正方形的性质与判定 课堂同步提升训练-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

1.3正方形的性质与判定课堂同步提升训练

一.选择题

1.正方形具有而矩形不具有的性质是（）

A.对角相等B.对角线互相平分

C.对角线相等D.对角线互相垂直

2.如图，将正方形OA3C放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1,V3）,则点。的坐标为

（）

A.(-V3,I)B.(-I,V3)C.(V3,1)D.(-V3,-1)

3.如图所示，已知四边形A8CO的对角线AC、8。相交于点0,则下列能判断它是正方形的条件是（）

A.AO=BO=CO=DO,AC-BDB.AC=BC=CD=DA

C.AO=CO,BO=DO,AC1BDD.AB=BC,CDIDA

4.如图，在正方形4BCQ中，AC为对角线,点E在AB边上，ERLAC于点F,连接EC,AF=3,△EFC

的周长为12,则的长为（）

B.5C.6

5.如图，正方形AiBiCiDi.A3B3C3D3、A481C4D1的边长分别为2、4、6、4,四个正方形按

照如图所示的方式摆放，点A2、A3、4分别位于正方形A282c2。2、A383c3。3对角线的交

点，则阴影部分的面积和为（）

B2

6.如图，在正方形A3CO中，0E是N8OC的平分线，若正方形的边长是1,则CE的长是（）

1鱼LL

A.-B.—-1C.V2-1D.242-1

22

7.有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分

面积为45；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为130（各个小长方形之间不

重叠不留空），则每个小长方形的面积为（）

图1图2

A.4B.8C.10D.16

8.如图，左边为参加国庆阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成

由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与AABC全等的三角形是（）

A.△DGEB.△DGFC.△ADGD.△AEG

9.如图，点C为线段AB的中点，在4c边上取点。，分别以CQ,BC,8。为边向上作正方形CQEF,

正方形BCGH,正方形BDJI,已知A8为4,若连结A/恰好经过点E,则阴影部分面积为（）

C.4V2-2D.8企-8

10.如图，正方形AEC。中，E、尸分别为BC、。。的中点，人尸与OE交于点G.则下列结论中：①"J"。民

②AD=8G；③GE+GF=aGC；④S△人GB=2S四边形ECFG.其中正确的是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题

II.边长为。的正方形的对角线的长度为

12.已知正方形A8C。中，AB=3,P为边CD上一点,DP=\,Q为边BC上一点,若△APQ为等腰三角

形，则CQ的长为_______________________

13.将等边三角形、正方形和长方形如图所示摆放，则Nl+N2=

AD

B

18.如图，E,尸是正方形A8c。的对角线AC上的两点，且AE=CR

（1）求证：四边形尸是菱形;

（2）若正方形边长为4,AE=y[2,求菱形8EQF的面积.

19.如图，在正方形A3CQ中，对角线AC与3。相交于点。，E为3C上一点，CE=5,尸为。E的中点.若

△CE厂的周长为18,求。尸的长.

20.如图，在正方形A8CO中，点G在对角线8。上（不与点B,。重合），GE_L。。于点E,GF±BC^

点凡连接AG.

（1）写出线段AG,GE,G/；长度之间的数量关系，并说明理由；

（2）若正方形"CO的边长为1,NAG尸=105。，求线段BG的长.

21.如图1,在正方形A8CO中，点石在4。的延长线上，P是对角线上的一点，且点P位于AF的垂

直平分线上，PE交CD于点F.

（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明.

（2）如图2,把正方形A8CZ）改为菱形ABCD,其他条件不变，当NABC=120。时，连接CE,试探究

线段AP与线段CE的数量关系.并说明理由.

图1图2

22.如图，四边形ABCQ是正方形，点E、K分别在8C、4B上，CE=BK,点G在84的延长线上，且

DGLDE.

(1)如图(1)求证：CK=DGx

(2)如图(2)不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的与四边形8EQK面积相等的三角形.

23.如图，四边形44C。、BEFG均为正方形,

(I)如图I,连接4G、CE,试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；

(2)将正方形8EFG绕点B顺时针旋转。角(0°<p<l80°),如图2,连接AG、CE相交于点M,连

接M8,当角0发生变化时，NEM8的度数是否发生变化？若不变化，求出NEM8的度数；若发生变

化，请说明理由.

(3)在(2)的条件下，过点A作AN_LMB交MB的延长线于点N,请直接写出线段CM与8N的数量

关系：_______________________.

参考答案

一.选择题

题号12345678910

答案DAABCCCBDD

二.填空题

11.V2a.

7

12.

3

13.120.

14.18.

15.(i)V5；(2)V10.

16.©(2X3).

三,解答题

17.(1)证明：•・,四边形44c拉是正方形，△E8C是等边三角形，

；.BA=BC=CD=BE=CE,ZABC=ZBCD=90°,NEBC=NECB=6。。,

JNABE=NECD=30。,

在△八8£：和4QCE中，

(AB=DC

/ABE=Z-DCE,

VBE=CE

:.4ABE出ADCE(SAS).

(2)・；BA=BE,NABE=30。，

AZBAE=1(180。-30。)=75°,

VZB4D=90°,

JN£4D=90°-75°=15°,同理可得N4DE=15°,

/.ZA£D=180o-15°-15°=150°.

AD

B'--------------------------

18.(1)证明：

如图，连接8。交AC于点O,

•••四边形A8CQ为正方形，

：.BD±AC,OD=OB=OA=OC,

'：AE=CF,

JOA-AE=OC-CF,HPOE=OF,

・•・四边形BEDF为平行四边形，且BDLEF,

••・四边形BEDF为菱形;

(2)解：

•・•正方形边长为4,

:.BD=AC=44i,

'：AE=CF=V2,

：.EF=AC-242=2V2,

：,S登膨BEDF=gBD・EF=1X4V2X2A/2=8.

乙乙

19.解：：CE=5,ACE尸的周长为18,

/.CF+EF=18-5=13.

丁产为。£的中点，

：.DF=EF.

VZBCZ9=90°,

・•・CF=IDE,

：.EF=CF=1DE=6.5,

：.DE=2EF=\3,

:・CD=>JDE2-CE2=V132-52=12.

;四边形A8CQ是正方形，

；.BC=CD=12,。为8。的中点，

・•・OF是△BDE的中位线，

/.0F=^(BC-CE)=1(12-5)=：.

20.解:(1)结论:AG2=GE2+GF2.

理由：连接CG.

二四边形ABCO是正方形，

••.A、。关于对角线8。对称，

•••点G在B。上，

**•GA=GC,

•・•GELDC于点E,GF±BC于点F,

：,NGEC=NECF=NCFG=90。,

，四边形EGFC是矩形，

:・CF=GE,

在RtAGFC中，*/CG2=GF24-CF2,

Z.AG2=GF2+GE2.

(2)过点A作人〃_L8G,

•・•四边形ABC。是正方形,

，NABZ)=NG8尸=45°,

VGF1BC,

，N8G尸=45°,

•・•ZAGF=105°,

,NAGB=ZAGF-NBGF=105°-45°=60%

在RS45"中,*：AB=lf

F5

:・AH=BH=^,

在RQAG”中，・.・A”=¥，NGA”=30°,

，BG=BH+HG=*+容

解法二：如图，过点、B作BNLAG于N,在8N上截取8W,使得8M=AM,设AN=x.

,/ZAGF=105°,/GBF=/FGB=NABG=45。,

AZAGB=60°,/GBN=30°,NA8M=NBAM=15°,

・•・/AMN=NA8M+N8AM=30°,

:・AM=BM=2x,MN=6,

在RS48N中，则有1=.P+（2丫+百工）2,

解得x=耳?,

...8N=^l

21.解：（I）PC=PE,PCIPE

证明•・•点P位于AE的垂直平分线上，

:.PA=PE,

•・•四边形ABC。是正方形，

：,AB=AC,NADB=/CDB,

VPD=PD,

:・/\ABP义RCBP(SAS)

：,PA=PC,

:.PC=PE,

•・•四边形ABC。是正方形，

：.AD=CD,/ADP=NCBP,

VPB=PB,

:(SAS),

：,ZPAD=ZPCD,

'：PA=PE,

：.ZPAD=ZE,

:・/PCD=/E,

*：NPFC=NDFE,

/.△CPF^AEDF,

，NCPF=/FDE,

•・•四边形48C。是正方形，

,，/AOC=90。，

/.ZFDE=90°,

JZCPF=90°,

・•・PCA-PE.

(2)PA=CE.理由如下：

证明：•・•点P位于A£的垂直平分线上,

:.PA=PE,

•・,四边形48C。是菱形，

•""AC,/ADB=/CDB,

,:PD=PD,

/.AABP丝ACBP,

：,PA=PC

，PC=PE,

•・•四边形A8C7）是菱形，

：,AD=CD,/ADP=/CBP,

,:PB=PB,

，△A。尸也△COP,

：.ZPAD=ZPCD,

*：PA=PE,

：.NMD=NPED,

:・NPCD=NPED,

'：NPFC=NDFE,

:•△CPFs^EDF,

/.NCPF=ZEDF,

•・•四边形48C。是菱形，ZABC=120°

Z.ZADC=NA8C=120。

...ZEDF=180°-N人DC=60°

・•・NCP/=60。

,:PE=PC

・•・△尸CE是等边三角形

:・CE=PE

：.AP=CE.

22.解；（【）如图I,•・•四边形人"CD是正方形，

：.DC=CB=AD,NR=NOCE=NDAG=90。,

"：CE=BK,

:.△DCE/^CBK,

：.DE=CK,

〈DGLDE,

/.ZADG+ZADE=90°=ZCDE+ZADE,

，ZADG=ZCDE,

又・・・NOAG=/OCE=90°,AD=CD,

:.△ADGWACDE,

：.DG=DE,

1・DG=CK；

(2)如图2,，：△DCE/ACBK,

5ADCE=SABCK,

•S・四边形BEFK=SACDF,

•'•S四边形BEFK+SADFK=§4CDF+SADFK,

BPS四边影BEDK=SACDK,

VAyADG^ACDE,

:・CE=BK=AG,

：.CD=AB=GK,

又•：DG=CK,

・•・四边形CQGK是平行四边形，

ASACDK=St,CDG=SLGDK=S^CGK,

.口..与四边形KKDK面积相等的三角形为△CDK,△CDG,AGDK,AGCK.

aRC

图2

G

图1

23.解：(1)AG=EC,AGYEC,理由为：

•・•正方形BEFG,正方形人BCD,

；・GB=BE,NABG=90。,AB=BC,NABC=90。，

在△486和4BEC中，

BG=BE

乙ABC=乙EBC=90。，