专题02与相似三角形有关的热考模型（期中复习讲义）

专题02与相似三角形有关的热考模型（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律A字模型能识别A字模型结构并能利用相似三角形的判定与性质解决线段比例、相关证明等问题。高频考点，多在几何证明题或与线段长度相关计算中出现。8字模型能识别8字模型结构，相似三角形判定与性质常与对顶角相等、平行线性质等结合解决问题高频考点，常与A字模型结合以解答形式考查，多用于推导线段之间的比例关系及向量的线性运算中出现。三角形内接矩形模型能识别三角形内接矩形结构，结合相似三角形性质定理快速求解矩形的边长、面积等问题。易错考点常以填空、解答形式查考。需要较强的建模使简化计算。一线三等角模型能识别“一线三等角”的结构，利用角的关系证明三角形相似，解决综合问题。核心考点，常以压轴题形式与其他模型结合综合考查。旋转与手拉手模型掌握旋转中的不变量，利用相似三角形的判定与性质，解决线段和角的数量关系问题。核心考点，常以压轴题形式与其他模型结合综合考查。知识点01A字模型A字模型如图一如图二如图三知识点028字模型8字——平行型条件：CD∥AB,结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;四边形ABCD为一般梯形.条件：CD∥AB,PD=PC.结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似)ΔPAD≅ΔPBC左右全等；四边形ABCD为等腰梯形；8字——不平行型条件：∠CDP=∠BAP.结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似);ΔAPD∼ΔBPC(左右相似);模型03三角形内接矩形模型模型展示：三角形内接正方形三角形内接矩形在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y知识点04一线三等角模型模型展示：如图，已知：∠A＝∠CPD＝∠B，则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角，故称为“一线三等角”型相似．知识点05手拉手模型模型展示：将图①中的△ADE绕点A旋转一定角度，则得图②，图②为“旋转型”相似的基本图形结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC题型一A字模型的是（

）【答案】A故选：A．【答案】8故答案为8．四象限，那么点的坐标为如下图所示，又点在第四象限，

【答案】【详解】解：如图，延长交于，故答案为：．【答案】【详解】解：∵是中线，故答案为：．【答案】∵点是的中点，∴是的中点，故答案为：．题型二8字模型A．1∶5 B．1∶6 C．1∶7 D．1∶9【答案】D故选：D．【答案】5故答案为：5．(1)用向量、表示向量；(2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，写出答句）∵点是边的中点，【答案】故答案为：．【答案】故答案为：．如图：即为所求．(1)求的长：题型三三角形内接矩形模型【答案】3【详解】解：设交于点，故答案为：3．【答案】24故答案为：24．【答案】故答案为：．【答案】故答案为：．

题型四一线三等角模型A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B由①②得结论可知④正确；∴正确的有：①②④⑤，错误的有1个，故选：B．(1)填空：的长为_____；故答案为：；【答案】2或6或∵E为中点，即的长为2或6，综上所述，的值是2或6或．

题型五旋转与手拉手模型∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，尝试应用：连接CE，∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，∴∠ADE=∠ABC，又∵∠DAE=∠BAC，又∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，（2）解：设与边交于G，（3）解：延长，交于H，如图，当点M在延长线时，如图，期中基础通关练（测试时间：10分钟）A．①正确②错误 B．①错误②正确C．①、②皆正确 D．①、②皆错误【答案】C故选：C．【答案】4∴的长为4．故答案为：4．【答案】【详解】解：过点A作的平行线且交延长线于点，故答案为：．

【答案】【详解】解：G是重心，故答案为：．【答案】24【详解】解：如下图，∵是上的高，故答案为：24．【答案】故答案为：．(1)求证：是和的比例中项；所以是和的比例中项．由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得

(1)求的长；期中重难突破练（测试时间：10分钟）【答案】3故答案为：3．【答案】12∵为的中点，故答案为：12【答案】故答案为：．（2）解：证明：连接，连接，交于点H，如图所示：点在延长线上，

设点到，的距离分别为，，点到的距离为，(2)求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）点是边的中点，（2）解：如图，，即为所求：图中表示结论的分向量：是在方向上的分向量，是在方向上的分向量．期中综合拓展练（测试时间：15分钟）∵为中点，∵G为中点，【详解】解：如图，分以下三种情况：(1)探究：如图2，上述条件，若点G在的延长线上，其他条件不变时，结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．（2）解：∵G在直线上，∴分两种情况讨论如下：（3）解：成立；理由：由题干与小题（1）知点G在线段或的延长线上时都成立，当G在的延长线上时，7．（