专题17特殊三角形及勾股定理中的十二类模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题17.特殊三角形及勾股定理中的十二类模型本专题包含特殊三角形及勾股定理中的十二类重要模型，主要有：维维尼亚模型、帽子模型（长短手模型）、等边截等长模型（定角模型）、角平分线第二定理模型、等直内接等直模型、等直+高分模型、奔驰模型、中点模型、翻折模型、赵爽弦图模型、勾股树模型、空间最短路径模型、将军饮马模型等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！A． B． C． D．【答案】CA．3 B．4 C．5 D．6【答案】BA．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】B∴正确的有：①②④．故选：B．【答案】BA．20 B．24 C．30 D．36【答案】A6.（2425·八年级上·山东枣庄·期中）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（

）．A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】C【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，

∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和等于第1次“生长”出的两个正方形面积，∴“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026，故选：C．【答案】C【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处，故选：C．A． B． C． D．【答案】A【详解】解：连接，如图：A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【答案】9【详解】解：如图，连接，，，【答案】

【答案】

【答案】【答案】88点P在直线上，如图，连接，

【答案】【答案】50

【答案】

【答案】3或6综上所述，的长为3或6；故答案为：3或6．将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，【答案】21.(2425八年级上·山东青岛·开学考试）如图，有一个长方体的长15，宽为20，高为25，如果一只蚂蚁要沿长方体的表面从A点爬到B点，设爬行的最短路程的长是x，则是．【详解】解：设定字母如图所示：①如图，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离，②如图2，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离，③如图，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离，【答案】3.2【详解】解：如图所示的是滑行部分的平面展开图．24．（2425七年级下·上海·期中）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题：（1）若点P在一边BC上（图（1）），此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系?请说明理由；（2）若当点P在△ABC内（图（2）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系?请说明理由；（3）若点P在△ABC外（图（3）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系___．（请直接写出你的猜想，不需要说明理由．）【答案】（1）h=h1+h2，理由见解析；（2）h=h1+h2+h3，理由见解析；（3）h=h1+h2−h3【详解】（1）h=h1+h2，理由如下：连接AP，则S△ABC=S△ABP+S△APC∴BC⋅AM=AB⋅PD+AC⋅PF即BC⋅h=AB⋅h1+AC⋅h2又∵△ABC是等边三角形∴BC=AB=AC，∴h=h1+h2．（2）h=h1+h2+h3，理由如下：连接AP、BP、CP，则S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP∴BC⋅AM=AB⋅PD+AC⋅PF+BC⋅PE即BC⋅h=AB⋅h1+AC⋅h2+BC⋅h3又∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC．∴h=h1+h2+h3．（3）h=h1+h2−h3．当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2−h3=h．理由如下：连接PB，PC，PA,由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC−S△PBC，即BC⋅AM=AB⋅PD+AC⋅PE−BC⋅PF，∵AB=BC=AC，∴h1+h2−h3=h，即h1+h2−h3=h．（2）猜想线段，，的数量关系，并说明理由．【答案】见解析28．（2425八年级上·江苏扬州·期中）如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC交BC于G．求证：（1）△GDF≌△CEF；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）△ABC是等腰三角形．理由见解析．【详解】证明：（1）∵DG∥AC∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），（2）由（1）△GDF≌△CEF得DG＝CE;又∵BD＝CE，∴BD＝DG，∴∠DBG＝∠DGB，∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．图1

图2

图3【答案】(1)；(2)见解析；(3)．32．（2425八年级下·湖北恩施·期中）实践活动活动背景我校结合校园内丰富的树木资源，坚持立德树人育人理念，着力打造学校“树惠文化”品牌，以培养学生扎根、向上的品质，逐步形成初一深扎知识土壤，培育基础和品德的“树根文化”，初二淬炼生命筋骨，注重承上启下、塑造责任与担当的“树干文化”，初三舒展理想苍穹，拼搏理想和勇争第一的“树冠文化”，八年级部分学生在学习勾股定理后，对“勾股树”产生了浓厚的兴趣，他们组建了兴趣小组并展开相关探究活动．素材1毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（图中三角形均为直角三角形，四边形均为正方形）．因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树（勾股树）．素材2经过学生兴趣小组讨论，对图形作出改变，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边长固定为2cm．根据规则，三位同学分别画出了如下不同类型的树形图并进行探究．解决问题任务一任务二任务三任务四活动小结【详解】解：任务一：如图，33.（2425八年级上·湖北荆州·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三直角”模型和“K字”模型．【答案】（1）见