直角三角形-2024冀教版八年级数学上册同步练习（含答案解析）

17.2直角三角形冀教版（2024）初中数学八年级上册同步练习

分数：120分考试时间：120分钟命题人:

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图，数学老师利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形教具的尺寸，点B,C分别对应刻度尺上的刻度2和

8,点。为8c的中点，若乙8AC=90°,则可求得/1。的长为3cm,所应用的数学知识是（）

A.在直角三角形中，如果一个锐角等于30。,那么它所对的直角边等于斜边的一半

B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

C.三角形的中位线等于第三边的一半

D.以上都不正确

2.如图，在△48C中，4c=90。，乙4=15。,乙BDC=30°,BC=

1,贝1何。的长为（）

A.1.5B.2C.3D.4

3.直角三角形的一个锐角是60。，则它的另一个锐角是（)

A.30°B.60°C.120°D.30。或60°

4.在RtaABC中，LC=90°,一43=10。，则44的度数为（)

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.如图，在。中，24=90°,ZC=30°,△力BC的平分线80交4C于点

D,若40=3,则OC=()

A.5

B.6

C.8

D.12

6.如图，Rt△力BC中，ZC=90°,BC=4,24=30°,以点4为圆心、

AC为半径画弧，交AB于点E,以点8为圆心、BC为半径画弧，交于点

F,则阴影部分的面积为()

A.竽-841B.8G-粤C.第—16/1D.8/3-3TT

7.如图，在Rt△48C中，。是斜边48的中点，作DE_L4C于点E,DFJ.BC于点

F,连接EF.若力。=5,fiC=12,则EF的长为（）

A.4

B.5

C.5.5

D.6.5

8.如图，在△A8C中，Z.ACB=90°,Z-A=30°,CD是高，若BC=8,则AO的

长为（）

A.16B.12C.10D.8

9.如图，在菱形48co中，对角级4C,80相交于点。，点E为CD的中点.若OE=3,则菱形力8CO的周长

B.12C.24D.48

10.如图，在△48。中，AB=AC,乙1=120。，DE、GF分别是.48、

4C的垂直平分线，BC=30cm,则EG=()

A.15cm

B.8cm

C.7cm

D.10cm

11.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程/-3x=4(x-3)的两个实数根，则该直角三角形

斜边上的中线长是()

A.3B.4C.6D.2.5

12.如图，已知//。8=60。，点P在边。4上，OP=8,点M,N在边。B上,

PM=PN,若MN=2,则。M的长为（）

A.2

B.3

C.4

D.6

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

13.如图，在Rt/kABC中，Z-ACB=90°,CD是A8边上的中线.已知AC=8,BC=

6,则CD的长为.

14.如图，在回力8c中，Z.ACB=90°,CD是48边上的中线，若CD=3,则=

B

21.（本小题8分）

如图,在A49「中，AACR=90°.将A4"绕点r•顺时针旋转得到A。江,使得点。的对应点正恰好落在边

47上，点4的对应点为。，延长OE交48于点E

（1）若NB/1C=30。，BC=1,求线段AO的长；

（2）求证：AB1DF.

22.（本小题8分）

如图，在△力BC中，Z,BAC=90%48=50。，AD1BC,垂足为D,△与△ADB'关于直线AC对称,

点B的对称点是点求zC49的度数.

23.（本小题8分）

如图，在RtOASC中，乙4cB=90°,CO是斜边A8上的中线，AC=4,CO=3.求直角边8C的长.

AB

C

24.(本小题8分)

课本再现

我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

如图1,在中，4ACB=90。，若点0是斜边88的中点，则

定理证明

(1)请完成这个定理的证叨.

拓展应用

(2)如图2,已知乙48二=乙4。4=90。，点£\F分别为力C、BD的中点,AC=26,BD=24.求EF的长.

图1

25.(本小题8分)

如图，将△力8C绕着点C按顺时针方向旋转20。，B点落在夕位置，4点落在A位置，若求

乙笈4。一乙8。8'的度数.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由图可得，^BAC=90°,BC=8—2=6(cm),

•・♦点。为线段4B的中点，

AD=^BC=3(cm),

故选：B.

根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的•半，可以计算出CD的长.

本题考查三角形的中位线定理，含30。角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明

确题意，利用数形结合的思想解答.

2.【答案】B

【解析】解：=90。，Z-BDC=30°,BC=1,

•••BD=2BC=2x1=2,

vLA=15°,乙BDC=30°,

Z.ABD=Z.BDC一乙力=30°-15°=15。，

:.Z.ABD=Z.A,

:.AD=BD=2.

故选:B.

根据直角三角形根据30。角所对的直角边等于斜边的一半求出BD,然后求出乙48。=15。，从而得到

乙=乙4根据等角对等边可得AD=8D,从而得解.

本题考查了直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的•半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角

对等边的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理.

3.【答案】A

【解析】解：设另一个锐角的度数为X,

则x+60°=90°,

解得：x=30°,

••.它的另一个锐知是30。，

故选:A.

根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程即可得到答案.

本题考查的是含30度角的直角三角形，熟记直角三角形的两锐角冗余是解题的关键.

4.【答案】A

【解析】解：在中，ZC=90°,

则+匕8=90°,

vZ.A-Z.B=10°,

Z/1=50°,

故选：A.

根据直角三角形的性质得到+乙8=90。，根据题意计算即可.

本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：乙力二90。，ZC=30°,

Z.ABC=60°,

•••BD平分4ABC,

，ABD=乙CBD=30°,

•••BD=2AD=6,

•••“=乙CBD=30°,

:.CD=BD=6,

故选：B.

由三角形内角和定理可得448c=60。，又8。平分△力8C,贝IJ乙4B0=乙。80=30。，通过直角三角形性质

可得BD=2AD=6,最后通过等角对等边即可求解.

本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，掌握知识点的应用

是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：•：乙C=90。，Z,A=30°,BC=4,

Z.B=90°—z.A=60°,AC=BC-ctanZ-A=4xeta九30°=47~5，

S阳影-S扇形ACE+S扇形BCF-SRSABC

30601

2

X(4V-3)7T+^77：X4?X7T—不X4-/3X4

360ooUZ

20-8/3,

T

••・阴影部分的面积为第兀-8c.

故选:A.

求出立氏根据三角函数求出力C；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积=扇形ACE的面积+扇形

BCF的面积一三角形为BC的面积”计算即可.

本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面

枳计算公式是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】解:连接CD,

•.•。^，｛。于点七，DF工BC于点、F,ZC=90°,

•••匹边形DEC尸是矩形，

EF=CD,

-AC=5,BC=12,LC=90°,

AB=y/AC2+BC2=13，

••・。是48的中点，

CD=^AB=6.5.

二EF=CD=6.5.

故选：D.

连接C。，判定四边形DEC尸是矩形，推出EF=CD,由勾股定理求出力3='力石+BC?=13,由直角三

角形斜边中线的性质得到CO=\AB=6.5,因此EF=CD=6.5.

本题考查直角三角形斜边的中线，矩形的判定和性质，勾股定理，关键是判定四边形DECF是矩形，由直

角三角形斜边中线的性质得到CD=\AB.

8.【答案】B

【解析】解：v^ACB=90°,24=30°,BC=8,

-.AB=2BC=16,48=60。,

又••,C01/18,

AZ.ADC=90°,

Z.ACD=90°-Z.A=90°-30°=60°,

二乙BCD=乙4cB-Z.ACD=90°-60°=30°,

BD=\BC=4,

AD=AB-BD=12,

故选:B.

先根据三角形的内角和定理求出zBCD=30。，然后根据含30。隹的直角三角形的性质求出8。、的长

度，即可求解.

本题考查了含30。角的直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜动的一半是解

题的关键.

9.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关犍是求出=6.

由菱形的性质可得出ACIB。，AB=BC=CD=DA,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得

出CD的长,结合菱形的周长公式即可得出结论.

【解答】

解：•••四边形力8C0为菱形，

AAC1BD,AB=BC=CD=DA,

••.△COD为直角三角形.

•••0E=3,点E为线段的中点，

•••CD=2OE=6.

AC菱形ABCD=4C。=4x6=24.

VDE,GF分另|J是48,AC的垂直立分线,

二BE=AE,AG=CG,

:.乙B=Z,EAB=30°,ZC=/.GAC=30°,

£EAG=LBAC-LEAB-^GAC=120°-30°-30°=60°,

在么A8笈和△AC'G中，

=Z-C

\z.EAB=乙GAC,

\AB=AC

-^ABE^^ACG(AAS),

:.AE=AG,

•:乙EAG=60°,

.•.△AEG是等边三角形，

EG=AE=AG=BE=CG,

EG=1FC=1x30=10(cm),

故选：D.

连接4E,AG,易证得△力EG为等边三角形，即可得到EG=；8C,进而得到答案.

本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三

角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

11.【答案】0

【解析】解:x(x-3)-4(%-3)=0,

(x-3)(%-4)=0,

x-3=。或％-4=0,

所以％1=3,x2=4»

则直角三角形两直角边分别为3、4,

所以斜边=、32+42=5,

所以该直角三角形斜边上的中线长=5

故选：D.

先利用提公因式法解方程得到直角三角形两直角边分别为3、4,再利用勾股定理计算出斜边=5,然后根

据直角三角形斜边上的中线性质求解.

本题考查了解一元二次方程-提公因式法，也考查了直角三角形斜边上的中线性质.

12.【答案】B

【解析】解：过点P作PC10B,

A

:.CM=CN=^MN=1,

在中，Z,AOB=60°,

:.Z.OPC=30°,

•••GP=8,

GC=^OP=4,

•.GM=0C-CM=4-1=3,

故选：B.

过点P作PCJ.OB,如图所示，先由等腰三角形三线合一的性质可知，PC1.0B,CM=CN/MN=1,

再由含30。的直角三角形性质求出。C,数形结合表示出0M求解即可得到答案.

本题考查求线段长，涉及等腰三角形性质、含30。的直角三角形性质等知识，熟记等腰三角形性质、含30。

的直角三角形性质是解决问题的关键.

13.【答案】5

【解析】解：•・•在中,Z-ACB=90°,

/.AB=y/AC2+BC2=V82+62=10,

•••CD是AB边上的中线

CD=\AB=5.

故答案为：5.

根据勾股定理求得力从由斜边上中线等于斜边一半求得CD.

本题考查勾股定理，直角三角形性质，由相关定理得出线段间数量关系是解题的关键.

14.【答案】6

【解析】本题主要考查了直角三角形的性质.根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求解.

【详解】解：4力CB=90°,CD是4B边上的中线且CD=3,

AB=2CD=6.

故答案为：6

15.【答案】5

【解析】略

16.【答案】275-2

【解析】解:取BC的中点。，连接。E,OD,

•••匹边形是正方形，

•••乙BCD=90°,CD=BC=4,

...OC=^BC=2,

:.GD=VOC2+CD2=2/5,

•:乙BEC=90°,

:.GE=；BC=2,

vDE>OD-OE,

.••兰。，。，E三点共线时，DE的值最小为。。一OE=2门一2;

故答案为：2，5-2.

取BC的中点0,连接0E,。。，斜边上的中线求出0E的长，勾股定理求出。。的长，根据OEZOO-OE,

求出最小值即可.

本题考查斜边上的中线，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.

17.【答案】证明：Z.ACB=90°,CO是斜边48上的中线，

CD=^AB=AD,

•••£CAD=Z.ACD.

-AE1CD于点H,

.%Z.AHC=90%

Z.CAH+Z.ACD=90°,

又R£△力8c中，LB+^.CAD=90°,

•••乙CAH=乙B.

vZ.ACB=乙4CB,

:.&ACEs>BCA,

.AC_CE

ABC=AC，

AAC2=CE・BC.

【解析】证明△ACEs^BC/l,根据相似三角形的性质可得结论.

本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，熟记定理是解题的关键.

18.【答案】乙B=60°,AB=20,AC=3.

【解析】解：•:乙C=90°,Z,A=30°,

:.乙B=60°.

..BC.“BC

vsmA=~,tanA=-»

ABAC

即工=乌虫=旺

12AB3AC

••.AB=2/3,AC=3.

先求利用直角三角形的边角间关系再求另一直角边和斜边.

本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键.

19.【答案】3.

【脩析】解：•••N/C8=90。，AA=30°,AB=12,

BC=｝：AB=6,Z-B=90°-30°=60°,

vCD1AB,

:•乙CDB=90°,

•••/BCD=90°—60°=30。，

...BD=^BC=3.

利用直角三角形的性质求出8c和BD长即可.

本题主要考查了直角三角形的性质，掌握30。角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.

20.【答案】乙4=NC8D=35。，LC=/.ABD=55°；相等的锐用有：=^CBD,ZC=Z-ABD

【解析】解:在RMA8C中,Z.ABC=90%

Z.A+Z.C=90°,

•••"=35°,

LC=90°-z/1=90°-35°=55°；

在股△力80中，

•••BD1AC,即乙4。8=90°,

AZ.A+Z.ABD=90°,

♦:&=350,

Z.ABD=90°-LA=90°-35°=55°；

在RtaDBC中，vBDLAC,即"OC=90。，

:.LC+Z,CBD=90°,

vLC=55。，

:.乙CBD=90°-ZC=90°-55°=35°；

,相等的锐角有：4A=4CBD,ZC=/.ABD.

直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可.

本题主要考查直角三角形两锐角互余，掌握其相关知识点是解题的关键.

21.【答案】解：(1)・：BC=1,^ACB=90°,ABAC=30°,

:.AB—2BC—2,

:.AC=y/AB2-BC2=V22-l2=6,

•••将△ABC绕点C顺时针旋转得到ADEC,

AC=CD,乙ACB=乙ACD=90°,

AD=>JAC2+CD2=J(/3)2+(/3)2=76；

(2)证明：•.•将△4BC绕点。顺时针旋转得到△DEC,

•••Z.BAC=乙CDE,

又•.4力EF=Z.CED,

•••/.AFE=Z.ECD=90%

•••AB1DE.

【解析】(1)由直角三角形的性质及勾股定理求出力8和4C的长，由旋转的性质得出力C=CD=g由勾

股定理可得出答案；

(2)由旋转的性质得出4=证出乙4/E=NECD=90。，则可得出4B1DE.

本题主要考查/旋转的性质，含30。角的直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

22.【答案】【解】因为N8=50。，^BAC=90°,所以NC=90。-50。=40。.因为4D1△力。8与

△4。夕关于直线力。对称，所以/AB'。=