专题03锐角的三角比（期中复习讲义）

专题03锐角的三角比（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律三角比的基本概念能结合直角三角形的边角关系，准确写出任意一个锐角的三种三角比表达式。熟记特殊锐角的三角比数值。基础必考点，在小题和解答题中均有涉及，包括直接默写、代入计算以及结合其他数学知识进行化简计算。锐角三角比的性质掌握锐角三角比随角度变化的规律，能根据这一性质比较两个锐角三角比的大小。明确同角三角比的基本关系。重点考查根据同角三角比的关系求值以及解直角三角形中简单的边长或角度计算。解直角三角形熟练掌握解直角三角形的基本类型及解法。能将实际问题转化为解直角三角形的数学问题。热门考点，以实际生活中的测量、航海、建筑等问题为背景，考查学生的数学建模能力和知识应用能力。题目难度有逐渐提升的趋势，常与其他几何图形结合考查。知识点01锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．定义表达式取值范围相互关系正切（为锐角）余切（为锐角）正弦（为锐角）余弦（为锐角）知识点02特殊锐角的三角比的值11知识点03锐角的三角比性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小；知识点04解直角三角形的基本类型在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．（1）三边之间的关系：（2）锐角之间的关系：（3）边角之间的关系：知识点05解直角三角形的应用1.仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．2.方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．3.坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作．题型一角的正弦值及其应用A． B． C． D．【答案】A故选A．【答案】80故答案为：80．∵与x轴正半轴夹角的正弦值为，【典例4】（2425九年级上·上海·期中）以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，、、、均在格点上．∴小明的画法是正确的；（2）解：如图所示，取格点，连接交于点，则点即为所求；【变式1】（2425九年级上·上海浦东新·期中）已知直角三角形两直角边长分别为和，那么较小锐角的正弦值是．【答案】【详解】解：因为直角三角形两直角边长分别为和，所以较小锐角的正弦值为：．故答案为：．【答案】8故答案为：8．(1)求的长；题型二角的余弦值及其应用A． B． C． D．【答案】C故C不符合题意；故选：C【答案】B【详解】解：如图，故选：．【答案】也是对角线的交点，且与垂直平分，、分别是、的中点，故答案为：【答案】故答案为：．题型三角的正切（余切）值及其应用【答案】B故选：B．【答案】8故答案为：8．

(1)求平移后直线的表达式；A． B．2 C． D．【答案】B故选：B．

【答案】故答案为：．题型四特殊角三角比的混合运算【答案】2．【答案】题型五解直角三角形的相关计算(1)求的长；【答案】A【详解】解：如图，故选：．

题型六解直角三角形中的翻折与旋转问题【答案】或依题意有以下两种情况：当点在线段上时，则点在的延长线上，如图所示，由翻折的性质得：是的垂直平分线，当点在的延长线上时，则点在线段上，如图所示，故答案为：或．【答案】15故答案为：15．

【答案】

故答案为：．【详解】解：当点在延长线上时，如图所示，过点作的垂线，垂足为，同理可得，题型七仰角俯角问题【典例1】（2425九年级上·上海闵行·期中）进博会期间，从一架离地200米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是米．【详解】解：如图，【典例2】（2425九年级上·上海普陀·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到高度为60米的处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为27米，则2号楼的高度为米(结果保留根号)．为的中点，【答案】米．答：树的高度约为米．(1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由；两楼的间距符合规定；（2）解：延长，交于，【变式2】（2425九年级上·上海·期中）根据背景素材，探索解决问题：测算发射塔的高度背景素材博雅小组在一幢楼房窗前测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A、B、C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．问题解决任务1获取数据选择两个观察位置：点______和点______．任务2推理计算直接写出所选位置且需要的观测角的正切值：______________；直接写出已测得且需要的线段的图上距离：_______________．计算发射塔的图上高度．任务3换算高度楼房的实际宽度为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．【详解】解：任务1：选择点和点（答案不唯一），故答案为：、（答案不唯一）；设发射塔的实际高度为，由题意得，题型八方位角问题

(1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？(2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围．答：若轮船继续向正东方向航行有触礁危险．题型九坡度坡比问题A． B． C． D．【答案】A∴斜坡的坡角等于故选：A．

【答案】70【详解】解：如图，

故答案为：70．【答案】米答：坝底的长度为米．题型十解直角三角形其它应用【典例2】（2425九年级上·上海·期中）材料阅读：问题解答：素材2：小磊同学要携带如图3的长方体行李箱进站．（单位：）问题解决任务1确定宽度求闸机通道的宽度，即与之间的距离．任务2确定高度任务3能否通过小磊同学的行李箱是否可以通过闸机？请说明理由．【详解】任务1：如图，连接，并向两边延长，分别交，于点，，∴的长度就是与之间的距离，即点A离地面的距离约为13.7分米；期中基础通关练（测试时间：10分钟）【答案】B【详解】解：画图如下：故选：B．A． B． C． D．任意度数【答案】A故选：A．A． B． C． D．【答案】D故选：D．【答案】60故答案为：．【答案】故答案为：【答案】故答案为：4．【答案】．期中重难突破练（测试时间：10分钟）【答案】故答案为：．【答案】(1)求边的长；∵E是边的中点．(1)求点D的铅垂高度；(2)求旗杆的高度．【详解】（1）解：延长交射线延长线于点，答：点的铅垂高度是米.答：旗杆的高度约为7.7米.5．（2425九年级上·上海·期中）小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.0米）．(1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米）(2)小华一家决定在该小区B、C两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息：3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高，每增加一层单价增高0.2万元；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高．每增加一层单价也增高0.2万元．请你帮小华家计算一下，在确保全年光照充足情况下，如何购买费用最少？并求出最少费用？【详解】（1）解：如图所示：∴两栋住宅楼的楼间距至少为78.6米；

∵楼一层每平方米4万8，每增加一层单价增高0.2万元，∵楼一层每平方米5万，每增加一层单价也增高0.2万元，∴买C栋2层所花费用最少，最少费用为520万元．(1)请帮助小王完成推理过程，填空：小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下．师：（1）证明的关键是什么？师：同理可得．(2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明：小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题：（要