整式的加减 压轴题（10大题型）解析版-2024七年级数学上册（沪教版）

整式的加减压轴题（10大题型）

题型归纳

题型一：概念难点辨析、填空

题型二：判断整式的次数

题型三：求值问题

题型四：不含某项问题

题型五：与某字母取值无关、定值问题

题型六：整式规律题；最值问题

题型七：整式加减的几何应用

题型八：新定义题

题型九：方格问题

题型十：整式加减的实际应用

题型一：概念难点辨析、填空

1.下列语句中错误的是（）

A.数字0也是单项式

B.单项式F的系数和次数都是1

C.若力和8都是关于x的三次整式，则力+8的次数一定不高于3次

D.1不是整式

x

【答案】B

【分析】根据单项式和整式的定义即可解答.

【详解】解：A、。是单项式，故A正确，不符合题意：

B、单项式-a的系数是-1,次数是L故B不正确，符合题意；

C、若力和夕都是关于x的三次整式，则4+3的次数等于3次或低于3次，故C正确，不符合题意;

D、，分母中含有字母，不是整式，故D正确，不符合题意.

x

故选B.

【点睛】本题考查了单项式和整式的定义，熟悉定义是解题关键.

2.下列说法中错误的语句共有（）

①-3.14既是负数、分数、也是有理数；②.，-‘一斗是二次三项式；

XX

③几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个；④M+1的最大值是1;

⑤?不是整式；⑥3/-2》+5的项是3/,-2%,5；

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】根据有理数的分类、整式等知识进行判断即可.

【详解】解：-3.14既是负数，分数，也是有理数；故①正确；

不一_!_一二不是整式：故②错误；

XX

几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个；故③正确：

/+1的最小值是1;故④错误；

T不是整式；故⑤正确；

3--2X+5的项是3/,-2x,5：故⑥正确；

不正确的是②④，共2个，

故选:C.

【点睛】此题考查了有理数的分类、运算，整式的定义，次数和项等相关概念，熟练掌握有理数的运算,

整式的相关概念是解题的关键.

3.已知关于小y的整式3^/一（0—31/+2一;"+（〃_［）/"

（1）当。=1,b=-1时，该整式的次数为,一次项为:

⑵在（1）的条件下，若x=2,y=-1,求整式的值；

⑶我们称各项的次数都相同的整式为齐次整式，如2a3+5〃/-力+34曲就是齐次整式，若整式

3。2一（。_3）/2_；4+（4_］）//是齐次四项式，求2。+/,的值；

⑷若该整式是一个六次三项式，求。的值，并把该整式按x的升暴排列.

【答案】（1）4；2y

（2）11

（3）0

⑷2/~^xy-+3x2y2或一:犯'+3/jJ+2x3y-

【分析】本题主要考查了整式的定义和化简求值，也考查了新定义齐次整式.

（1）将。=11=-1代入整式，再根据整式相关的定义解答即可：

（2）将x=2,y=-1代入（1）的条件卜的整式求值即可；

（3）根据齐次整式的定义，由整式3门？一（“一31/+2_；4+（4_1）/>?是齐次四项式得

|。|+3=4,6+2=4,。-1/0,。一3二0,得出〃、人的值代入2。+b计算即可；

（4）分两种情况讨论：①当-（。-3）。+2为六次项，伍_1）/13=0时；②当（a—i）x同/为六次项，

—（a—3）j六2=0时；分别求出心/>的值，再代入原整式，并把该整式按x的升辕排列即可.

【详解】（1）解：当a=l,6=-I时，该整式为此时该整式是一个四次三项式，所以该整

式的次数为4,一次项为2y,

故答案为：4,2y；

（2）解：当。=1/=一1时，该整式为3//+2N一；孙3,

将x=2,y=T代入，得：

JM^；=3x22x（-l）2+2x（-l）-lx2x（-l）3=ll；

（3）解：由题意可知该整式的所有项的次数为4,

.•.|a|+3=4,6+2=4,

二。=1或。=T,b=2,

•••该整式有四项，

二a—1W0,a—300,

工"1,。工3,

•••«=-1,

2（/+/?=2x（―））+2=0；

（4）解：因为该整式是一个六次三项式，而-（。-3）式+2和s-D/了的次数不定，所以需分以卜•两种情况

讨论：

①当-5-3）。+2为六次项，（〃一1）/丁3=0时，此时整式为3//_（°_3）/2T孙3,

即6+2=6,。-3/0,。-1=0,

所以。=4,。=1,

此时该整式为3x、2+2y6-Ixy3,

将该整式按x的升辕排列为2V一；个3+3//:

②当伍一1WV为六次项，-（〃-3）产=o时，

此时整式为3//—+g—］）/联，

即|〃|+3=6,。-3=0,。-1±0,所以。=3,

此时该整式为3/丁_白＞3+2//，

将该整式按x的升鬲排列为一；孙-+3//+2//.

题型二：判断整式的次数

4.如果力、4都是关于x的单项式，且A-B是一个九次单项式,A+3是一个五次整式，那么A-B的次数（）

A.一定是四次；B.一定是五次；C.一定是九次：D.无法确定.

【答案】B

【分析】根据题意可判断A、B的次数，再根据整式的定义即可解答.

【详解】解：:A、B都是关于x的单项式，且A・B是一个九次单项式，A+B是一个五次整式，

••・A、B中一个是5次单项式，另一个是4次单项式，

••・A-B的次数一定是5次，

故选B.

【点睛】本题主要考查的是整式的定义，整式中每个单项式叫做整式的项，这些单项式中的最高次数，就

是这个整式的次数.

5.设P是关于x的五次整式，Q是关于x的三次整式，则（）

A.P+Q是关于x的八次整式B.P-Q是关于x的二次整式

C.P+Q是关于x的五次整式D.P・Q是关于x的十五次整式

【答案】C

【分析】根据整式的加减只能是同类项间的加减，非同类项之间不能进行合并，整式相加时次数等于次数

高的哪个整式的次数可判断各选项，或根据P是关于x的五次整式，Q是关于x的三次整式，利用乘法法则

得出PQ的次数.

【详解】A.两式相加只能为5次整式，故本选项错误；

B、P-Q是只能为关于x的5次整式，故本选项错误；

C、P+Q只能为关于x的5次整式，故本选项正确；

D、PQ只能为关于x的8次整式，故本选项错误；

故选C.

【点睛】此题考查整式.整式的加减,解题关键在干掌握运算法则.

题型三：求值问题

6.当x=l,y=T时，关于X、『的二次三项式av"“+（m+l）⑶-3值为0,那么当x=-；,y=；时，式

子a,nx+2mby+^-的值为.

【答案】5

【分析】根据二次三项式的次数和项数的定义，确定m值，再把m代回二次三项式中得到等式，再把x和

y值代入所求的式子中，然后把前面所得等式整体代入所求，即可得到结果.

w：

【详解】解：■•-ax*>+(/n+1)by-3是关于x、y的二次三项式，

.•.当x=l,y=-1W，有a-(〃计1)b-3=0,m2=l,

当加=-1时不合题意，

二〃7=1,

:.a-2b-3=0,

:・a-2/>=3,

1,3

,—a+b=—,

22

当x=-；,y=；时，式子amx-2/zz/y'+-y=-^a+h+^-=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查整式的次数项数的定义、整式的代入求值的相关计算，根据次数项数定义碓定m的取值

要考虑全面，这是本题的易错点.

7.若关于X的关系式伊-1*+H2+/+4.3是关于x的二次整式.

⑴求左的值；

⑵若该整式的值是2,且规定表示不超过。的最大整数，例如[3.5]=3,请在此规定下求2024公一工

的值.

【答案】⑴)=1

(2)2022

【分析】本题考查了整式的定义，代数式求值，解题的关键是掌握整式的定义，理解题意.

(1)根据』知的整式为：次整式灯得整式不含丁项，且包含f项，推出二_i=o且八1工0,即川一求解；

(2)根据整式的值是2,可得2d+4x-3=2,然后把所求代数式变形后代入，结合表示不超过的最大整数

求解.

【详解】(1)解：&-1卜3+小+/+以一3

=(it2-l)x3+(^+l)x2+4x-3,

(12-1)/+Ax?+/+4%-3是关于刀的二次整式，

尸一1=0且％+1工0,

解得4=1;

(2)由(1)可知整式为2/+4X-3,

;该整式的值是2,

.\2v2+4.r-3=2,

即?+2x=-,

2

又,：k=l,

2024k2--x2-x\

2」

=2024Tx2+2x)]

=2024-

=2022-

_4

=2022.

题型四：不含某项问题

8.若关于a、b的整式2(2/+R)-3〃)与-3(〃2+小帅+262)的和不含而，则〃?的值是.

2

【答案】|

【分析】本题考查了整式的和中不含某项的条件；求出整式的利为/+(2-3加)必-12〃，由整式中不含某

项的条件，即可求解；理解"整式中不含某一项就是使得这一项的系数为零."是解题的关键.

【详解】解：由题意得

2[la2+ab-3b2)-3(/+mab+2b2)

=4a:+2ab-6b'-3a?-3mab-6b*

=a2+(2-3m)ab-\2b2

不含ab,

2—3w=0,

2

解得：加二§,

故答案为：f2.

J

9.整式9a*一2加+ma'b-减去3/-nab’-/b-b，后,若小含与a%,则()

A.m=1,n=2B.m=—\,n=2C./7/=!,n=-2D.m=~\,n=-2

【答案】B

【分析】本题考查J'整式的加减，先计算两个整式的差，根据结果不含与/〃，即这两项系数为0,即

可求出

【详解】解：(9^-lab1+ma2b-h3)-(3a3-nab2-a2h-b^)

=9cr-2ab?+ma2b-b'-3。'+nab2+a2b+b'

=(9/-3/)+(nab2-2ab2)+(ma2b+a2b)+(b3-b5)

=6a'+(n-2)ab2+(m+\)a2b+(b'-b3),

因为它们的差不含必2与/人

所以〃一2=0,〃?+1=0,

•••m=-l,〃=2,

故选B.

题型五：与某字母取值无关、定值问题

10.代数式4/一3/>'+8入2〉，+3》3+3.6-8入-2广7炉的值

A.与x,y有关B.与x有关

C.与y有关D.与x,y无关

【答案】D

【详解】根据整式的加减一合并同类项，可知4x3-31y+8x2y+3/+3/y-8x2y-7x3=O,因此整式与x、y

均无关.

故选D.

11.^+ax-y-(bx2-.¥+9J,+3)的值与x的取值无关，贝l]・"/)的值为()

A.0B.-1C.-2D.2

【答案】D

【详解】根据整式的加减法，去括号合并同类项可得x2+ax-y-(bx2-x+9v+3)=x2+ax-y-i>x2+x-9y-3=

(1-b)x2+(a+1)x+(-1-9)y-3,由于值与x的值无关，可得l-b=0,a+l=0,解得a=-l,b=l,因此可求-a+b=2.

故选D.

点睛：此题主要考查了整式的值与字母无关形的题目，解题关键是明确无关的主要特点是系数为0,然后通

过整式的化简，让相关的系数为0即可求解.

12.已知代数式力=2--(1-3〃、，3=_/+".1,若34+68的值与x的取值无关，贝门的值为.

【答案】|

【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把力=2x2-(1-3〃)x,8=一一+内一1代入34+68,进行化

简,然后根据+的值与x的取值无关.列出关于曾的方程，解方程求出〃即可.

【详解】解：,*,/=2x?-(1一3〃)x,B=-x2+nx-1,

.­.3A+6B

=3[2--(1-3〃)工]+6(-/+〃X-1)

=6x2-3(l-3;?)x-6x2+6nx-6

=6x2-6x2+(6〃-3+9〃)工一6

=(.5/7—3)x—6,

・♦•34+6B的值与x的取值无关,

.­.15n-3=(),

解得：〃=：，

故答案为：

13.己知无论x,『取什么值,整式（2--/即+9）-（加-5尸4）的值都等于定值13,则加+〃=.

【答案】7

【分析】本题考查了整式的化简与整式的无关型，先将整式化简，再让含有x和y的项系数为0,得出机

和〃的值，即可求解.

【详解】解：（2-—〃少+9）-（/-5y-4）

=2x2-rny+9-nx2+5y+4

=（2-/7）X2+（5—〃?）歹+13,

•.•整式（2/一呼+9）-（〃/-5y-4）的值都等于定值13,

2-//=0,5-ni=0,

解得〃=2,"?=5,

"I+〃=5+2=7,

故答案为:7.

14.已知P=-X3+4X—2，Q=3xi-2xy+3.

（1）当_V=2时，化简：P+Q=________.

（2）若30+。的值与％的值无关，则代数式3尸+。的值为.

【答案】2x3+l-3

【分析】本题考查了整式的化简求值，牢记运算顺序“先合并同类项，再代入求值”是解题关键.

【详解】解：（1）0+。=一9+4工-2+3/—2呼+3

=-x3+3x3+4x-2xy-2+3

=2x5+4x-2xy+1

将『=2代入2/+4x-2,q+1得：

2x'+4x-2xy+\=2x'+4x-2x2x+l

-2x3+1.

.•.户+0=2/+1

（2）3P+0=3（-x3+4x-2）+3x3-2xy+3

=-3X3+12X-6+3X3-2A7+3

=-3x3+3x3+12x-2xy-6+3

=12K-2R，-3

•••3P+。的值与x的值无关，

\2x-2xy=0,

.•.3P+0=-3

15.(1)一天数学老师布置了一道数学题：已知x=2017,求整式

(丁_6/_7“+8)_(_—_3x+2/-3)+(/+5/+4M—I)的值，小明观察后提出；“己知x=2017是多余的〃,

你认为小明的说法有道理吗？请解释.

(2)已知整式A/=/+5QX-3X-1，整式M与整式N之差是35+4ar-x.

①求出整式N

②若a是常数，且2M+N的值与x无关，求a的值.

【答案】(1)小明说的有道理，理由见解析.

8

(2)®N=-2x2+ax-2x-l(2)a=—.

【分析】(1)原式去括号合并同类项后得到最简结果，根据化简结果中不含x,得到x的值是多余的.

(2)①根据题意,可得N=(x2+5ax-3x-l)-(3x2+4ax-x),去括号合并即可；

②把M与N代入2M+N,去括号合并得到最简结果，由结果与x值无关，求出a的值即可.

【详解】(1)小明说的有道理，理由如下：

I^(xt=x3-6x2-7x+8+x2+3x-2x3+3+x3+5x2+4x-l

=(1-2+1)x3+(-6+1+5)x2+(-7+3+4)x+(8+3-1)

=10,

由此可知该整式的值与x的取值无关，所以小明说的有道理.

(2)(1)N=(x2+5ax-3x-l)-(3x2+4ax-x)

=x2-»-5ax-3x-l-3x2-4ax+x

=-2x2+ax-2x-l；

(2).-M=x2+5ax-3x-l,N=-2x2+ax-2x-l,

.-.2M+N=2(x2+5ax-3x-l)+(-2x2+ax-2x-l)

=2x2+10ax-6x-2-2x2+ax-2x-l

=(lla-8)x-3,

由结果与x值无关，得到lla-8=0,

解得：

【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键.

题型六：整式规律题；最值问题

2

16.观察下列整式:a-2bta-4b\/-8氏/一胎必，…，则第〃个整式为（）

A.an-2nbln-'B.an-2nbMC.an-2nb2n-'D.an-lnb2n

【答案】C

【分析】本题考查了整式，正确理解式子的规律是关键.根据已知的式子可以得到每个式子的第•项中。的

次数是式子的序号：第二项的符号：第二项中b的次数是序号的2倍减1,第二项系数是序号的2次方，据

此即可写出.

【详解】解：—2方="一29'I,

/-MT'//3,

，-昉5=。3-23产,

“4-1667=。4一24户2,

由上可知第〃个式子为：an-Tb2n~\

故选：C.

17.已知整式力=3/一〃7（/+6）+4.

（1）若力的值与X无关，则w=：

（2）当〃7=1时，5=-x2-10.

①化简2A-B=;

②当整式力取得最小值时，此时24-4的值为.

【答案】35/+66

【分析】（1）将力=3/—〃?（/+6）+4化简成力二。一〃?）/+4—6〃?，即可求解

（2）①将m=1代入2%-8中，直接整理化简即可

②由4=2./-22-2,可知x=（）时，整式力取得最小值时，此时24-8=6

【详解】（1）4=3x2一加（一十6）+4

=（3一m）/+4-6m

.%3-m=0,即m=3

故答案为3

（2）①•••〃？=1,

:.A=3x~-（x2+6）+4=2x2-2,

.­.2.4-5=2（2X2-2）+X2+10

=5,v2+6：

故答案为5/+6;

②；4=2--2,且

••・当x=0时，4行最小值，

2.4—B=6

故答案为6

【点睛】本题主要考查了整式的运算和化简，关键是要能够熟练合并同类项

题型七：整式加减的几何应用

18.如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不笨的正方形纸片48,C,。和一张长方形

纸片£,并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形力的周长与阴影部分的局长之比

为•

图2

【分析】设。号正方形的边长为，C号正方形的边长为6则4号正方形的边长为x+y,8号正方形的边

长为2x+y,E号长方形的长为力+y,宽为丁一、，根据图1中长方形的周长为8,求得x+y=l,即可得

13

出正方形A的周长，由图2求得内G=2x+3y,根据图2中长方形的周长为13求得MV=]-3x-4j，，没

有覆盖的阴影部分的周长为2R7+2MN,计算即可得到答案.

【详解】解：设。号正方形的边长为x,C号正方形的边长为产

则4号正方形的边长为x+N,B号正方形的边长为2x+y,

七号长方形的长为3x+y,宽为丫7,

由图1中长方形的周长为8,可得，2(x+y+2x+y)+2(x+y+y)=S,

解得：x+y=\,

•••止方形/的周长为4(x+j，)=4；

如图,

FG=x+y+2x+y+y-x=2x+3y,

•.•图2中长方形的周长为13,

：.FG+FM=—,

2

...FM=--FG=--（2x+3^）=--2x-3^,

222

••・没有覆盖的阴影部分的周长为：2m+2MN=2(2x+3y)+2(£—3x—4y)=13—2(x+y)=ll,

4

•••止方形4的周长与阴影部分的周长之比为日.

4

故答案为：

【点睛】此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题.

19.把两张形状、人小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为x,宽

为丁)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.阴影部分刚好能分割成两张形状

【答案】4x

【分析】本题考查列代数式，整式的运算，设2张形状大小完全相同的小长方形卡片的长和宽分别为〃八

n,然后分别求出阴影部分的2个长方形的长宽即可.

【详解】解：设2张形状大小完全相同的小长方形卡片的长和宽分别为〃?、〃.如图，

BC

GF=DH=n,AG=CD=m,

:.HE=GF=DH=n,AG=CD=m,

HE+CD=y,

:.m+n=y,

v长方形力8co的氏为：AD=m-DH-〃==一y+x,

宽为：CD=m,

，长方形ABCD的周长为：2(AD+CD)=2(m-y+x+m)=4ni-2y+2x

•••长方形GHE尸的长为：GH=x-AG=x-m,

宽为：HE=y-m,

长方形歹的周长为：2(GH+HE)=2(x+y-2m)=2x+2y-4m,

•••分割后的两个阴影长方形的周长和为：4m-2y+2x+2x+2y-4m=4x,

故答案为：4x.

20.把七个长和宽分别为7〃,〃的小长方形，摆成如图所示的图形，若四边形"CO为长方形，则图中阴影

【答案】23/

【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，能表示出长方形，奶。的面积及小长方形的面积是解题的关

键；将阴影部分的面积转化为长方形48CO的面积减去7个小长方形的面积之和即可.

【详解】解：由所给图形可知，长方形48CQ的长为：7〃+2〃=9〃，宽为：7〃+“=8〃，

所以长方形ABCD的面积为：9小8〃=72/,

又因为空白部分为7个小长方形，它们的面积之和为：7x7"〃=49l,

所以阴影部分的面积为721-49/=23/,

故答案为：23〃2.

21.如图，小长方形纸片的长为a,宽为b,且将7张纸片按图不小重登的放在长方形,48C。内，未

被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为凡和邑.

.D

§

a

JS2

h/HU------c

(1)当4=8,6=2,4)=20时，S「SI的值为:

(2)若48长度保持不变，力。变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形X8CO内,

当3s2-5岳的值与力。的长度无关时，心6满足的关系式是.

【答案】24a=5b

【分析】本题考查整式加减运算的实际应用.

(1)由图可知：4D=BC=20,48=CD=a+3b,确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出S?,5,即可；

(2)设力。=x,求出3s2-5H的值，根据3s2-5£的值与3的长度无关,得到力的系数为0,进行求解

即可.

【详解】解：(1)由图可知：AD=BC=20>AB=CD=a+3b=]4,

”=36x(4O-Q)=3X2X(20-8)=72,S2=ax(8C-4b)=8x(20-8)=96,

.-.y-S,=96-72=24；

故答案为：24；

(2)设力力=x,

贝|J：3S,-5Sl=3a(x-4b)-5^3b(x-a)

=3ax-12ab-15bx+15ab

=(3a-]5b)x+3ab:

•••3星-55的值与力。的长度无关，

3a-15/)=0,

:.a=5b；

故答案为：a=5b.

22.将边长分别为。和b(a>b)的两张正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式置于同一个长方形ABCD

中(图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,

设图1中阴影部分的周长为G，图2中阴影部分的周长为g，则的值为

图1图2

【答案】0

【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减等知识点，掌握整式的加减的法则是解题的关键.

先根据周长公式列代数式，然后根据长方形的性质化简，然后比较即可解答.

【详解】解：由题意知，C^AD+CD-h+AD-a+a-h+a+AB-a,

=4D—b+AB—a+a—6+Q+BC—a+AB.

••・四边形48。是长方形，

AR=CD,AD=BC,

：.C=AD+CD-b+AD-a+a-h+a+AB-a=2AD+2AB-2h,

G-AD—b+AB—ci+a—b+a+BC—a+AB=2AD4-2AB—2b

：.c2=Cf,即c?-G=o.

故答案为0.

23.如图，一块长方形铁皮的长为（74十与米，宽为（5a+4〃）米•将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长

为（。+力）米的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体盒子.

⑴求这个盒子底部的长和宽（用含。、〃的代数式表示，要求化简）；

（2）求这个盒子底部的面积（用含。、。的代数式表示，要求化简）；

⑶将盒子的外部表面进行喷漆，若每平方米喷漆的费用为8元，求喷漆共需要的费用（用含。、〃的代数式

表示，要求化简）.

【答案】⑴这个盒子底部的长为（5”与米，宽为（3a+2b）米

⑵这个盒子底部的面积为（15/+7砧-2从）平方米

⑶喷漆共需要的费用为（24&/2+200^）元

【分析】本题考查了整式加减的应用，整式乘法的应用，根据题意正确列式计算是解题的关键.

（1）根据题意列式计算即可；

（2）根据题意列式计算即可；

（3）根据题意列式计算即可.

【详解】（1）解：这个盒子底部的长为（7。+b）-2（a+1）=7以十人一2a—2分=5a-b.

这个盒子底部的宽为（5。+46）—2（。+力）=5。+4〃-2。-26=3。+2〃.

答：这个盒子底部的长为（5。-与米，宽为（3。+26）米.

（2）解：（5«-/>）（3«+2/?）=15«2+10^/;-3ab-lb1=\5a2+lab-2b2.

答：这个盒子底部的面积为（15/+7融-2/卜F方米.

（3）解：（7a+b）（5a+4b）-4（a+4）2

-35a2+33ab+4Z>2-4a2-Sab-4b2

=31t72+25ab；

8（3\a2+25"）=248a2+200".

答：喷漆共需要的费用为（248/+200"）元.

24.某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：〃?），其口两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔

开.

⑴绿地的面积为平方米：（用含有。，b,Tl的式子表示）

（2）若人=：〃，

①若铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共需多少

元？（用含有。，n的式子表示）

②若要求绿地面积大于这块地总面积的!，试问该设计方案是否合乎要求？请说明理由.

【答案】（1）0笈（/+〃）

4

⑵①（240/一25万/）元：②该设i一方案合乎要求，理由见解答

【分析】本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，川含。，人的代数式表示出各区域的面积是解题的

关键.

（1）将两个扇形的面积相加，即可用含有。，b,万的式子表示出绿地的面积；

（2）代入b=用含有明笈的式子表示出绿地的面积.

①利用美化这块长方形区域所需费用二铺设每平方米五彩石所需费用x（这块地的总面积一绿地的面积）+

种每平方米草所需费用x绿地面积，即可用含有。，乃的式子表示出美化这块长方形区域所需费用；

1

②求出这块地总面积的;，将其与绿地面积比较后，即可得出结论.

【详解】（1）解：根据题意得：绿地的面积为:乃初2=:双『+尸）（平方米）.

444

故答案为：:乃（/+〃）；

4

（2）解：当b=时,；乃（/+/）=+[/+（；]）']=得江/.

①根据题意得：160[[。+彳。。一■^乃（丁]+8。乂2用。2

\2.）Io16

=160—672--nor^l+SOx—

（216）16

355

=160x—a2-160x-jra~+80x—7ra~

21616

=240a'-SO/ra1+25加力

=（240/-25乃/）（元）,

，美化这块长方形区域共需（240”、25乃小）元；

②该设计方案合乎要求，理由如下：

这块地总面积的W是孤+；["=，2=o.9/（平方米）.

•・•上乃。2ss098/>0.9。2,

16

•••该设计方案合乎要求.

题型八：新定义题

25.给出定义如下：我们称使等式a-b=M+l成立的一对有理数。、人为"相伴有理数对"，记为（出力）.如:

|1（1>

3--=3x-+l,所以数对3；是“相伴有理数对〃.

LL、乙）

（1）数对（-3,-2）,（-1-2^,是〃相伴有理数对〃的是；

（2）若（。/）是“相伴有理数对〃，贝1]4出）—〃+；（〃+分-74>）+2024=.

【答案】2023；/竿

【分析】本题主要考查了整式的化简求值和新定义，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，

正确理解新定义的含义.

（1）根据“相伴有理数对〃的定义对这两个数对进行计算，然后判断即可；

（2）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把。力=帅+1整体代入化简后的式子进行计算即

可.

【详解】解：(1)v-3-(-2)=-3+2=-1,(-3)x(-2)+l=6+l=7t

----(—2)=——+2=—,——x(—2'i+1=—+1=—,

3''333''33

-3-(-2)(-3)x(-2)+1,-1-(-2)=-1X(-2)+1

•.•〃-6="+1成立的一对有理数a,b为“相伴有理数对”，

.•.是“相伴有理数对〃的有ET；

(2)是"相伴有理数对”，

:.a-b=ab+\,

：.4ab-a+；(a+6-7ab)+2024

=4ab-a+—a+—b—ab+2024

222

=—ab—a+—b+2024

222

=卜力一;("+1)+2024

=-ab--ab--+2024

222

=20231,

故答案为：ET，2023；

26.我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，例如：在图1中，即5+6=11,若。力

满足|a-3|+(b+l)2=0,则图2中歹的值为

图1图2

【答案】27

【分析】本题考查了整式的加减与化简求值；先用含有。，b的代数式表示用和〃，再表示出P即可.根据

绝对值和完全平方的非负性求出。和〃的值即可解决问题.

【'佯解】由题知,

m=ab:+a'b+ab2=a:b+2ab2;

n=azb+ah'-3(a2b-a)=a'b+ab2-3a~b+3a=-2a'b+ab2+3a；

所以y=+〃=a'b+lab'-2a:b+ab"+3a=-a:b+3ab2+3a.

因为|”3|+(b+l)2=0,

所以a-3=0,b+1=0,

贝！Ja=3,b=—\^

所以y=-32x(-l)+3x3x(-iy+3x3=27.

故答案为：27.

27.观察下表：我们把表格中字母的和所得的整式称为“有特征婺式“，例如：

第1格的“有特征整式"为，4x+y,

第2格的“有特征整式"为,8x+4p,

回答卜.列问题：

（1）第3格”有特征整式”为第4格的“有特征整式〃为

第〃格的“有特征整式〃为.

（2）若第〃?格的"特征整式"与整式-24x+2y-5的和不含有x项，求此“有特征整式〃.

序

1234..

号

xxxxxyyy

xxxxyyy

xxxyyXX

XXyXXyyyy

图

yXXyyyXX..

形

XXyyXXyyyy

XXXyyyXX

XXXXyyyy

XXXXX

【答案】（1）12x+9y,16x+16y,4nx+n2y；（2）24x+36y

【分析】（1）根据表格中的数据可以解答本题；

（2）根据（1）中的结果可以写出第m格的“特征整式〃，然后根据题意可以求得m的值，从而可以写出此

“特征整式

【详解】解：（1）由表格可得，

第3格的“特征整式"为12x+9y,第4格的“特征整式〃为16x+16y：第n格的“特征整式"为4nx+My,

故答案为：12x+9y,16x+16y,4nx+n2y；

(2),第m格的"特征整式"是4mx+m2y,

(4mx+m2y)+(-24x+2y-5)

=4mx+m2y-24x+2y-5

=(4m-24)x+(m2+2)y-5,

•••第m格的"特征整式"与整式・24x+2y-5的和不含有x项，

.,•4m-24=0,得m=6,

••.此"特征整式”是24x+36y.

【点睛】本题考查整式的加减、整式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

28.定义：已知M,N都是关于x的整式，若M-N=k(Q0,且及不含字母)，则称M是，的“平移

式“，k叫做〃关于N的"平移值例如：M=2/+x+3，N=2/+x-l,

；W-/V=(2X2+X+3)-(2X2+X-1)=4>0,则称〃是N的“平移式〃，M关于N的“平移值”为4.

(1)若A/=—g/+5x—3,N=—g『+5x—l,则"是N的"平移式"吗？为什么？

⑵对于常数加，〃，有.历=4/+必+〃?2,N=4/_6X+〃，若M是N的“平移式〃，且“平移值”为3,求m,

〃的值；

⑶若力，B,AZ都是关于x的整式，且力=一;一鼻，B+帆x+1.M=5/+(〃?-2)工+,〃?，且

N=2A-B,试问：〃是N的“平移式〃吗？如果是，求出〃?，〃的值及“平移值〃；如果不是，请说明理由.

【答案】⑴M不是N的“平移式〃，理由见解析

(2)m=-6,〃=33；

(3)当初=2,〃=-2时，♦是N的"平移式"，"平移值”是5

【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键.

(1)根据新定义，仿照示例，可判断M不是N的“平移式〃；

(2)根据题意，得到〃-N=3,代入N的代数式，化简可得到结果；

(3)先表示出N,判断当M-N=A(A>0)的条件，从而得到结果.

【详解】(1)解：M小是N的“平移式”，理由如下：

22

VM=--X+5X-3,^=-1X+5X-1,

22

...M-^=f--x2+5x-3l-f--r+5x-l>|

22

=-2,

v-2<0,

•••〃不是N的"平移式"；

(2)解：•••〃是N的"平移式"，且〃平移值〃为3,

:.M-N=3,

,•*M=4x2+mx+m2，N=4x2-6x+n,

+wx+w2)-(4x2-6x+〃)=3,

•*-4A2+HLK+rn2—4A2+6A—ri=3>

+6)x+("J-〃)=3,

•••/〃+6=0,〃/一〃=3,

•••m=-6,〃=33：

[],I2

(3)解：A=———nx——,B=6x2+mx+1>

22

.-.N=2A-B=\\x2-Z?A--^-(6X-7MX+1)=5x+

.,、4

M=+(zin-2)x+—m,

"..4"]「7

：.M—N=5.M+(〃?-2)x+—〃？-5.r2-(/?+—

33

当|'»|=2,则阳=2或-2,

Q7

①若6=2,〃=一2时，M—5x2+—,N-5x'--,

.•.M—N=5>0,则M是N的“平移式"，"平移值”是5：

o7

②'：m=-2,〃=6时，M-5x2-4x--,N-5x2-^x--

...财-N=-；<0,则“不是N的"平移式”，

综上，当加=2,〃=-2时，M是N的"平移式"，"平移值〃是5.

题型九：方格问题

29.3x3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和

格〃.如图的”等和格〃中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15.

（1）图1是显示部分代数式的“等和格”，可得a=（含b的代数式表示）;

（2）图2是显示部分代数式的“等和格〃，可得a=,b=;

【答案】(l)-b;(2)：a=-2,b=2;(3)9.

【分析】(1)由每行、每列的3个代数式的和相等，列出关系式，即可确定d与b的关系;

(2)由第一行与第三列、对角线上与第二行的和相等，可得a与b的值；

(3)根据“等和格”的定义列方程，然后整理代入，即可求出b的值.

【详解】解：(1)由题意得：-2a+a=3b+2a,即a=-b；

故答案为-b：

(2)由题意得:

卜2。+。=36+2。

I—2a+2〃二。一8十3人

故答案为a=-2,b=2

(3)由题意得：2a2+a+a-2a2=a2+2a+a+3,即：a2+a=-3

2优+。+。+3=6+3/+24+/+2。，可得：

b=-2a~-2^+3；^=-2(a2+«)+3=2x(-3)+3=9

故答案为9.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用"每行，每列及对角线上的3个数

(或代数式)的和都相等”列出等式.

30.阅读与思考

下面是一位同学的趣味数学研究.请仔细阅读并完成相应的任务.

趣味数学研究如图，用一个表格中的％表示〃的次数，y表示力的次数，例如：表格中的

y

4:a'b=ab；A2:a'b'=a、b'.

①由表格可知，4：。%'=；A：axb>'=.

②由①中的规律可知，4的次数为.

⑵若图中的整式★为优+“+。，其中。，b,c为3个不同的正整数，且整式的值为70,贝lJa+6+e的最大

值为.

【答案】⑴①。皆；a&：(2)2n

⑵68

【分析】本题考查了数字类规律探索，代数式的值，

(1)①根据规律，即可求解；

②根据规律可得4：再求次数，即可求解.

(2)再根据题意和★所处表格位置可得/+从+C=70,由。，b,。为3个不同的正整数，可得a,b的值,

从而得出。的值，然后代入a+6+c中，即可得最大值.

【详解】(1)解：①由表格可知，4：/〃=/〃：4：/6m

故答案为：//；04b1

②由①中的规律可知，Wb"的次数为〃+〃=2〃，

故答案为：2n.

(2)解：根据题意和★所处表格位置，可得整式★:"+勿+c中的X=3/=2,

将x=3,J=2代入a*+6,+°中，即为a，+>+c

•.•为其中4,h,C为3个不同的正整数，

.•.求a+b+c的最大值时，。3力2最小即可，

：.a=1,6=2,

又•.整式的值为70,即/+〃+c=70,

•••13+22+C=70，

解得：c=65,

"+的最大值为1+2+65=6g,

故答案为：68.

题型十：整式加减的实际应用

31.A.8两处粮库分别有水稻100,和400/,全部运送到C、O两米厂加工，而C、。米厂分别能加工水

稻150/和350/；已知从力、4两处米厂的运价如下表：

到C厂运价到。厂运价

4粮库每吨15元每吨10元

4粮库每吨12元每吨12元

(1)若从8粮库运到。地的水稻为x(50<x<150)吨，则从3粮库运到。地的水稻为」；从力粮库将水

稻运往。地的运输费用为一元：

(2)用含戈的式子表示出总运输费.(要求：列出算式，并化简)

(3)当尸100时，求总运输费用.

【答案】(1)(400-x)、(10X-500)：(2)总运费为(6550-5X)元；(3)6050元.

【分析】(1)由B粮库有水稻40ct全部运出，可得从4粮库运到。地的水稻=400t-从8粮库运到C地的水

稻，则第一个空可解；先用x表示出从/粮库将水稻运往。地的吨数，再