内蒙古呼和浩特市2026届高三上学期第一次质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古呼和浩特市2026届高三上学期第一次质量监测数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合A＝{是12的正因数}，，则（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，，由于，，，.故选：C.2.已知，则（）．A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】由，则.故选：B.3.设是定义在R上且周期为2的函数，当时，，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，而的周期为2，所以.故选：A.4.在中，，，，则的面积为（）．A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】在中，因，则是锐角，，所以的面积为.故选：C.5.抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】对于双曲线：因为，，所以，所以.所以双曲线的右焦点坐标为：.对于抛物线，因为焦点为，即.所以其准线方程为：.故选：B.6.下列函数是偶函数的是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，函数的定义域为，关于原点对称，任取，则，因，故不是偶函数；对于B，函数的定义域为，关于原点对称，任取，则，，因，故不是偶函数；对于C，函数的定义域为，关于原点对称，任取，则，，，因，故不是偶函数.对于D，函数的定义域为，关于原点对称，因，故是偶函数.故答案：.7.已知为等比数列，且，，则公比等于（）．A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】由于为等比数列，所以，所以.故选：C.8.命题p：关于x的方程有且仅有一个根；命题q：已知函数的图象是双曲线，则其离心率为；对p、q命题说法正确的是（）．A.p真q假 B.p假q真C.p假q假 D.p真q真【答案】D【解析】命题p：由，则，因为函数在上单调递减，则函数在上单调递减，又，则关于x的方程有且仅有一个根，命题正确；命题q：双曲线的渐近线为直线，如图，令双曲线的顶点，直线为直线所夹锐角的平分线，则直线的倾斜角为，则直线的斜率为，则直线：，由，得，令双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则，过分别作直线的垂线交直线分别于，半焦距，所以离心率为，故命题正确.故选：D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）．A.的最小正周期为B.直线是图象的一条对称轴C.D.在上单调递增【答案】ACD【解析】，则，对于A，的最小正周期，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，令，解得，当时，，而在的范围内，故D正确.故选：ACD.10.在棱长均为2的正方体中，下列说法正确的是（）．A.三棱锥的四个面均为直角三角形B.平面C.三棱锥的体积为D.过正方体棱BC、CD、中点的截面与此正方体任一棱所在直线所成角均相等【答案】ABD【解析】如图：对A：因为为正方体，所以平面，平面，因为平面，所以，；因为平面，所以，.所以三棱锥的四个面均为直角三角形，故A正确；对B：因为为正方体，所以平面，又平面，所以，又，平面，，所以平面.故B正确；对C：因为VB1-对D：以为原点，建立如图空间直角坐标系，则中点，中点，中点G2,1,2，A=2,0,0，C=0,2,0，D1=0,0,2所以，EG=1,-1,2，，，.设平面的法向量为，则n⊥EFn⊥EGn⋅取，又，，.所以cosncosncosn所以过棱、、中点的正方体截面与此正方体任一棱所在直线所成角均相等.故D正确.故选：ABD.11.若是函数的极值点，则下列说法正确的是（）．A.B.关于x的方程有3个根C.关于x的不等式的解集为D.函数是奇函数【答案】AD【解析】对于A，由题fx则f'因为是函数的极值点，所以f'2=12-4a+2+2a=0此时fx=x令，得或；令，得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，则是函数的极小值点，满足题意，即，故A正确；对于B，方程根的个数方程根的个数函数hx=x3-4因为h'令，得，令，得或，所以函数在上单调递减，在-∞,4-且h0=h1则h4+73而函数ux=-1x在且u4+73画出函数hx=x由图可知，函数hx=x3-4x2对于C，由得x3-4x2+4x=xx-2即不等式的解集为，故C错误；对于D，由fx则fx+设gx=x3-所以函数y=fx+43-故选：AD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知平面向量，，若，则______．【答案】【解析】由向量，，得，由，得，解得，所以.故答案为：.13.若，则______．【答案】100【解析】设，则.所以.所以，.所以.故答案为：100.14.在中，，，则面积的最大值为______．【答案】【解析】由余弦定理可得：，即（当且仅当时取等号）.所以.所以.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.已知正项数列的前n项和为，且．（1）求；（2）设表示不超过x的最大整数，例如，，求．【答案】解：（1）数列中，，，则当时，，即，解得，当时，，于是，即，整理得，而，则，因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以通项公式.（2）由（1）知，当，2时，；当，4，5时，；当，7时，；当，9，10时，；当，12时，，所以.16.已知椭圆的左、右焦点分别是、，，O是坐标原点，直线l过O且与椭圆C相交于P、Q两点．（1）若，求证：；（2）求周长的最小值．【答案】（1）证明：依题意，，，则椭圆方程为，由点P在椭圆上，得点P的坐标满足，即，其中，则，由，得，所以．（2）解：依题意，四边形是平行四边形，则的周长，又设，则，由（1）得，当，即点P落到椭圆的上下顶点时，取得最小值1，所以的周长最小值为6.17.如图，边长为2的平面正方形中，将沿BD折至，使平面与平面所成的二面角为直二面角.（1）在空间中找一点O，使得O与，B，C，D距离相等，并证明；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．【答案】解：（1）取BD的中点为O点，在中，O点与B，C，D距离相等，在中，O点与，B，D距离相等，故BD的中点与，B，C，D的距离相等．（2）∵平面与平面所成的二面角为直二面角，则平面平面．又平面平面，在平面中，；在平面中，，故BD，CO，两两互相垂直，以O为原点，OB，OC，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．又A'0,0,2，，可得A'C=设为平面的一个法向量，则n⋅A'易得平面的一个法向量为，设平面与平面所成的二面角为，由题得cosθ=cos18.工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量分析，已知其中A等品占，B等品占．（1）当时，①求出3件产品中恰有2件A等品的概率；②求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望；（2）当总量N足够大，抽出的个体数量足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在在2024年全年生产的产品范围内考虑从件产品（A，B等品比例不变）中随机抽取3件，在超几何分布中A等品恰有2件的概率记作；在二项分布中A等品恰有2件的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过的前提下，认为超几何分布近似为二项分布．（参考数据：，）【答案】解：（1）①当时，其中A等品有件，B等品有件，则从10件产品中随机抽取3件，恰有2件A等品的概率为；②当时，A等品有4个，B等品有6个．X服从超几何分布，，1，2，3，，，，，∴X的分布列为X0123P．（2），，由于，则，即，即，由题意易知，从而，化简得，又，于是．由于函数在上单调递减，在上单调递增，而，从而，当时单调递增，又，．因此当时，符合题意，而又考虑到和都是整数，则N一定是5的整数倍，于是．即N至少为145，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布．19.已知，．（1）求证：在处的切线l也是的切线；（2）关于x的不等式恒成立，求k取值范围；（3）直线分别交、图象于A、B两点，O是坐标原点，求证：是锐角三角形．【答案】（1）证明：因，，∴在处的切线，即，又，，因与都过点，故在点处的切线l也是的切线．（2）解：在上单调递增，且，在上单调递增，且，首先证明：对任意，.构造函数，，则当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；故，，即，由可得；故对任意，，得证.故.当时，，，要使fx-kxg则fx由，可得k≥fxx令hx=f令，则，若，则，故在上单调递减，故，即，所以在上单调递增，又limx→0hx=lim要使恒成立，所以①；令nx则n'构造函数，，则，故在单调递增，则，即当时，，所以在单调递减，又limx→0nx要使恒成