解得，所以.故答案为：2.13．已知长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离为．【答案】【解析】解：以为坐标原点，射线、、依次为、、轴，建立空间直角坐标系，则点，2，，，0，，，0，，，4，，从而，0，，，2，0），，4，0），设平面的法向量为，，，由可得，令，所以点到平面的距离为：．故答案为：．14.．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是.【答案】【解析】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，．设A关于平面的对称点为，，则，．设平面的法向量，则，令，则，，所以，所以A与到平面的距离，即

①．又，所以，即

②．由①②得，由可得，，，所以，所以，当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为．故答案为.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．直线与直线相交于点P，直线l经过点P.(1)若直线，求直线l的方程；(2)若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.解：（1）联立得即.因为，不妨设直线l的方程为，将点代入，得，所以直线l的方程为.（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即；当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，将点代入，得，所以直线l的方程为，即.综上所述，直线l的方程是或.16．在中，角，，的对边分别是，，，.(1)求；(2)若，，是边上一点，且__________，求的长.在①平分；②；③这三个条件中任选一个，补充到题干中的横线位置，并作答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.解：（1），，，，，，，，，，即（2）若选①，则，如图，设，则，即，解得，所以.若选②，则为中点，如图，所以，则，所以，即.若选③，如图，由余弦定理可得，即，，因为，设，则在和中，，即，解得，即.17．如图，四棱锥中，底面是正方形，是的中点，.(1)证明：平面平面；(2)若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的大小.（1）证明：因为四边形为正方形，为的中点，，所以.在中，由余弦定理得，因为，所以，即.因为，所以，所以.又因为平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）解：由（1）得两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，于是.设平面的法向量为，则，即，令，可得.设直线与平面所成的角为，则，解得，故直线与平面所成的角为.18．在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为.(1)求圆的标准方程；(2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率.（i）若，求面积的最大值；（ii）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.解：（1）设圆的标准方程为，由已知可得：，解得：，，，所以圆的标准方程为.（2）（i）由（1）知，因为，所以，从而直线经过圆心，是直角三角形，且，设，，则，又，所以，当且仅当时取等号，所以.（ii）由已知得：直线的斜率必存在，设直线的方程为，，，由，消去得：，当时，，，（※）又，即，代入（※）得：，即，解得：，或，当时，此时直线的方程为，过定点（舍去），当时，此时直线的方程为，过定点，故当，动弦过定点.19．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A，B，C为球面上三点，设表示以O为圆心且过A，B的圆，表示以O为圆心且过B，C的圆，表示以O为圆心且过A，C的圆，由圆的劣弧围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角分别为，则球面三角形的面积为（R为球半径）．已知．(1)若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；(2)若平面三角形为直角三角形，，．则：①求证：；②延长与球O交于点D．若直线与平面所成的角分别为，S为中点，T为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值以及此时平面截球O的截面面积．（1）解：若平面两两垂直，有，所以球面三角形面积为．（2）①证明：由余弦定理有：，且，消掉，可得；②解：由是球的直径，则，且，平面，所以平面，且平面，则，且，平面，可得平面，由直线与平面所成的角分别为，所以，由于，