重难点培优12导数中的不等式证明问题（复习讲义）

重难点培优12导数中的不等式证明问题目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"12"\h\u01知识重构・重难梳理固根基 102题型精研・技巧通法提能力 4题型一常规构造差函数型（★★★★★） 4题型二同构构造函数型（★★★★★） 8题型三换元后构造函数型（★★★★★） 15题型四利用放缩法（含切线放缩、泰勒展开）（★★★★） 19题型五利用隐零点（★★★★★） 24题型六利用凹凸反转（★★★★） 28题型七含多变量型（★★★★） 30题型八导数结合三角函数（★★★★） 38题型九导数结合数列（★★★★★） 4503实战检测・分层突破验成效 51检测Ⅰ组重难知识巩固 51检测Ⅱ组创新能力提升 69一、导数证明不等式，核心思维如下：1、构造对应的函数不等式，用导数证明不等式成立.2、构造函数常见思路(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋lnx（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立.②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋lnx（x＞0，且x≠1）.(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．（5）同构构造函数3、利用函数不等式来放缩.涉及到求和或者求积型不等式，放缩有以下两个思维（1）先放缩再求和证明；（2）先求和再放缩证明.4、切线放缩放缩的结构（1）指数函数的切线不等式（2）对数函数的切线不等式（3）三角函数的切线不等式5、基于泰勒展开的结构（1）常见函数的泰勒展开式（2）由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式二、证明不等式的一般思维和基本步骤（1）作差或变形；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．三、不等式证明的“借式子”思维：首先作为第二问不等式证明中，关键需要利用（1）中的结论，得出符合证明的不等式，或者符合证明方向的不等式放缩条件式子，这需要结合（1）中的结论，巧妙赋值，适当凑配.其次，还需要联想要证的不等式的大小关系，构造函数合适的函数关系式，得出放缩关系.题型一常规构造差函数型【技巧通法·提分快招】证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；1．证明不等式：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(2)；证明见解析.（2）（i）利用常规求导来判断函数的单调性，即可求得最小值；(2)(3)证明见解析【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程；（2）分离参数，构造函数，求导根据导数判断函数的单调性与最值，进而确定参数范围；即的最小值为；【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．题型二同构构造函数型【技巧通法·提分快招】(2)证明见解析故原不等式得证.(2)证明见解析（2）根据题意求出参数，构造函数，利用导数研究函数的最值即可证明；（3）构造函数，利用导数研究函数的最值进而列出不等式求解即可.(1)求实数的值；(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）对于切线方程，需要先求出函数在该点的导数，得到切线斜率，再结合该点坐标求出切线方程；（2）对于函数的单调性和极值，通过求导，根据导数的正负判断函数单调性，进而求出极值；00单调递增极大值单调递减【答案】(1)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）先求导，对分类讨论即可求解；现证当时上式成立：题型三换元后构造函数型（i）求实数的值；【答案】(1)；(2)（i）1；（ii）证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而确定倾斜角大小；(2)答案见解析；(3)证明见解析.(2)证明见解析；【分析】（1）应用导数研究函数的区间单调性；题型四利用放缩法（含切线放缩、泰勒展开）【技巧通法·提分快招】1、常见不等式（大题使用需要证明）(2)1(3)证明见详解（2）利用导数研究函数的单调性，进而可求最小值；(2)证明见解析.【答案】证明见解析【分析】利用参数的范围对函数进行放缩，结合的泰勒公式放缩证明.【答案】证明见解析所以原题得证.根据以上三段材料，完成下面的题目：题型五利用隐零点(2)证明见解析【答案】(1)极小值为，无极大值(3)证明见解析（2）对参数的取值分类讨论，利用导数为正，函数单增，导数为负，函数单减进行判断即可；(3)证明见解析.题型六利用凹凸反转【技巧通法·提分快招】2、利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步①利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件②利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调③若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件题型七含多变量型【分析】（1）分类讨论利用导数求最值判断不等式恒成立的条件；（ⅰ）求实数m的取值范围；【答案】(1)答案见解析；(1)求实数的取值范围；(2)证明见解析【分析】（1）将函数有三个极值点转化为导函数有三个变号零点，然后构造函数，利用函数的奇偶性、单调性等研究函数的零点即可；【点睛】方法点睛：对于多元不等式的证明，通常采取多元化一元，然后构造函数，利用导数讨论单调性，利用单调性进行证明，多元化一元时可采取换元，或寻找各元之间的联系进行代换.（ⅰ）求实数的取值范围；【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义建立方程组，解之即可；所以的值为.而上面两个等号不是同时取到，题型八导数结合三角函数【技巧通法·提分快招】对于含有三角函数型不等式证明：1、证明思路和普通不等式一样。2、充分利用正余弦的有界性(3)证明见解析【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得极值；（2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值；(3)证明见解析【分析】（1）求导后借助因式分解与二次函数的性质可得其导函数的正负，即可得其单调性；【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用给定的定义列出恒成立的不等式，再分离参数，结合反比例函数单调性求解.题型九导数结合数列【技巧通法·提分快招】2、累加列项相消证明法(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而得解；【答案】(1)0；(2)答案见解析；(3)证明见解析；【分析】（1）利用导函数分析函数的单调性，求最值即可；（2）求出导函数，分类讨论单调性即可；（3）利用（1）小问的结论，构造出不等关系，利用累加法即可证得结论.(2)证明见详解.（ii）函数无极值，等价于导函数不存在变号区间，根据（i）的讨论结果，即可判断；原式得证.检测Ⅰ组重难知识巩固1．求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【答案】(1)个，理由见解析(2)证明见解析(2)证明见解析(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出函数的最大值即可,【答案】(1)答案见解析(3)证明见解析故原不等式成立.(2)证明见解析.(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数求出函数的极值.（3）根据所证不等式构造函数，利用导数求出最小值即可得证.【答案】(1)0(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，即得函数的极小值即最小值；（i）求a的取值范围；(2)证明见解析【分析】（1）求导，分类讨论导数符号即可得解；【答案】(1)答案见解析(2)(3)证明见解析（i）求a的取值范围；【答案】(1)证明见解析【答案】(1)最大值为0；(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）借助导数，研究函数单调性，进而得到极值最值；（2）借助前面证明，运用对数的性质进行裂项，再累加求和即可；(1)求实数的值.(3)证明见解析．检测Ⅱ组创新能力提升（i）求a的值；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）由函数解析式求导，利用导数与函数单调性的关系，根据分类讨论思想，可得答案；（2）（i）利用导数求得函数的最值，整理方程并构造函数，利用导数求得新函数的单调性，根据方程与函数的关系，可得答案；（ii）由题意整理方程并构造函数，利用导数分别求得两个新函数的单调性与最值，再根据不