重难点培优03数列的绝对值奇偶项插项类公共项取整数存在项问题（复习讲义）2026年高考数学一轮复习

重难点培优03数列的绝对值、奇偶项、插项类、公共项、取整数、存在项问题目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"12"\h\u01知识重构・重难梳理固根基 102题型精研・技巧通法提能力 6题型一绝对值数列（★★★★） 6题型二奇偶类数列（★★★★★） 10题型三插项类数列（★★★★） 17题型四公共项数列（★★★★） 25题型五取整类数列（★★★） 30题型六存在项数列（★★★） 3703实战检测・分层突破验成效 43检测Ⅰ组重难知识巩固 43检测Ⅱ组创新能力提升 61知识点01等差数列一、等差数列的有关公式1、等差数列的通项公式2、等差数列的前项和公式二、等差数列的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．三、等差数列的前n项和公式与函数的关系【常用结论】知识点02等比数列一、等比数列的有关公式1、等比数列的通项公式2、等比数列的前n项和公式注：①在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．二、等比数列的性质1、等比中项的推广．2、等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．3、其他衍生等比数列．若已知等比数列，公比为，前项和为，则：①等间距抽取②等长度截取【常用结论】等比数列，公比为．知识点03数列求和一、公式法3、一些常见的数列的前n项和：二、几种数列求和的常用方法1、分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．2、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．（1）基本步骤（2）裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（3）消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．4、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．（1）适用条件（2）基本步骤（3）注意事项5、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．【常用结论】裂项技巧①等差型②根式型③指数型④三角型⑤阶乘题型一绝对值数列【技巧通法·提分快招】A．630 B．648 C．660 D．675【答案】C【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即可求出结果.故选：CA．9 B．12 C．18 D．27【答案】C故选：C.A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在【答案】A故选：A.【答案】112【分析】设等差数列的公差为，依题意得到关于、的方程组，求出、，即可求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.【详解】设等差数列的公差为，故答案为：【答案】【分析】作差判断数列的单调性，根据单调性代入去绝对值化简计算可得结果.故答案为：(1)求的通项公式；【分析】（1）利用和与项的递推关系求出，注意验证首项是否满足.（2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解.题型二奇偶类数列【技巧通法·提分快招】1、等差数列中3、项数问题①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项；②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项；③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数；4、常见类型5、其他类型1．（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则．【答案】1故答案为：1【答案】故答案为：.3．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则．【答案】2故答案为：2(1)求数列的通项公式；（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.(1)求数列的通项公式；（2）法一：由（1）可得的通项公式，采用分组求和的方法，结合等比数列的前n项和公式及裂项相消求和；.法二：分奇偶项，由等比数列求和公式及裂项相消法求和.（2）方法一：方法二：所以是以4为首项，4为公比的等比数列，(1)求的通项公式；(2)证明见解析（3）对分奇偶，即可利用平方差公式，结合等差数列求和公式即可求解.(1)求的通项公式；【分析】（1）由已知及等比数列的性质求公比和首项，进而写出等比数列通项公式；（2）讨论n的奇偶性，结合数列通项公式及等差数列前n项和公式求；题型三插项类数列【技巧通法·提分快招】1、插入数构成等差数列2、插入数构成等比数列3、插入数混合型混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。【答案】B等差数列每两项之间插入k项，构成新的等差数列，故选：B.A．510 B．514 C．1022 D．1026【答案】B故选：B【点睛】关键点点睛：利用等差、等比数列通项公式求行列间的公差、公比，确定行列通项公式为关键.(1)求数列和的通项公式；(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，，…，，使，，，，成等差数列．（ⅰ）求；【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合数列前项和与数列通项公式的关系进行求解即可；（2）（ⅰ）根据等差数列的性质进行求解即可；（ⅱ）利用错位相减法进行求解即可.因为，，，…，成等差数列，(1)求的通项公式；(2)求的通项公式；(3)12182（3）根据新数列的形成规则，判断其前100项中数列，分别有多少项，再分组求和可求.（3）设在的前100项中，来自的有项.(1)求，，，及的通项公式；①求，的值；【分析】（1）根据数列中的每一项都能被2整除，可推出所求数列即为，进而写出前三项和通项公式；所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列，所以由，的公共项从小到大排列构成的数列为，②不存在，理由如下：(1)求数列和的通项公式；【分析】（1）根据等差数列基本量的计算确定其首项与公差，可得数列的通项公式；先根据等比中项的概念判断数列为等比数列，再求首项与公比，可确定数列的通项公式；（2）分别求前项中奇数项的和与偶数项的和，再相加即可.其中奇数项的和的求法为裂项相加求和法；可得数列为等比数列，设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为，【点睛】易错点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．题型四公共项数列【技巧通法·提分快招】在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法：1、不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式；2、周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．A． B． C． D．【答案】D故选：DA． B． C． D．【答案】A故选：A.【答案】剩余的项从小到大排序为4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…，且每两个相邻的公共项之间有5项，分别求和，可以看到这5项的和为一项构成的新数列是首项为70，公差为60的等差数列．故答案为：14，49600【答案】故答案为：.(1)求的通项公式；(2)已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和．【分析】（1）根据直线的方向向量求出直线方程，进而得到数列的递推关系，确定其为等比数列并求出通项公式；（2）因为数列是以4为首项，2为公差的等差数列，6．（2025·山东济宁·二模）将所有正整数按照如下规律形成数阵：第1行

1

2

3

……

7

8

9第2行……第3行

100

101

102

……

997

998

999第4行

1000

1001

1002

……

9997

9998

9999…………(2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为.（i）求，，；（ii）求.【答案】(1)是数阵第4行，第3097个数．所以，当且仅当为偶数时，可以取得正整数，所以，当且仅当为偶数时，数列有公共项，所以，是数阵第4行，第3097个数．百位和十位分别为12，此时有10个；十位和个位分别为12，此时有9个．①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个；②个位数字等于2时，前面位数有种取法，但这个位正整数中十位数字等于1的个正整数要去掉．故个位数字等于2且十位数字不等于1的位正整数有－个．题型五取整类数列【答案】(1)证明见解析(2)11．【分析】（1）应用递推公式结合等比数列定义证明即可；（2）根据等比数列求和公式应用指数函数单调性解不等式.【答案】(1)证明见解析(2)2022数列是单调递增数列，所以满足条件的最大整数为2022.(1)求及；【分析】（1）根据递推关系，结合等比数列的定义即可求解，(1)求：；【答案】(1)3；【分析】（1）用表示，利用分离常数法，借助整除思想求解.(1)证明数列为等比数列；【答案】(1)证明见解析(2)0【分析】（1）利用数列作差得到递推关系，再利用等比数列定义证明；所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.【答案】(1)证明见解析(3)6当为奇数时，为偶数.题型六存在项数列(2)求数列的前项和；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由等差数列的定义即可证明；（2）由错位相减法代入计算，即可得到结果；(2)存在.(1)证明：为等比数列；【答案】(1)证明见解析(3)不存在，理由见解析【分析】（1）由与的关系证明即可；所以是公比为的等比数列.(1)若是等差数列，求k的值；(3)是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．(3)存在，.综上，存在实数k满足题意，．(3)证明见解析【分析】（1）根据的定义即可求解；检测Ⅰ组重难知识巩固1．（2425高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（

）A．2 B．2 C．1 D．2或2【答案】D故选：DA．2 B．3 C． D．【答案】B故选：BA． B． C． D．【答案】A故选：A.A． B． C． D．【答案】C【分析】对n分奇数与偶数讨论，求出数列与数列的公共项，利用裂项相消法求和.故选：C．A．99 B．100 C．199 D．200【答案】C【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列，进而求出的通项，再利用错位相减法求和并解不等式即得.故选：C【答案】BCD【分析】求出数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可判断AB选项；利用数列的单调性可判断CD选项.对于B选项，数列的各项分别为：、、、、、、、、、、，数列的各项分别为：、、、、、、、、、、、，故选：BCD.【答案】755【分析】根据分组求和，结合等差求和公式求解.故答案为：755【答案】【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列奇数项与偶数项之间的关系进行求解即可.【详解】设等差数列的公差为，因为等差数列的项奇数项之和为140，偶数项之和为120，故答案为：【答案】【分析】将赋值可求得，即可求得；根据，及是等比数列可求得公比，求出，进而解不等式即可求解.故答案为：；.【答案】644【分析】首先得出数列是周期为3的周期数列，进一步可根据数列任意连续三项的和均为7，即可求解第一问，至于第二问分三种情况讨论即可求解.故答案为：6，44.(1)求数列的通项公式；(2)答案见解析.【分析】（1）设首项为，公差为，然后由题意及等差数列通项公式及前n项和公式可得答案.(1)求数列的通项公式；即数列是以为首项，为公比的等比数列，【答案】(1)证明见解析(2)所以满足条件的最大整数为为5.(1)求数列的通项公式及数列的前项和．【分析】（1）利用等差数列的求和公式与已知条件求出通项公式，再通过裂项相消法求出数列的前项和.（2）根据等比中项的性质列出等式，然后求解的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据已知条件进行化简，结合等比数列的知识求得正确答案.（2）先求得，然后利用分组求和法、数列的单调性来求得正确答案.所以满足条件的最大整数为.(1)求的通项公式；(2)5【分析】（1）根据递推公式得出等差数列再应用基本量运算得出通项公式；设的公差为，所以的最大值为5.【答案】(1)证明见解析（2）结合（1）的结论，利用等比数列的求和公式先求得，再根据二项式定理计算即可判定.【详解】（1）由题意可知，要使得为整数，故不存在正整数，使得为整数.(1)求和的通项公式；（2）分为奇数、偶数两种情况讨论，化简的表达式，利用错位相减法、裂项相消法结合分组求和法可求得.(3)在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(3)不存在，理由