河南省部分学校2025-2026学年高一上学期第一次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省部分学校2025-2026学年高一上学期第一次联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题知：的否定为．故选：B.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以．故选：D.3.设，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于ABD，取，则，，，ABD错误；对于C，，而，则，，，因此，C正确.故选：C.4.某班共46人，其中有30人喜欢诗歌，26人喜欢散文，诗歌和散文都不喜欢的有2人，则该班诗歌和散文都喜欢的人数为（）A.12 B.8 C.16 D.10【答案】A【解析】根据题意可得喜欢诗歌或散文的人数为，诗歌和散文都喜欢的人数为．故选：A.5.若，则的取值集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令，则，所以解得所以．因为，所以，所以，即的取值集合是．故选：C.6.若命题“”为假命题，且，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最大值为【答案】D【解析】，由，得，而，当且仅当时取等号，因此，由命题“”为假命题，得，所以的最大值为.故选：D.7.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由易知可得，，当时，，当时，，所以.故选：C.8.若，且，则的最小值为（）A.60 B.64 C.56 D.28【答案】A【解析】因，则，当且仅当时，等号成立，由解得，即当时，的最小值为60．故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.“”的一个充分不必要条件可以是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】由，得，根据充分不必要条件的定义可知AB符合题意.故选：AB.10.记集合，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.若，且，则【答案】ACD【解析】，A正确．，B错误．每个整数除以4所得的余数只可能为0，1，2，3，则C正确．设，则，由，得，所以，所以D正确．故选：ACD.11.已知，（为常数，且），则的值可能为（）A. B.2 C.4 D.36【答案】CD【解析】因为，，当时，则，可得对任意恒成立，若，可得，不合题意，故A错误；当时，设函数，，令，得，令，得（正根已舍去），作出这两个函数的图象，如图所示．由题意可得，因为，则为正整数，结合选项可知或，故B错误，CD正确；故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.集合用列举法表示为___________．【答案】【解析】联立，解得，则，则.故答案为：.13.若，则的最大值为___________．【答案】81【解析】因为，所以，即,解得，即81，当且仅当时，等号成立．故答案为：.14.已知集合表示与的乘积，将放入如图所示的9个方格中，则方格中所有数之和的最大值为___________．【答案】225【解析】根据题意可得方格中所有数之和为，且，设，则，则，当时，取得最大值，最大值为225，此时或．故答案为：225.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．（1）每一个末位是0的整数都是5的倍数；（2）无限不循环小数是实数；（3）有些三角形是中心对称图形．解：（1）该命题是全称量词命题.因为末位是0的整数可以被10整除，10是5的倍数，所以原命题是真命题.（2）该命题是全称量词命题.因为无限不循环小数是无理数，无理数属于实数，所以原命题是真命题.（3）该命题是存在量词命题.因为所有的三角形都不是中心对称图形，所以原命题是假命题.16.已知集合，或．（1）若A中只有一个元素，求的值；（2）若，求的取值范围；（3）若，求的取值范围．解：（1）因为集合，若A中只有一个元素，则，解得.（2）因为集合，或，若，则，解得，所以的取值范围为.（3）因为集合，或，若，则有：①当时，，解得.②当时，或，解得；综上，的取值范围是.17.如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且．（1）设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由；（2）求矩形面积的最小值．解：（1）方法一：根据相似的性质可得，所以，解得，所以.方法二：根据相似的性质可得，则，得，所以.（2）由（1）得，当且仅当，即时，等号成立，故矩形面积的最小值为240.18.定义运算：，其中为非零常数．已知，且关于的方程有两个不相等的实数根．（1）证明：为定值．（2）若，求的值．（3）求关于的不等式的解集．解：（1）由题可知，则，关于的方程即为，则，所以，为定值.（2）由（1）方程可化为，由，解得或.由，得，解得或.因为或，所以.（3）由（1）所以，所以，且.由（2）知或，当时，，则该不等式的解集为或；当时，，则该不等式的解集为；当时，，则该不等式的解集为；当时，，则该不等式的解集为；当时，，则该不等式的解集为．19.已知集合，．（1）若，求；（2）设中所有的元素均为正数，中元素的个数为，求的最小值；（3）若，求．解：（1）由题意，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.故.（2）设，则，则.令，则，，即.因为，所以此时，故的最小值为3.