山东省百师联盟2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省百师联盟2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意，．故选：B．2.已知空间向量，，若，则的值为（）A. B. C.4 D.6【答案】C【解析】若，则．因为，，所以，解得．故选：C．3.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由直线方程，则直线的斜率为，即为倾斜角的正切值，所以倾斜角的大小为．故选：D．4.设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】.故选：B.5.已知直线与，则下列说法不正确的是（

）A.若时，则 B.若时，则与重合C.若时，则 D.若时，则与交于点【答案】B【解析】对于A，当时，，即，则，故A正确；对于B，当时，，即，则与不重合，故B错误；对于C，当时，，因为，所以，故C正确；对于D，当时，，即，由，得，所以与交于点，故D正确.故选：B6.已知四棱锥中，，则该四棱锥的高为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设平面的法向量为，则有，取，得，所以点点平面的距离，即四棱锥的高为.故选：D.7.在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取的中点O，连接，因为为正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，平面，建立如图所示的直角坐标系，则，，，，，.设平面的法向量为，则，即，令，得平面的一个法向量为.又，设与平面所成角为，所以.故选：B.8.过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（）A.4 B. C.2 D.【答案】B【解析】动直线化为，可知定点，动直线化为，令，解得，可知定点，又，所以直线与直线垂直，为交点，.则，当且仅当时，等号成立.即面积的最大值为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AD【解析】若，则，故，即，化简得.故选项正确，选项错误.若，则，故存在实数使得，即，化简得.故选项错误，选项正确.故选：.10.设直线的方程为，则下列说法正确的有（）A.直线的斜率为B.直线在轴上的截距为2C.直线在轴上的截距为D.直线与坐标轴围成的三角形的面积为【答案】ABD【解析】由直线的斜截式方程，得直线的斜率为，在轴上的截距为2，故AB正确．在方程中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故C错误．设直线与轴、轴的交点分别为，则，，直线与坐标轴围成的三角形为．因为，，所以，故D正确．故选：ABD．11.正方体的棱长为2，，，.下列结论正确的是（）A.的最小值为B.若，则平面C.若，，则四面体的体积为D.点到直线的距离的最小值为【答案】BCD【解析】如图，以E为原点建立空间直角坐标系.对于A，因，则P为中点，又，.则，从而关于平面对称点为，则，当且仅当三点共线时取最小值，故A错误；对于B，因，则，则又，则，设平面法向量为，则，取，则，则，因，则，又易得平面，则平面，故B正确；对于C，由B分析，，则，则四面体的体积为，故C正确；对于D，因，则，又，则，又，，则，在方向上的投影向量的模为：，则到直线的距离为，当且仅当时取等号，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________.【答案】【解析】因为，所以点到平面的距离.故答案为：.13.直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】因为直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，所以直线的斜率，且在轴上的截距．因为直线，所以，，则，解得，即实数的取值范围是．故答案为：.14.在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_______．【答案】【解析】在平行六面体中，，则是异面直线与所成角或其补角，而，，，，，，，在中，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在棱长为的正四面体中，分别是的中点，设.（1）求（用表示）；（2）求直线和夹角的正弦值.解：（1）.（2），，所以.又和都是等边三角形，，设直线和的夹角为，则，所以.16.已知直线．（1）求经过点且与直线垂直的直线方程；（2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．解：（1）由直线可得斜率为，所以根据垂直关系可设所求直线方程为，则依题意有，解得，所以所求直线方程为，整理得.（2）联立，解得，即直线与的交点为，当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，代入得，此时；当直线的截距都不为0时，假设直线方程为，依题意，解得，此时直线方程为，即.综上所述：所求直线方程为或．17.如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱的中点，．用空间向量法求解下列问题．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．解：（1）依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，又分别是棱，，中点，，．所以，所以有：，设平面的法向量为，则有所以，令，有，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）因为，由（1）有平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为：.18.已知直线：.（1）若直线垂直于直线：，求的值；（2）求证：直线经过定点；（3）当时，求点关于直线的对称点的坐标.（1）解：因为，所以，解得，故的值为.（2）证明：因为，所以，所以，解得，所以直线恒过定点.（3）解：因为，所以直线，设点关于直线的对称点的坐标为，所以的中点坐标为，所以，解得，所以点关于直线的对称点的坐标为.19.如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题．（1）求证：．（2）求线段的中点到平面的距离．（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：取的中点，连接，，由为等边三角形，得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，由，，得四边形是平行四边形，于是，而，则，直线，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分