重难点培优10导数中二阶导与洛必达法则的应用（复习讲义）

重难点培优10导数中二阶导与洛必达法则的应用目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"12"\h\u01知识重构・重难梳理固根基 102题型精研・技巧通法提能力 4题型一二阶导与函数单调性（★★★★★） 4题型二二阶导与函数的极值、最值（含恒成立问题）（★★★★★） 7题型三二阶导解决函数零点问题（★★★） 14题型四二阶导解决不等式证明（★★★★） 21题型五利用二阶导解决其他类型问题（★★★） 28题型六洛必达法则（★★★★★） 3403实战检测・分层突破验成效 36检测Ⅰ组重难知识巩固 36检测Ⅱ组创新能力提升 54一、二阶导函数1、前言导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，所以在高考中就可能用到二阶导数。2、二阶导的用法一阶导数最小值大于等于0一阶导数最大值小于等于0一阶导数无法判断单调性我们对一阶导数或对其中不能判断符号的部分进行求导通过二阶导数求出一阶导数的最值通过二阶导数求出一阶导数的最值原函数单调增增原函数单调递增一阶导数最小值大于等于0一阶导数最大值小于等于0一阶导数无法判断单调性我们对一阶导数或对其中不能判断符号的部分进行求导通过二阶导数求出一阶导数的最值通过二阶导数求出一阶导数的最值原函数单调增增原函数单调递增3、解决这类题的常规解题步骤为①求函数的定义域；⑤解答问题.4、函数极值的第二判定定理5、二阶导“失效”，结合隐零点思路如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，即用隐零点的思路确定一阶导数的零点的大致位置，如下：二、洛必达法则1、前言在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。2、洛必达法则定义在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。3、法则形式【特别提醒】（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题.4、适用类型的转化题型一二阶导与函数单调性【技巧通法·提分快招】方法二次求导使用情景解题步骤【答案】B故选：B．(2)证明见解析【分析】（1）根据三角函数的性质，利用导数研究函数的值域即可；题型二二阶导与函数的极值、最值（含恒成立问题）【技巧通法·提分快招】【答案】故答案为：因为，【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.【答案】证明见解析【分析】（1）利用二次导数判断函数的单调性；(2)2，理由见解析.【分析】（1）根据题意和求导的运算法则计算即可求出a，结合极值点的定义即可求解；(2)证明见解析.【分析】（1）分别求切点坐标和切线斜率，利用点斜式可得切线方程；题型三二阶导解决函数零点问题【答案】B所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意.【答案】ACD故选：ACD.【答案】(1)答案见解析(2)无交点，理由见解析(2)证明见解析02+00极大值(2)证明见解析【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线并化简即可；(2)3个零点.【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；（2）首先判断函数的单调性以及导数的单调性，再结合零点存在性定理，判断函数零点的个数.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是判断是判断导函数的单调性，以及导函数的极值，以及零点存在性定理中端点的取值，并多次构造函数说明不等式问题.题型四二阶导解决不等式证明【答案】(1)1(2)证明见解析(2)证明见解析（2）二次求导，利用导数判断函数的单调性，写出函数的最小值，判断最小值大于即可得证.【答案】(1)1(3)证明见解析【分析】（1）求函数斜率为2的切线方程，根据平行线间的距离公式求的值.【点睛】方法点睛：本题主要考查导数的几何意义、函数的零点问题，考查考生的逻辑思维能力，考查数形结合思想的应用．已知函数有零点求参数的取值范围的常用方法：①直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；②分离参数法，将参数分离，转化为函数的值域问题加以解决；③数形结合法，首先对解析式变形，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合法求解．(2)证明见解析【分析】（1）进行二次求导，分析单调性即可求解.也为最小值，【点睛】利用导数比较大小、利用导数证明不等式，常常通过构造函数，把不等式转化为确定函数的单调性，利用单调性得函数值的大小，为此需要求导，利用导数确定单调性，在此过程中可能需要多次求导（当然需要多次构造函数）才能得出最终结论．【答案】(1)1(2)证明见解析【点睛】关键点睛：解决双变量问题的关键是寻找两变量之间的关系，并通过换元，将双变量不等式问题转化为单变量不等式问题，再构造新函数，利用导数解决函数问题.题型五利用二阶导解决其他类型问题(3)2025【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；（2）根据不等式有解，转化为求函数的最小值，利用二次函数求最小值即可得解；（3）利用导数求出函数的对称中心，根据对称中心的性质求值.【答案】(1)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；0+(1)求的值；(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义，结合倾斜角互补即斜率互为相反数即可求解；【点睛】方法点睛：求两函数的“隔离直线”的方法：题型六洛必达法则A．2 B．1 C．0 D．2【答案】A【分析】根据洛必达法则直接求导并代入计算即可.故选：A.检测Ⅰ组重难知识巩固【答案】C故选：C.A． B． C． D．【答案】D故选:.【答案】C故选：C．【答案】AC故选：AC【答案】故答案为：【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求斜率,根据点斜式即可求解切线方程,（2）利用导数确定函数的单调区间.(2)证明见解析【分析】（1）根据已知切线斜率等于求导函数在切点处的值列式求解即可；（2）根据导函数正负与原函数单调性的对应关系，多次求导确定导函数正负即得证.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【答案】(1)0；(2)证明见解析.所以函数的最小值为0.(2)证明见解析【分析】（1）求函数导数得切线斜率，进而由点斜式得切线方程；(2)见解析【分析】（1）求导，根据函数的单调性求解最值即可，【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】【详解】（1）（2）【点睛】(i)求实数的取值范围；检测Ⅱ组创新能力提升【答案】B故选：B【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值，对需进行合理的分类讨论.【答案】(1)有一个极值点，理由见解析a的取值范围为．【分析】（1）构造差函数