专题115因式分解（举一反三讲义）数学华东师大版2024八年级上册（原卷版）

专题11.5因式分解（举一反三讲义） 【华东师大版2024】TOC\o"13"\h\u【题型1因式分解的概念】 3【题型2提公因式法法分解因式】 3【题型3提公因式法法分解因式的应用】 3【题型4用平方差公式分解因式】 4【题型5平方差公式分解因式的应用】 4【题型6完全平方公式分解因式】 5【题型7完全平方公式分解因式的应用】 6知识点1因式分解1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．知识点2用提公因式法分解因式1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．2.怎样确定公因式（五看）：一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号：若多项式中首项符号是“”，则公因式的符号一般为负．3.提公因式法的定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．4.提公因式法分解因式的一般步骤：①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；②提公因式并确定另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式．拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．知识点3用平方差公式分解因式1.平方差公式的等号两边互换位置，得a2−b2=语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．知识点4用完全平方公式分解因式1.完全平方公式的等号两边互换位置，得a2+2ab+语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．3.公式法的定义：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．【题型1因式分解的概念】【例1】（2425八年级下·山东济南·期中）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（

）A．2x−y=2x−2y C．x2−2x−3=xx−2【变式11】（2025·河南郑州·一模）把一个多项式化成几个整式的的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：2x+3=2x+6属于【变式12】（2425八年级下·湖北黄冈·专题练习）若x−5x−3是多项式x2−px+15因式分解的结果，则pA．2 B．−2 C．8 D．−8【变式13】（2425七年级下·陕西西安·期中）下列各式中，是整式乘法的是，是因式分解的是．（填序号）①(5a−1)2=25a2③m2−4=(m+2)(m−2)；④【题型2提公因式法法分解因式】【例2】（2425八年级下·重庆·期中）把多项式x2y5−xynzA．6 B．4 C．3 D．2【变式21】（2425八年级上·湖北武汉·阶段练习）9ab3与12a【变式22】（2025·浙江·三模）因式分解：xx−y+y【变式23】（2425八年级下·陕西安康·期中）把am−n+4n−m提公因式后一个因式是m−n【题型3提公因式法法分解因式的应用】【例3】（2425七年级下·安徽安庆·期中）已知m为有理数，则整式m2m2A．不是负数 B．恒为负数 C．恒为正数 D．不等于0【变式31】（2425八年级下·江苏苏州·阶段测试）若a2+a+1=0,那么a2001【变式32】（2425八年级下·四川成都·期末）已知长方形ABCD的长和宽分别是a，b，周长是20，面积是15．则a2A．35 B．150 C．300 D．600【变式33】已知a>b，a>c，若M=a2−ac，N=ab−bc，则M与NA．M<N B．M=N C．M>N D．不能确定【题型4用平方差公式分解因式】【例4】（2425八年级下·四川成都·期末）小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是x?−4yA．2种 B．3种 C．4种 D．5种【变式41】（2425八年级下·内蒙古包头·期中）因式分解：(1)25(2)x【变式42】（2425八年级下·河北保定·期末）若多项式mx2−4在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则mA．1 B．5 C．9 D．16【变式43】（2425八年级上·山西临汾·期中）课堂上老师在黑板上布置了如下框所示的题目：涛涛发现其中有一道题目错了，错误的题目是（

）用平方差公式分解因式：（1）−（2）−（3）36（4）16A．第（1）题 B．第（2）题 C．第（3）题 D．第（4）题【题型5平方差公式分解因式的应用】【例5】（2425八年级下·湖北宜昌·期中）已知a，b，c为一个三角形的三边长，则a−b2A．一定为负数 B．一定为正数C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零【变式51】（2425七年级下·浙江温州·期中）若x=1y=2是方程组ax+by=1bx+ay=7的解，则a2A．−353 B．353 C．【变式52】（2425八年级下·湖北黄石·阶段练习）当t为整数时，试说明：t−52−t+7【变式53】（2425七年级下·江苏南京·期中）观察下列等式，回答问题①32②52③72④92……(1)写出第n个等式：_____________；(2)证明第n个等式成立；(3)若两个奇数中较小的为m，它们的差值为a，则它们的平方差一定是_____________．（选出所有正确答案）A．8的倍数

B．2a的倍数

C．m的倍数

D．m+1【题型6完全平方公式分解因式】【例6】（2425八年级下·陕西西安·阶段练习）若多项式a2+1+△能直接用完全平方公式进行因式分解，则“△”所代表的单项式不可以是（A．2a B．−2a C．a44 【变式61】（2425八年级下·陕西西安·阶段练习）把下列各式因式分解：(1)ax−y(2)a(3)x+1【变式62】（2425七年级下·浙江绍兴·专题练习）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2−1 B．x2+2x−1 C．【变式63】（2425七年级下·四川成都·期中）分解因式：x2分析：由于常数项数值较大，所以采用x2x==(x−60+12)(x−60−12)=(x−48)(x−72)．请按照上面的方法分解因式：x2【题型7完全平方公式分解因式的应用】【例7】（2425七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知a=m+2024，b=m+2025，c=m+2026，则代数式a2A．5 B．6 C．3 D．8【变式71】（2425七年级下·安徽合肥·期中）已知P=715m−1,Q=m2−8A．P>Q B．P=Q C．P<Q D．不能确定【变式72】（2425七年级下·浙江宁波·专题练习）