云南省昆明市某中学2026届高三年级上册第一次联考数学试题+答案

云南省昆明市第一中学2026届高三上学期第一次联考数学试题

学校;姓名:班级:考号:

一、单选题

1.样本数据4,8,12,16,20的第80百分位数为（)

A.12B.14C.16D.18

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2,1）,贝吟=（)

A.1+2iB.2+iC.1-2iD.2-i

3.已知集合力={XGN|2X<4}，则A的子集的个数有（)

A.2B.3C.4D.8

4.若双曲线C的实轴长与虚轴长之和为12,且虚轴长是实轴长的2倍,则双曲线C的半焦

距为（）

A.V5B.2V5

C.y/13D.2g

5.向量匕,2在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量Z+乃下

B.2

C.-1D.-2

6.已知函数丫=35（3%+93>0）在区间（一%；）上单调递减，则3的取值范围是（）

B25

A.。点-(啊C.?2D•息+8）

7.已知点力（0,2）和直线上丫=0,圆/+、2=丁2（丁>0）,圆上到点A的距离等于到直线/

的距离的点恰有两个，则「的取值范围为（）

A.(0,1)B.(1,+oc)

C.(0,+oo)D.[1,4-oc)

8.若OV%1<%2<1，贝J(

X1Xz

A.e*2-e>\nx2-InxjB.e-e*i<lnx2-In/

XiX2XxX2

C.x2e<x^eD.x2e>x^e

二、多选题

9.在空间中，，,皿是不重合的直线，a,/?是不重合的平面，则下列说法正确的是()

A.若1//mJua,rrtuB，贝Ua〃/?；

B.若m_L1a,/_L6，则a10；

C.若a1£,an£=m,/1m/〃a,则11£；

D.若m〃a,m〃夕,an0=I,则m〃乙

10.设△ABC中角A,B,C所对应的边分别为a,4c,且sinAsin&sinC=2夕:5:3或，则

以下说法中正确的有()

A.△4BC为钝角三角形

B.若“确定，则△4BC的面积确定

C.cos2/4=-T

D.sin2a4:sin2F:sin2C=4:5:6

11.设抛物线C：丫2=8%的焦点为「，准线为/,过点尸的直线交。于A、8两点，过点A、

8分别作准线/的垂线，垂足分别为。、E,则下列选项中正确的是()

A.以为直径的圆经过点”

B.乙ADF=LBEF

C.|力用的长度可以为6

D.\AD\\BE\>16

三、填空题

12.若函数/(%)=x(x+a)?在％=-1处有极小值，则。=.

13.记%为数列｛的｝的前几项和,若%=1.an+1=2Sn+1,则%=__

14.函数/(均满足/a+1)=/(%)+/a+2),若/(I)=2,f(ll)=3,贝"(2025)=_

四、解答题

试卷第2页，共4页

15.某高校男女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参

加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情况如下表:

合格不合格

男生3515

女生455

(1)依据小概率值«=0.010的独立性检验，分析该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是

否与性别有关:

⑵从这5()名男生中任意选2人，设这2人中合格的人数为X,求X的分布列和数学期望.

P(X2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

n{ad-bc)2

附：X2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

16.已知等差数列｛a?J的公差为d,且d>0,%•%=7,。2+。3=8.

(1)求数列Sn｝的通项公式;

(2)若a=,求数列｛%｝的前〃项和工,

anan+l

17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD1平面ZBCD,PA=PC

3,瓦凡6分别是「力/&「。上的点,且A£=CF=1.

(1)证明:BG1AC；

⑵已知8,E,G,F四点共面，求。G的长.

18.已知函数/(%)=x(inx+gax),Q€R.

(I)若函数/(%)在x=1处的切线方程为y=6,求实数Q,b；

(2)若函数f<x)存在两个极值点应,切(与<%2)

《云南省昆明市第一中学2026届高三上学期第一次联考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DCDBCABDBCDBCD

题号11

答案AD

1.D

【分析】根据百分位数的定义直接计算即可.

【详解】样本数据从小到大排列为4,8,12,16,20,计算位置:5x80%=4,

因为4为整数，所以第80百分位数为竺罗=18.

故选：D.

2.C

【分析】由条件得到z=2+i,再由除法运算即可求解.

【详解】由题意z=2+i,则彳=芋=1-23

故选：C.

3.D

【分析】解指数不等式求出集合A,然后求解子集个数即可.

【详解】集合力=[xeN|2X<4}={xGN|x<2}={0,1,2),则4的子集的个数有2?=8个.

故选：D.

4.B

【分析】设双曲线C的实轴长为2a,虚轴长为2b,半焦距为c,由条件列方程可求a,b,再根

据C=+乒关系求结论

【详解】设双曲线C的实轴长为2a,虚轴长为2b,半焦距为c,

由已知2Q+2b=12»2b=2x2a,

所以Q=2,b=4,

所以c=Va2+b2=2V5,

故选：B

5.C

【分析】建立平面直角坐标系，求得向量乙3,乙根据向量G+入坂与5共线，结合向量共线的

坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】根据题意，建立如图所示平面直角坐标系，

答案第1页，共11页

则五=(1,1),b=(0,-l),c=(1,2),可得五+Ab=(1,1-A),

因为向量d+2b与A共线，可得1x(1—2)-2x1=。，解得A=-1.

故选：C.

【分析】根据余弦函数的单调递减区间，利用整体代换的方法求解即可.

【详解】因为无丘（一£5），3>0,所以一：3+3<3%十?<?3十士

\43/46636

乂因为函数y=cos（3无+以（3>0）在区间（一*）上单调递减，

--0）+^>2kix1-8/c

所以n4n6,kE|,

-o）+-<n+2kn\a）<-+6k

,36I2

故当k=0时，0<3W生

故选：A

7.B

【分析】设圆上点P（%y）,根据题意得到方程，化简得/=4y-4,y>l,代入圆方程,

解得、=一2+\^不/，由yNl解得rNl,当r=l时，对应的点只有1个，不合题意，当

r>l时，对应的点有2个，满足要求.

【详解】设圆上点p（x,y），则有+（y-2）2=仅|,化简得％2=4y-4,

囚为/N0,所以yNl,代入园方程得y2+4y—（4+N）=0,解得y=一2±"8十产,

其中-2-V8+r2<0舍去，故y=-2+V8+r2,

又yNl,即-2+，8+/41,解得r、l,

当r=l时，y=1,此时/二4-4=0,解得x=0,艮」对应的点只有I个，不合题意，

当r>l时，y>1,此时父=±2百二1，故对应的点有2个，满足要求.

故选：B

8.D

答案第2页，共11页

【分析】设fa)=exinx,求得/'(幻二^一3存在%6(0,1),使/(见)=0,得到/(外在

(0,1)上不是单调函数，可判定A、B错误；再设ga)=£求得g，(x)=£沪，得到g(x)在

(0,1)上单调递减，得到。(右)>9(&)，进而可判定C不正确，D正确.

【详解】设/'(%)=ex-lnz,可得:(%)=ex-p令九(%)=铲一%则〃(幻=首+]>0,

所以—(工)=/一：在(0,+s)上单调递增，且尸6)=«—2<0,/z(l)=e-l>0,

所以存在々€(0』)，使/(%。)=0，

所以/(外在(0,a)上单调递减，在(右,1)上单调递增，

所以“幻在(0,1)上不是单调函数，无法判断/(%)与/•(无。的大小，故选项A、B错误；

设。(幻=可得。'(幻=e'=)‘

当％6(0,1)时，。'(幻=色沪<0,所以g(x)在(0,1)上单调递减，

又因为ov与v必v1，所以g(%i)>g(%2)，即吧•>之，所以％>%遇右，

所以C不正确，D正确.

故选：D.

9.BCD

【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解.

【详解】对于A中，若l〃m,lua,mu0,则a〃3或相交，所以A错误；

对于8中，若mil,ml%,则〃/a或Iua,又因为21/?,则al/7,所以B正确：

对于C中，因为Z〃a,在平面a内存在直线九，使得/〃〃，

又因为1_Lm,所以n_Lm,因为aJ./?,an/?=7几,mJ.小几ua,所以nJ./?,

乂因为〃/n,所以11/?,所以C正确；

对于D中，如图所示，因为m〃a,且muy,any=a,所以m〃a,

又因为m〃£,且muy,BCy=b,所以m〃b,所以a〃匕，

因为atB，bu0,所以a///7,

又因为aua,an/?=1,所以“/，，所以m〃乙所以D正确.

故选：BCD.

答案第3页，共11页

10.BCD

【分析】由条件结合正弦定理可设Q=2V7k,b=5k,c=3ak,对于A,结合大边对大

角可得4最大，利用余弦定理可求cos4由此判断力的范围即可，对于B,由条件。确定，

可得b,c确定，由此可得结论，判断B,对于C,由cos/结合二倍角公式求cos2A,判断C,

对于D,由条件求cos8,cosC,再结合同角关系求sia4,sin8,sinC,再利用二倍角公式求

sin2i4,sin2F,sin2C»由此判断D.

【详解】由正弦定理得：a:b:c=277:5:3^2,

可设Q—2A/7/C,b-5k,c=3企k,

对于A,因为Q>b>c,所以角A最大，

且cosA=jX=9比沙）#4=徨>0,

2bC2x5kx3y/2k4

所以A为锐角，所以△4BC为锐角三角形，故A错误；

对于B,若a确定，则k确定，故b,c也确定，

乂Ae（0弓），cos/1=y,所以sin4=詈，

所以△力8C的面积S=^bcs\nA=；x5kx3近kx—=竺叱为定值，故B正确;

2244

对于C,因为cosA=①，所以cos24=2cos2/l-1=-：,故C正确;

44

a2+c2-》2_（26k）2+（3』k）2-（5k）2_坦

对于因为cosB=

D,2ac-2x2v/7kx3%/2k-8

_a2+b2-c2（2V7k）2+（5/c）2-（3\^k）2«

COSc==尸=,B,ce（0m）,

2ab2x29x5k4

所以sinB=¥'sinC=：,

所以sin2A=2sinAcosA=—,

4

sin2B=2sin8cos8=笠,

答案第4页，共11页

sin2C=2sinCcosC=手

所以sin24:sin2B:sin2c=4:5:6,故D选项正确.

故选：BCD.

II.AD

【分析］对于A,验证而•丽是否恒为零即可；对于B,结合平面向量和余弦定理求出

cos乙力。"口cos乙BEF的表达式并进行比较即可：对于C,根据弦长公式求出|月8|的表达式并

分析即可;对于D,求出|4。|伊£|的表达式进行比较即可.

【详解】对于A,当直线的斜率不存在时，AD=BE=4,此时〃在以DE为直径的圆上，

当斜率存在时，设直线的斜率为匕以及。（一2,%）、网一2,、2）、人（右，%）、口。2,为），

则直线的直线方程为y=k（x-2）,

所以前=（-4,yj,FF=（-4,y2）»

也即丽.猫=16+%%，联立?」或了）可得”一、一2k=0,由韦达定理可得

7172=—16,所以尸。,"£"=（），故A正确：

对于B,因为。/=（无1+2,0）,DF=（4,一yj,所以cos"。/7=［黑篙="）=^=，同

1叫1叫屈+比

理得cosxBEF=T^,因为尤，尤不一定相等，所以乙如r=不恒成立，故B错误；

卜+据

对于C,由联立直线方程与抛物线方程得//一（4/+8）%+41=0,由韦达定理得与+

%2=4+专，必乃=4,

根据弦长公式|48|=-=注手•"TP=>6,即|48|的长度不可

K

能为6,故C错误；

对于D,由抛物线定义得，|4D|=/+2,|BE|=必+2，结合韦达定理得|力山•|BE|=

%1%2+2al+%2）+4=4+2（4+.）+4=16+1N16,故D正确.

故选：AD.

答案第5页，共11页

【分析】首先求函数的导数，根据/1)=0,求Q的取值，再代入验证，即可求解.

【详解】/''(%)=3/+4仆+。2,因为/'(%)在％=-1处有极小值，所以尸(一1)=0,

即小—4a+3=0,解得a=1或a=3：

当Q=1时，尸(x)=3x2+4%+1=(x+1)(3%+1),

当为<—1或x>—工时，/'(x)>0,当—1VxV—工时，/'(不)<0,

33

函数/(X)在3=-1处取得极大值；故Q=1不成立，

当Q=3时，//(X)=3(x+1)(%+3),

当口V—3或％>—1时,f'(x)>0,当一3V%V—1时,f'M<0,

函数f(外在％=-1处取得极小值，所以Q=3.

故答案为：3

13.243

【分析】根据斯+1与又的关系，利用Sn-Sn_i=a”，求出数列的通项公式，进而求出。6

(详解】。篦+1=2Sn+1,当n=1时，有a?=2sl+1=2al+1=3.

当n22时，有'%=2S“-i+1.

a

故时+i~n=2Sn-2Sn_j=2an,即即+i=3an,n>2.

又因为。2=3为，则数列｛a,J是公比为3,首项为1的等比数列.

因此即=1x3n-1=3n-1(neN)

当n=6时，=3$=243.

故答案为：243.

14.-5

【分析】根据题意，推得f(x+3)=—/a),得到/(x+6)=/(幻，得出函数/(均是周期为

6的周期函数，再由/(1)=2,/(II)=3,求得/(2)=-3,结合周期性，即可求解.

答案第6页，共11页

【详解】由fa+i)=fw++2),可得/a+2)=f(x+D-/(X),

所以/(%+3)=f(x+2)-/(x+1),

所以/(%+3)=f(x+1)-/(x)-f(x+1)=-/(x),

可得/G+6)=-/(x+3)=/(x),所以函数/(%)是周期为6的周期函数,

又由/(1)=2/(11)=3,所以/(11)=/(-1)=3,则/(2)=-/(-1)二一3,

所以/(2025)=/(337X6+3)=/(3)=/(2)-/(I)=-5.

故答案为：一5.

15.(1)不能推断该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是否与性别有关.

(2)分布列见解析♦，%.

【分析】(1)根据/=不湍怒E公式计算，结合独立性检验判断即可;

(2)由题知X的可能取值为0,1,2,求出对应概率，列出分布列计算期望即可.

【详解】(1)零假设%：该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是否与性别无关.

2=100X(35X5-45X15)2:625,

Z-(35+15)x(45+5)x(35+45)x(154-5)-一

因为6.25<6.635=XO.OIG»所以依据小概率值a=0.010的独立性检验,

不能推断该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是否与性别有关.

(2)由题意X的可能取值为0,1,2.

rO「22plpl

P(X=O)=%^=云，P(X=1)=3,、C^5C?517

_,^=2)_=_,

L508L50

所以X的分布列为

X012

3317

P

35735

33177

£'OT=0x—+1X-+2x—=

7355

16.(l)an=2n—1

⑵s”=磊

【分析】(1)根据题意，得到％V。4，且%•=7,。1+。4=+。3=8,联立方程组,

求得巧,为，弓的值，进而求得数列｛册｝的通项公式;

1

(2)由(1)知册二2九一1,求得力二,结合裂项法求和，即可求解.

2n-l2n+l

答案第7页，共11页

【详解】(1)解：由题意知,等差数列｛斯｝的公差为d,且4>0,。「04=7,劭+。3=8,

则为<月•%•%=7,%+。4=。2+。3=8,

联立方程组V、?=1只,解得%=1,04=7,则d=等于=2,

十CZ4—。4-1

所以册=1+2(n-1)=2n-1,即数列｛册｝的通项公式为册=2n-1.

(2)解：由(1)知。几n=2九一1,可得bn”=---=—————-=---

anan+1(2n-l)(2n+l)2n-l2n+l

则%=(1_3+0_3+@_3+”.+(*_/)=1_^=磊

所以数列｛九｝的前〃项和5n=

17.(1)证明见解析

【分析】(1)连接BD与4C,根据题意，分别证得BO,AC,PD1AC,利用线面垂直的判

定定理，证得4cl平面PD8,进而证得BG14C；

(2)以。为原点，建立空间直角坐标系，设G(0,0,h),得到南=(一2,-2,/i),求得平面BE"

的一个法向量记=(磊,遥)，结合同•元=0,列出方程，求得h的值，即可求解.

【详解】(1)证明：连接BD与AC,因为底面力BCD是正方形，所以4C,

又因为PZ)_L平面A8CZ),且力Cu平面4BCD,所以PDJL4C,

因为90c。。=。，且9。,。。u平面PD8,所以4C_L平面PQ8,

又因为BGu平面尸08,所以BG1AC.

(2)解：以D为坐标原点，以04DG0P分别为工轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系,

如图所示，因为=PC=3,4。=2,所以PD=0为一A"=75,

又因为AE=CF=1,则知E,r分别是P4和PC上的三分点，

可得B(2,2,0),E60,乳F(0彳,苧),

设G(0,0,/i),则而二(一2,*,务而=(一j_2,串，BG=(-2,-2,h),

BF-n=—2x—-y+—z=0

设平面BE/7的法向量近=(x,y,z),则｛_3%,

BEn=—x-2y+-z=0

l3z3

令z=遍，可得％=J,y=，，所以弁=d，遍)，

oo\oo/

因为BGu平面BE/，所以胡•亢=0,即一三一三+遥/1=0,解得力=与

442

答案第8页，共11页

18.⑴Q=-1；h=--2

⑵①一IVaVO；②证明见解析

【分析】(1)根据导数的几何意义和函数在％=1处切”的概念，可求a,b的俏.

(2)①问题转化为广(外=0有两个不同的解求参数a的取值范围；

②先结合①的结论，确定4的取值范围，在根据/(右)=0得到/(右)的表达式，通过对函数

单调性的分析，可求”与)的取值范围.

【详解】(1)因为尸(；0=111%+1+g,/(%)在％=1处的切线斜率为0,

所以:(1)=1+a=O,即。=一1：此时切点坐标为(L-1),所以匕二一点

(2)①因为/''(>)=Inx4-ax+1,

当QNO时，/(>)在(0，+8)单调递增，/(无)=0只有一解，显然不符合题意；

当a<0时，设九(%)=Inx+ax+1,则//(%)=[+a.

由"(%)>0=0<x<-\由〃(%)<0=x>—

所以九(%)即:(%)在(0,-J上单调递增，在(一/+8)上单调递减.

因为函数/•(%)存在两个极值点与,冷.

所以:(无)=0需有两解，所以/，(一3)='(-£)>0为必要条件，即一1VQV0为必要条

件，

当—1VQV0时，％->0时，/(X)T-8：XT+8时，f'(x)->—00,

/'(%)分别在(0,-；)及(-，+8)各有一零点%1，x2»综上：-1<a<0.

②因为/'(%)=0<=>x=/或X=x2(x2>%i)»f'(x)>0<=>xt<x<x2

答案第9页，共11页

而广(1)=1+a>0,

所以0V.v1,而f'aj=Inxj+1+axr=0=axx--In/-1,

所以/(%i)=(in%1+1%(=Xi[in%1-1(InXi+1)]=1(x1lnx1-%)(0<xx<1),

令g(%)=x\nx-x,(0<x<1),所以g'(x)=Inx<0,所以g(x)在(0,1)上单调递减，

所以