2025-2026学年高二上学期数学第一次月考直线和圆的方程卷全解析

20252026学年高二数学上学期第一次月考直线与圆的方程卷全解析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章直线和圆的方程章节。5．难度系数：0.61。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1．【分析】根据两直线垂直列方程，化简求得的值.2．【分析】将直线方程化为斜截式方程，进而求得倾斜角，再求解夹角即可.所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，所以直线与的夹角是故答案为：3．3x2y=0或x+y5=0【分析】分截距为0时和截距不为0时两类讨论，分别求出直线的方程可得答案．解得a=5，所以直线方程为x+y5=0.综上，直线方程为3x2y=0或x+y5=0.故答案为：3x2y=0或x+y5=0.故答案为：.考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.8．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P，若光线QR经过△ABC的重心，则AP=．8．43.【分析】建立平面直角坐标系，求出直线BC与直线QR的解析式，即可得出AP【详解】由题意，如图建立直角坐标系：

则B(4，0)，C(0，4)，直线BC方程为x+y=4即y=−x+4，三角形重心为0+0+43，0+4+03即43，43，设直线QR斜率为4−a−04−−a=4−a4+a，直线方程为y=4−a4+a(x+a)过重心，即3a29．已知直线l:xsinα−ycosα+1=0α∈R①直线l的一个法向量是sinα,cosα；②直线l的斜率是tanα；③对任意α∈R，直线l都不过原点；④存在α∈R，使直线l与坐标轴围成的三角形面积小于1，所有正确命题的序号是．9．③【分析】①根据直线方程即可得出法向量；②根据直线方程即可得出斜率；③将0，【详解】由题意，在直线l:xsinα−ycosα+1=0α∈R中，直线的方向向量为n法向量为n2=sinα，−cosα，①错误；当α=当x=0，y=0时，代入直线方程得，l:1=0，显然不存在，故对任意α∈R，直线l都不过原点，③正确；当直线和两坐标轴都相交时，交点为三角形的面积为121cosα⋅1sinα使直线l与坐标轴围成的三角形面积小于1，④错误，故答案为：③.10．设a∈R，k∈R，三条直线l1:ax−y−2a+5=0，则l1与l2的交点M到l3的距离的最大值为10．5+2/2+5.【分析】根据直线l1与l2的的方程易知l1⊥l2，而得到l1与l2的交点M在以AB为直径的圆上，求出圆心和半径，结合到原点的距离加半径解出．【详解】因为a×1+−1×a=0，所以l1⊥l2．而直线l1:ax−y−2a+5=0，整理为ax−2−y+5=0，令x−2=0−y+5=0，解得：x=2y=5，故l1过定点A2,5，l2:x+ay−3a−4=0，变形为x−4+ay−3=0，过定点B4，3，所以l1与l2的交点即(3−0)2+(4−0)已知圆O:x2+函数fx=loga2x−1+2AC，BD，则四边形ABCD面积的最大值为11．5【分析】先根据相切求半径，再求出定点，最后求得四边形ABCD面积的表达式，结合基本不等式求得面积的最大值.【详解】由题意圆O:x2+y2半径为d=r=|−10|32+42=105作OE⊥AC，OF⊥BD垂足分别为E、F，∵AC⊥BD，∴四边形已知OA=OC=2，OP=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d四边形ABCD的面积为：S=1从而：S=1当且仅当d12=d22时即上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分；选择题(本题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516题每题5分；每题有且只有一个正确选项)A.①②B.①③C.②③D.①②③13．D【分析】根据倾斜角、斜率的知识对个命题进行分析，由此确定正确答案.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14．A【分析】根据直线与圆相交的判定，充分条件，必要条件即可求解15.已知平面向量a，b，c满足：a=b=c=1，aA．172 B．2 C．5215.【答案】A【分析】如图，⊙O为单位圆，A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，根据相似三角形和向量的运算，结合向量的几何意义即可求出．【详解】如图，⊙O为单位圆，A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠BOA=πB′在OB的延长线上，OB′=2，B′′为OB中点，A′为OA中点，A′′在OB的延长线上，OA′′=2，设a=OA，b=OB，C为⊙O上一点，c=OC，则OA′OC′=OC2c−∴|2cPQ的最小值，再求P，Q两点之间的极距.【详解】如图示：在平面直角三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第1719题每题14分，第20、21题每题18分.)17．已知m∈R，设直线l1：x−my+1=0，直线l2：mx−4y−m+4=0.（1）若l1（2）当l1与l2相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点17．（1）m=−2；（2）Im−2m+2,2m+2，点【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得m，然后验证是否重合可得；（2）联立直线方程求解可得点I的坐标，然后消参可知点I在定直线上.【详解】（1）因为l1∥l2，所以当m=2时，直线l1：x−2y+1=0，直线l2：2x−4y+2=0即当m=−2时，直线l1：x+2y+1=0，直线l2：−2x−4y+6=0即x+2y−3=0，符合题意，故（2）由（1）知，当l1，l2相交时m≠±2，联立x−my+1=0mx−4y−m+4=0，解得x=因为x+2y=m−2m+2+2×2m+2=m+218．已知直线l:2x−3y+1=0，点A(−1，（1）求点A关于直线l的对称点B的坐标；（2）直线l关于点A对称的直线m的方程；（3）以A为圆心，3为半径长作圆，直线n过点M(2，2)，且被圆A截得的弦长为2718．（1）B(−3313，413)；（2）【分析】（1）设点B(m,n)，由A,B关于直线l对称，列出方程，解得m,n，得到点B的坐标；（2）设P(x,y)是直线m上任意一点，则点P关于点A的对称点在直线l，用代入法可求得直线m的方程；（3）用垂径定理将弦长为27，转化为圆心A到直线n的距离为2，设出直线n的方程，用点到直线的距离公式求解，注意考虑直线n【详解】解：（1）设点B(m,n)，则n+2m+1⋅2即点A关于直线l的对称点B的坐标为(−33（2）设P(x，y)是直线m上任意一点，则点P(x，y)在直线l上，所以2(−2−x)−3(−4−y)+1=0，即2x−3y−9=0；（3）设圆心A到直线n的距离为d，直线n被圆A截得的弦长为27，因此d=当直线l斜率不存在时，x=2不满足条件；当直线l斜率存在时，设其方程为y−2=k(x−2)，则|3k−4|1+解得k=12±307，综上，直线l的方程为y=和王叔叔分别需上门走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过叶阿姨家(点)的东西和南北走向的街道，且王叔叔家在叶阿姨家的东偏北45度方向，以点0为坐标原点，（1）求出k，并写出叶阿姨和王叔权负责区域边界的曲线方程；碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间(两人所走的路程之和最短)？并给出理由.【分析】（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径.20.如图，已知满足条件z−3i=3−i为圆C（圆心为C），设复平面xOy上的复数z=x+yix,y∈R对应的点为x，x+3y+6=0，过A−1,0的一条动直线l与直线m相交于N点，与圆C相交于P、QM是弦PQ中点．（1）若直线l经过圆心C，求证：l与m垂直；（2）当PQ=23时，求直线（3）设t=AM⋅AN，试问t是否为定值？若为定值，请求出t20．（1）证明见解析；（2）x+1=0或4x−3y+4=0；（3）是，t=−5【分析】（1）通过圆心C和A计算出l的斜率kl，m的斜率已知为km，计算kl⋅k对直线l的斜率是否存在分类讨论，利用几何方法PQ=2R2−d圆的半径）求解斜率；（3）对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，斜率不存在时通过数值直接计算即可；斜率存在时，l先与圆的方程联立求从而求解出AM的坐标表示，同理l与m联立求解出AN的坐标表示，由此计算t是否为定值.【详解】（1）因为z−3i=3−i，所以C:又因为A−1,0，所以kl=3−00−−1=3，而k（2）当直线l的斜率不存在时，l:x=−1，此时d=1，所以PQ=2当l的斜率存在且为k时，l:y=kx+1，即kx−y+k=0，则d=所以由PQ=2R2−d2=2综上：直线l的方程为x+1=0或4x−3y+4=0（3）当直线l的斜率不存在时，易知M−1,3所以AM=0,3,AN=当直线l的斜率存在且为k时，设l:y=kx+1，P联立y=kx+1x2+y−3所以xM=x1+x2又由y=kx+1x+3y+6=0，可得N−3k−6故t=AM⋅AN=−15k−5【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，难度较难：（1）复数的常见轨迹问题：z−z0=rr>0表示以z0对应的点为圆心，半径为r的圆；z−z1图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上，然后分⊙T的圆心在y轴的正半轴上时和当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时结合切线长定理两种情况求解【详解】（1）①P1，P3；如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠PMT=∠PNT=90°，∴TP=2TM，以T为圆心，TP为半径作⊙T，观察图象可知：当60°≤∠MPN<180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点).如图中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知，P1，P3是⊙O的环绕点，故答案为P1，P3.连接OK，由题意B(0，b)，A(2b，0)，线段AB上存在⊙O的环绕点，根据对称性可知：包括射线OM，ON上；当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时