专题33直线与椭圆的位置关系（举一反三讲义）数学人教A版选择性

专题3.3直线与椭圆的位置关系（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"13"\h\u【题型1点与椭圆的位置关系】 1【题型2直线与椭圆的位置关系的判定】 3【题型3根据直线与椭圆的位置关系求参数】 5【题型4椭圆的弦长问题】 7【题型5椭圆的“中点弦”问题】 10【题型6椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 13【题型7椭圆中的参数范围及最值】 16【题型8椭圆中的定点、定值问题】 22【题型9椭圆中的定直线问题】 27【题型10椭圆中的向量问题】 33知识点1点与椭圆的位置关系1．点与椭圆的位置关系(1)点与椭圆的位置关系：【题型1点与椭圆的位置关系】【例1】（2425高二上·河南南阳·阶段练习）点1,1与椭圆x225+y2A．点在椭圆上 B．点在椭圆内C．点在椭圆外 D．不确定【答案】B【解题思路】将点代入椭圆即可求解.【解答过程】由于125+19<1故选：B.【变式11】（2425高二上·四川广安·阶段练习）点Aa,1在椭圆x24+yA．−2,2C．−2,2 D．−1,1【答案】B【解题思路】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果.【解答过程】因为点Aa,1在椭圆x所以a24+故选：B.【变式12】（2425高二上·吉林四平·阶段练习）已知椭圆C:x24A．1,1 B．2C．2,2 【答案】C【解题思路】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于1的点即为答案.【解答过程】由椭圆方程为C:x因为14+1因为24+1因为24+2因为144+故选：C.【变式13】（2425高二上·全国·课堂例题）已知直线mx+ny−5=0与圆x2+y2=5没有公共点，则点Pm,n与椭圆xA．在椭圆内 B．在椭圆外C．在椭圆上 D．不确定【答案】A【解题思路】由直线与圆没有公共点得m2+n【解答过程】∵直线mx+ny−5=0与圆x2∴圆心(0,0)到直线的距离d=5m2∴0≤m又∵m∴点Pm,n故选：A.知识点2直线与椭圆的位置关系1．直线与椭圆的位置关系(1)直线与椭圆的三种位置关系类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点；Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点；Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点.【题型2直线与椭圆的位置关系的判定】【例2】（2425高二上·江西·期末）直线xa+yb=1与椭圆x2aA．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【解题思路】由直线与椭圆的位置关系求解即可.【解答过程】因为直线xa+y而a,0,0,b为椭圆故直线xa+y故选：C.【变式21】（2425高二上·重庆·期末）已知直线l的方程为mx+y+2m=1，椭圆C的方程为x29+y24=1A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定【答案】B【解题思路】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系.【解答过程】mx+y+2m=1，即mx+2+y−1=0，令x+2=0y−1=0则直线所过定点−2,1，代入椭圆方程，−22则直线l与椭圆C的位置关系为相交.故选：B.【变式22】（2425高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆C:x24+y2=1，直线l:x−2y+A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对【答案】A【解题思路】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解.【解答过程】由x−2y+2=0x2+4y2因此方程组x−2y+2所以l与C相交.故选：A.【变式23】（2425高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线l:a+2x+1−ay−a+5=0，椭圆C:x2A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切【答案】D【解题思路】首先判断直线l所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系.【解答过程】直线l：ax−y−1令x−y−1=02x+y−5=0，解得：x=2，y=1所以直线l恒过定点2,1，226+123=1，所以点2,1故选：D.【题型3根据直线与椭圆的位置关系求参数】【例3】（2425高二上·江西·阶段练习）若直线l：y=x+m与椭圆C：x29+y25A．−2,2 B．−C．−14,14【答案】D【解题思路】利用直线方程和椭圆方程后利用判别式可求m的取值范围.【解答过程】由y=x+m5x2故Δ=324m2−569故选：D.【变式31】（2425高二上·福建福州·期末）已知椭圆x2a2+y2bA．3 B．2 C．3 D．3.9【答案】A【解题思路】由椭圆与直线相切，得a2【解答过程】联立椭圆方程与直线方程得x2a2依题意，Δ=256b4因为a>b>0，所以a2>b对比选项可知a的值不可能是3.故选：A.【变式32】（2425高二上·浙江温州·期中）已知直线l:y=x+m与椭圆C:x24+yA．−7,7C．−6,6【答案】A【解题思路】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式Δ≥0，即可解出m【解答过程】直线y=x+m代入椭圆方程消去y得：7x∵直线与椭圆有公共点，方程有解，∴Δ=64解得−7≤m≤7，即m故选：A.【变式33】（2425高二上·河南·期中）已知t∈R，若关于x的方程1−2x2=x+t有两个不相等的实数根，则tA．22,6C．22,2【答案】A【解题思路】出y=1−2x2【解答过程】由题意，y=1−2x2表示焦点在y当直线y=x+t经过A点时，t=22，当直线由y=1−2x2所以Δ=4t2根据图象，t的取值范围为22故选：A.知识点3弦长与“中点弦”问题1．弦长问题(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.2．“中点弦问题”(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.(2)弦的中点与直线的斜率的关系【题型4椭圆的弦长问题】【例4】（2425高二上·山西晋中·期中）经过椭圆x22+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60∘的直线l，直线l与椭圆相交于AA．47 B．827 C．2【答案】B【解题思路】先求得直线故直线l的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解.【解答过程】解：在x22+y2所以c2=a故左焦点为F1−1,0，而故直线l的方程为y=3联立x22+Δ=122−4×7×4>0，设由韦达定理得x1+x则由弦长公式得AB=故选：B．【变式41】（2425高二上·浙江温州·期中）直线l：y=−2x+1在椭圆y22+A．103 B．253 C．8【答案】D【解题思路】联立直线与椭圆方程得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理x1+x【解答过程】设l与椭圆交于Ax联立y=−2x+1y22且Δ=−42所以AB=故选：D.【变式42】（2425高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆C:x24+y2=1，过原点O且倾斜角为πA．105 B．2105 C．3【答案】D【解题思路】依题写出直线的点斜式方程,与椭圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得.【解答过程】依题意，可得直线的方程为：y=x，代入x24+当x=255，y=255；当则AB=故选：D.【变式43】（2025高二上·江苏·专题练习）已知椭圆E:x29+y25=1的左焦点为F，过F的直线l与E交于A．若直线l垂直于x轴，则ABB．ABC．若AB=5，则直线l的斜率为D．若AF=2BF【答案】B【解题思路】依题意设出直线方程，结合弦长公式分别判断ABC选项，再结合向量及焦半径长度公式可判断D选项.【解答过程】依题意，椭圆E:x29+y25对于A选项，l⊥x轴，直线l:x=−2，由x29+y2对于B选项，l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+2由x29+y2则x1+xAB=1+k2⋅x1显然k2+1≥1，于是得103由选项A知，当l⊥x轴时，AB=103对于C，当AB=5时，由选项B得309−4对于D，因AF=2BF，有FA=2BF，则而−3≤x1≤3同理FB=3+23x2于是得x2因此AB=故选：B.【题型5椭圆的“中点弦”问题】【例5】（2425高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知椭圆C:y24+x23=1，直线l与椭圆C相交于A,B两点.若线段ABA．4x+3y−7=0 B．3x+4y−7=0C．4x−3y−1=0 D．3x−4y+1=0【答案】A【解题思路】设Ax1,y1【解答过程】设Ax若x1=x2，则AB的中点在x轴上，而AB的中点坐标为则4x12即4x由于弦AB的中点坐标为1,1，故y1所以y1−y2x故直线AB的方程为y−1=−43x−1故选：A.【变式51】（2425高二上·湖北·阶段练习）过点M2,1的直线l与椭圆x28+y26=1相交于A,B两点，且A．23 B．−23 C．3【答案】D【解题思路】由弦中点坐标利用点差法计算可得直线l的斜率.【解答过程】显然M2,1在椭圆x当直线l的斜率不存在，即直线l方程为x=2时，可得A2,3，B2,−3或此时M2,1不是线段AB所以直线l的斜率存在，设Ax1,则x128又x1+x2=4解得k=−3故选：D.【变式52】（2425高二上·陕西西安·阶段练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F3,0A．x245+C．x227+【答案】D【解题思路】因为MN的中点坐标为1,−1，设Mx1,y1，Nx2,y2代入椭圆方程相减，利用【解答过程】设Mx1,y1，Nx2若MN的中点坐标为1,−1，所以直线MN的斜率kMNMx1,y1两式相减得x1即y1也即y1所以a2又c2所以a2所求的椭圆方程为x2故选：D.【变式53】（2425高二上·北京·阶段练习）设直线l:y=x+m与椭圆E:x24+y23=1相交于A、BA．y=34xC．y=−34x【答案】C【解题思路】先通过联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出中点坐标，再根据中点坐标的关系得出中点所在直线方程.【解答过程】将直线方程y=x+m代入椭圆方程x24+展开式子化简为7x根据韦达定理，所以x1又因为中点横坐标x0已知y0=x0+m因为y0x0所以线段AB的中点所在的直线方程为y=−3故选：C.【题型6椭圆中的三角形（四边形）面积问题】【例6】（2425高二上·山东济宁·阶段练习）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴，过点FA．627 B．427 C．【答案】A【解题思路】利用条件先确定椭圆的方程，结合点到直线的距离公式、弦长公式计算三角形面积即可.【解答过程】设椭圆焦距2c，则由题意知c=1=a2−所以C:x24+y23联立x24+y2所以AB=易知O到直线AB的距离为：d=12，所以△AOB的面积为故选：A.【变式61】（2425高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆C:x25+y24=1的左､右焦点分别是F1,F2，直线y=x+m与A．−23 B．−13 C．−3 【答案】B【解题思路】先联立方程组得出判别式大于0，得−3<m<3,再根据点到直线距离得出参数.【解答过程】联立x25+因为直线y=x+m与C交于A,B两点，所以Δ=100m解得m2<9,即得由已知△F1AB的面积是△−1+m2=21+m2m=−3时，不合题意，故m=−1故选：B.【变式62】（2425高二上·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆G:x2a2+y2b(1)求椭圆G的方程；(2)设斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，若△PAB是以P为顶点的等腰三角形，求△PAB的面积．【答案】(1)x2(2)10【解题思路】（1）根据离心率以及c=2即可求解，进而可得b得解.（2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，即可根据垂直关系求解m=1，根据弦长公式以及三角形面积公式求解.【解答过程】（1）由已知得c=2，ca=2故b=a即椭圆G的方程为x2（2）设直线l的方程为y=x+m，设Ax1,y1，B联立直线l与椭圆G，得3x2由韦达定理，x0=x由题意，PE⊥AB，因此PE的斜率为k=−43此时①式为3x2+4x−6=0点P1,−43到直线l所以△PAB的面积S=【变式63】（2425高二上·北京·阶段练习）已知椭圆E:x2a2+(1)求椭圆E的方程；(2)已知F1、F2是椭圆E的左、右焦点，P是第一象限内椭圆E上的一点，分别连接PF1,PF2并延长交椭圆E于点Q【答案】(1)x(2)2【解题思路】（1）依题意可得b=1ca=22a2（2）设点P的坐标为x0,y0x0>0,y0>0，则直线PF【解答过程】（1）依题意可得b=1ca=所以椭圆E的方程为x2（2）由（1）可得F1−1,0，设Px0,直线PF1:y=消去y得2y解得xQ则yQ即Q1同理可得Q所以S==8当且仅当x0所以S1−S【题型7椭圆中的参数范围及最值】【例7】（2425高二上·广东深圳·阶段练习）椭圆x216+y212=1上的点到直线A．255 B．455 C．【答案】B【解题思路】设与直线x−2y−12=0平行且与椭圆相切的直线方程为x−2y+m=0，联立方程求得m的值，进而求得两平行线间的距离得到最小值．【解答过程】设与直线x−2y−12=0平行且与椭圆相切的直线方程为x−2y+m=0，联立方程x216+y2所以Δ=144m2当m=−8时，两平行直线的距离为45当m=8时，两平行直线的距离为205所以最小值为45故选：B．【变式71】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，上顶点为A.若存在直线l与椭圆交于不同的两点B，A．−2,0 B．−32,0 【答案】A【解题思路】设B,C坐标，利用三角形重心的坐标表示得出B,C坐标的关系式，结合点差法表示出l的斜率，再利用对勾函数的性质计算范围即可.【解答过程】设椭圆x2a2由已知A0,b，设Bx1,y因为△ABC重心为F，所以x1所以x1易知x12a所以−b又BC中点−3c2,−令bc=t，则t>2由对勾函数的性质可知t+1t>故直线l的斜率取值范围是−2故选：A．【变式72】（2425高二上·广东清远·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，且(1)求椭圆C的标准方程；(2)过原点O作一条垂直于l的直线l1,l1交C于【答案】(1)x(2)1【解题思路】（1）结合焦距及椭圆的定义由条件列a,b,c的方程，解方程求a,b，代入椭圆方程可得结论；（2）在l的斜率为0时，求结论，再在l的斜率不为0时，利用设而不求法，结合弦长公式求AB,PQ，由此可得【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为c，由F1F2又△ABF1的周长为即AB所以4a=82∴a=22∴椭圆C的标准方程为x2（2）设Ax直线AB的斜率为0时，得AB=4此时PQ的方程为x=0，代入方程x28+所以PQ=4,当直线AB的斜率不为0时，设直线AB:x=ty+2，直线PQ:y=−tx，联立直线AB和椭圆C的方程，并消去x整理得t2Δ=16由根与系数的关系得y1所以AB联立直线PQ和椭圆C的方程，并消去y整理得1+2t由根与系数的关系得x3PQ=所以ABPQ令u=t2+2(u≥2)不妨设f(u)==3∵u≥2，∴1∴1∴综上可得，|AB||PQ|的取值范围为1【变式73】（2425高二上·福建厦门·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为F1,F2，离心率为22，设P(1)求椭圆C的方程；(2)当PF2⊥x(3)若分别记OP,AB的斜率分别为k1,k【答案】(1)x(2)3(3)−2【解题思路】（1）运用离心率和椭圆定义得到方程组，计算即可；（2）由条件求P，再求PA方程，联立方程组求A的纵坐标，求△PAF（3）设PA:y=y0x0+1【解答过程】（1）由题意：a2解得：a=2故椭圆方程为x2（2）当PF2⊥x可得x0即P1,故求得直线PA方程为22联立22y=x+1x整理得10y2−4此时点A的纵坐标为−2所以S△PA（3）设Ax1,y1,Bx由题意PA:y=y故将直线PA与椭圆C方程联立y=y可得x2整理可得：2x0+3即x1=−3同理：将直线PB与椭圆C方程联立y=y0x整理可得：3−2x0x即x2=3所以k2故1由Px0,1k2−1k知识点4椭圆中的定点、定值、定直线问题1．椭圆中的定点、定值问题椭圆中的定点、定值问题一般与椭圆的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下：(1)变量——选择合适的参变量；(2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数；(3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值.一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸.2．过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题解法：设动直线方程（斜率存在）为y=kx+t，由题设条件将t用k表示为t=(2)动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．3．求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．4．椭圆中的定直线问题定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有：(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；(2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.【题型8椭圆中的定点、定值问题】【例8】（2425高二上·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的长轴长是短轴长的3倍，左、右焦点分别为(1)求椭圆的方程；(2)设A是椭圆C的右顶点，P，Q是椭圆C上不同的两点，直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1【答案】(1)x(2)证明见解析【解题思路】（1）由a=3b，再由点在椭圆上即可求解；（2）设Px1,y1，Qx2,y【解答过程】（1）由题意，得a=3b，所以离心率e=c椭圆C的方程为x29b2+所以19b2+8所以椭圆C的方程为x2（2）易知A3,0，设Px1,y1，Qx联立x=my+nx29+y由Δ>0，得m所以y1+y因为k1所以3y化简得m2所以m2−3n化简得6n−36=0，解得n=6，即直线PQ恒过定点6,0．【变式81】（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2=1a>1的离心率为255，椭圆C的动弦AB过椭圆C的右焦点F，当AB垂直(1)求点M的坐标．(2)若直线AB的斜率为1m，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为−m2，直线NF与椭圆C交于P，Q【答案】(1)5(2)证明见解析【解题思路】（1）设出直线MA的方程，与椭圆的方程联立，利用Δ=0即可求点M（2）先设出点N坐标，再求NF的斜率，判断直线NF与AB的关系，联立直线AB与椭圆的方程，利用根与系数的关系求弦长，即可证明.【解答过程】（1）e=c解得a2=5，所以椭圆方程为又c2=a当AB垂直x轴时，不妨设A2,55，根据对称性可知点M且直线MA的斜率存在，设直线MA的方程为y=kx−2联立y=kx−2消去y得：1+5k则Δ=化简得k2+4所以直线MA的方程为y=−2令y=0，解得x=52，故点M的坐标为（2）如图，由题意可得直线AB的方程为y=1mx−2设Ax1,所以kNF=m22−联立x2+5y2=5则y1+y所以AB=同理，PQ=所以1AB故1AB【变式82】（2425高二上·陕西安康·期中）已知椭圆C：x2a2+y(1)求C的方程；(2)若直线l与C交于点P，Q，且线段PQ的中点为R−1,12(3)过动点Tx0,6−x0作C的两条切线，切点分别为A【答案】(1)x(2)x−2y+2=0(3)证明见解析，2【解题思路】（1）利用椭圆的离心率和通过的点建立方程，求出基本量，再得到椭圆方程即可.（2）利用点差法结合中点坐标公式得到斜率，再利用点斜式得到直线方程即可.（3）设切点坐标，联立切线与椭圆方程，消元后利用判别式为0，可利用切点坐标表示m,n，再把T点坐标代入，即可得到过切点的一条直线方程，同理另一个切点坐标也适合，即可得出直线AB的方程，再求出直线所过定点即可.【解答过程】（1）由椭圆C经过点M2,2得到2a2+12b2=1,a（2）设Px1,y1因为线段PQ的中点为R−1,12，所以x因为x124+y所以y1+y2x即直线l的斜率为12，故l的方程为y−12（3）如图，设Ax3,可设切线TA的方程为y=mx+n，n≠0，将y=mx+n与x24+则Δ=(8mn)2且x3=−4mn所以n=1y3，m=−x3将Tx0,6−x0当x3=2时，y3=0，x0=2；当而Ax3,设Bx4,则点A，B都在直线x0故直线AB的方程为x0x+46−由x−4y=024y−4=0，得x=23y=1【变式83】（2425高二上·河南驻马店·阶段练习）已知过点T1,0的直线l与椭圆E:x2a2+y2=1a>1(1)求E的方程．(2)探究是否存在实数λ，使得1AT【答案】(1)x(2)存在，定值为3【解题思路】（1）将x=1时，用a表示A,B纵坐标，再由AB=26（2）设出直线l的方程为x=my+1，用韦达定理表示出1AT2+1BT【解答过程】（1）将x=1代入E的方程，得1a2+所以AB=21−1所以椭圆E的方程为x2（2）存在．①当l不垂直于y轴时，设直线l的方程为x=my+1，Ax1,联立x23+所以y1+y又AT2=m所以1AT所以1AT若为定值，则4−λ=−3λ−2，解得λ=1代入得1AT②当l垂直于y轴时，由①知λ=1，不妨令AT=3+1，BT综上所述，存在λ=1使得1AT2+【题型9椭圆中的定直线问题】【例9】（2425高二上·河北石家庄·期中）已知F(1,0)为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F作直线l与椭圆C交于M,N两点（不同于A,B），设直线AM与直线BN交于点D，证明：点D在定直线上．【答案】(1)x(2)证明见解析【解题思路】（1）由椭圆定义得到2a=TA+TB=4，求出（2）设直线l的方程为x=my+1，联立椭圆方程，设Mx1,y1,Nx2,y2，得到两根之和，两根之积，表达出直线AM【解答过程】（1）F(1,0)，由椭圆定义知2a=2所以a=2，又c=1,b所以椭圆C的标准方程为x（2）若直线l的斜率为0，此时M,N两点与A,B重合，不合题意，舍去，F(1,0)，设直线l的方程为x=my+1，由x24+

显然Δ=36m2所以有y1直线AM的方程为y=y1x1+2联立两方程可得，所以y1x+2x−2由①式可得my代入上式可得x+2x−2即x+2=3x−6，解得x=4，故点D在定直线x=4上.【变式91】（2425高三上·上海·阶段练习）已知A、B是椭圆E:x2a2+y2=1a>1(1)求椭圆的离心率和标准方程；(2)求点M的坐标；(3)过点M作直线l交椭圆E于C、D两点（与A、B不重合），连接AC、BD交于点G．证明：点G在定直线上；【答案】(1)离心率为32，标准方程为(2)M(3)证明见解析【解题思路】（1）根据椭圆的几何性质可求出a的值，进而可求得c的值，由此可得出椭圆E的离心率及其标准方程；（2）设Px0,y0，利用两点间距离公式得PM（3）设直线l的方程为x=ty+3，Cx1,y1、Dx2【解答过程】（1）由题意可知，椭圆E:x2a2+由题意可得a=2，则c=a因此，椭圆E的离心率为e=ca=（2）设Px0,因为PM=若0<m≤32时，则0<4m3≤2若m>32时，则4m3>2，则PMmin所以M点的坐标为3,0.（3）设直线l的方程为x=ty+3，Cx1,由x=ty+3x24+y2=1所以y1由Δ=16t2−80>0，得易知直线AC的方程为y=y直线BD的方程为y=y联立②③，消去y，得x+2x−2联立①④，消去ty1y解得x=43，即点G在直线【变式92】（2425高二上·黑龙江·期中）已知椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F，过点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于A，B两点（其中点A在x(1)若AB的垂直平分线交x轴于点D，O为坐标原点.求OD的取值范围；(2)若直线MA和NB相交于点T，试探究T能否在一条定直线x=t上运动？若能，求出t的值，若不能，请说明理由.【答案】(1)0,(2)T能在一条定直线x=t上运动，t=2.【解题思路】（1）设出直线l的方程以及AB中点G的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式得到点G的坐标，出现直线AB的垂直平分线DE的方程，进而即可求解.（2）写出并联立直线MA和NB方程，得到交点T坐标，再结合（1）中求得的韦达定理，即可得出结论.【解答过程】（1）因为右焦点F的坐标为1,0，可设直线l的方程为y=kx−1k≠0，代入x2所以x1+x设AB中点G的坐标为x0,y0AB的垂直平分线方程为y+k令y=0，可得D所以OD=k21+2k（2）因为M−2,0，N2,0则直线MA的方程为y=y1x1联立方程，消去y，可得y所以x+因为x222+所以x+2由（1）可知x1+x代入整理可得x+2x−2所以T能在一条定直线x=t上运动，t=2.【变式93】（2425高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的方程；(2)过点B−2,1且斜率为k的直线交椭圆C于Px1,y1，(3)在（2）的条件下，A为椭圆左顶点，过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，证明：线段PM的中点在定直线上．【答案】(1)x(2)−2k+1(3)证明见解析【解题思路】（1）根据离心率及长轴顶点列方程组得出a,b,即可得出椭圆方程；（2）联立方程组，得出韦达定理再把x1（3）设点直曲联立，利用整体法求出中点坐标y0与x0的关系【解答过程】（1）依题意可得e=ca=所以椭圆C的方程为x2（2）依题意过点B(−2,1)且斜率为k的直线为：y−1=kx+2,即y=kx+2k+1联立方程组x2所以1+4k因为Px1,y1所以x1则1x（3）设直线AQ为y=y2x2+2x−x2,过点所以Mx1,y2x1于是Nx所以x1+2+x2则有1x又因为y1所以y1于是y0即y0即y0=1即点N在直线x−2y+2=0上，即线段PM的中点在定直线x−2y+2=0上．【题型10椭圆中的向量问题】【例10】（2425高二上·重庆·期中）椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右顶点为A，上顶点为B，MAA．355 B．455 【答案】A【解题思路】由椭圆方程可知点A,B的坐标，根据向量可得Ma3,2b3【解答过程】椭圆C:x2a2+设Mx0,由MA=2BM可得a−x0=2又由OP=λOM，则将P代入椭圆方程