直线和圆的方程（核心考点）-高考数学一轮复习（新高考专用）

考点19直线和圆的方程(核心考点讲与练)

，考点*萧)

一、直线与方程

1.直线的倾斜角

(1)定义：■轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角,规定与彳轴平行或重合的直线的倾

斜角为零度角.

(2)规定：当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为。：

(3)范围：直线的倾斜角。的取值范围是［0,n).

2.直线的斜率

(1)定义：宜线中的系数4叫做这条直线的斜率,垂直于x轴的直线斜率不存在.

(2)计算公式：若由力(汨，，)，用照，㈤确定的直线不垂直于)轴，则4=上工/若比).若直线的倾斜角

题~为

为夕(。。=")’贝UA=tan£.

3.直线方程的五种形式

名称几何条件方程适用条件

斜截式纵截距、斜率

与x釉不垂直的直线

点斜式过一点、斜率y-—=4(x—加)

与两坐标轴均不垂直的直

y-y』x-x\

两点式过两点

%—y~~—一由线

不过原点且与两坐标轴均

x,y

截距式纵、横截距二方

不垂直的直线

4r+故+C=0

一般式所有直线

(1+〃W0)

二、两条直线的位置关系

1.两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

对于两条不重合的直线九12,其斜率分别为左,儿，则有任及•特别地，当直线九乙的斜率都

不存在时，Ji与在平行.

(2)两条直线垂直

如果两条直线九A斜率都存在，设为尢，左，则，」多0建・1=-1,当一条直线斜率为零，另一条直线

斜率不存在时，两条直线垂直.

2.两直线相交

[4x+8i_r+G=0,

直线h4x+4y+G=0和/2：4x+Ay+G=0的公共点的坐标与方程组彳+合,+6二。的解一一对应.

相交o方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解；

平行o方程组无解;

重合o方程组有无数全解.

3.距离公式

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点月(8，R),月(励助间的距离公式为1〃月1=、/(加一小)%(“一”)；

特别地，原点。(0,0)与任一点户(x,y)的距离I例

(2)点到直线的距离公式

平间上任息点片(为，珀到直线/：4¥+改+。一0的距离d—r-r-~.

w+8

(3)两条平行线间的距总公式

IGc1

一般地，两条平行直线心力x+By+G=0,12：4H■"+C=0间的距离占-71丁士

三、圆的方程

1.圆的定义和圆的方程

定义在平面内，到定点的距离等于定二氐的点的集合叫做圆

圆心C(a,6)

标准(x—a)'+(y—»2=/(/>0)

半径为r

充要条件：万+3--1Q0

方程

f+4+〃x+故+40圆心坐标：(二£_二§

一般

(4+)—47>0)

半径r=1\/〃+卢一4川

乙

2.点与圆的位置关系

平面上的一点.以加，㈤与圆G(*—4)2+3—6)2=产之间存在着下列关系：

(1)MC\>在圆外，即(加一a)?+(曾一力)+/=W在圆外;

（2）|玳1=/0，必在圆上,即（.一zM+（%—6）2=/=$/在圆上；

⑶|MC\V/=J/在圆内,即（加一a）'+（心一oM在圆内.

四、直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系

设圆C：（才一力2+3—6）2=/,直线7；而+敌+。=0,圆心CQ,6）到直线1的距离为d,由

（x-a）"+（y-。）2=产，

小+/+0=0

消去y（或x）,得到关于爪或y）的一元二次方程，其判别式为人

方法位置

几何法代数法

关系

相交cKr4>0

相切d=r4=0

相离d>rJ<0

2.圆与圆的位置关系

设两个圆的半径分别为4,r,R>r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示:

位置关系相离外切相交内切内含

R-r<

几何特征d>R+rd=R+rd=R-rd<R—r

d<R-r

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

（1）求出斜率％=tana的取值范围.

（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角。的取值范围.求倾斜角时要注意斜率是否存在.

2.已知两直线的一般方程

两直线方程/i：Aix+8iy+G=0,，2：4»+/，2），+。2=0中系数Ai,B\,Ci»4,生，C2与垂直、平行的关

系：

【详解】作出函数的图象,如图,

故选:A.

1

B.——C.3D.-3

A.\3

【答案】A

【分析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于一L据此即可列式求出。的值.

故选：A.

【答案】C

故选:C.

C.点P到x轴的距离为6

三、填空题

7.（2021年1月新高考八省联考卷）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在

直线的斜率分别为.

【答案】二和一3.

3

即正方形其中一边所在直线的斜率为:，

又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为-3.

故答案为：；和—3.

3

【答案】［

16

【详解】

由问量的线性运算，得

故答案为：j

lo

四、解答题

(I)求椭圆C的方程；

【分析】(1)根据椭圆定义，可求得〃值，将P点坐标代入，即可求得从，即可得答案.

(1)

所以M,N,R三点共线

叵高两直线的位置关系

A.-3B.-1C.-1或3D.1或一3

【答案】C

【答案】A

【详解】设线段MN的中点为。，

故选:A

【答案】B

【分析】求出直线所过定点，当直线与定点和圆心连线垂直时，弦长最小，由此可得结论.

故选:B.

【答案】A

【分析】先根据直线与圆的位置关系求得％得取值范围，即可得答案.

【详解】若直线与圆有公共点，

故选:A

A.3或-1B.1或一3

C.0或4D.T或0

【答案】A

【分析】利用圆的切线性质结合点到直线的距离公式列式计算即得.

所以，〃的值为3或T.

故选:A

5.（2022年（新高考）数学高频考点）圆/+尸+以一⑵叶匚。关于直线ax—by+6=0m>0,>0）对称,

则二+一的最小值是（）

ab

.厂「20—32、16

A.25/2B.—C.—D.—

“333

【答案】C

【详解】由圆好+炉+41-12），+1=0知，其标准方程为（x+2）2+G，-6尸=39,

■:圆.正+产+而一12y+1=0关于宜.线cix—by+6=0（«>0,。>0）对称，

,该直线经过圆心（-2,6）,即一2。一6力+6=0,

•,.a+3b=3（a>0,0>0）,

故选:C.

二、多选题

A.直线/与圆C相切B.直线/与圆。相离

【答案】BD

•••直线/与圆。相离

A不正确，B正确；

C不正确，D正确；

故选：BD.

A.存在3个不同的m使得圆C与无轴或），轴相切

B.存在2个不同的小使得圆。在x轴和），轴上截得的线段相等

C.存在2个不同的m使得圆。过坐标原点

【答案】ACD

【分析】本题考查圆的方程与性质以及函数图象.

当圆心纵（横）坐标的绝对值等于半径时，圆与“⑺轴相切，可判定A；当圆心到x轴或），轴距离相等时，在

轴上截得的线段相等，可判定B；对于C,只要圆心到原点距离等于半径即可；当直线过圆心时，平分圆的

面积，可判定D.

【详解】由条件可知，I员IC的半径为1,圆心坐标为（。，In”），即圆心在曲线y=lnx上运动.

故送：ACD.

（4）若直线过圆心，则平分圆的面积.

A.以线段为直径的圆必过圆心C

B.以线段PQ为直径的圆的面积的最小值为2不

D.直线P。在x，y轴上的截距的绝对值之和的最小值为4

【答案】BC

【分析】利用直线与圆之间的关系，列出点到直线距离公式，逐个选项进行判断即可

故选：BC

三、填空题

所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短，

四、解答题

（1）求曲线C的极坐标方程及直线/的直角坐标方程：

考向%圆与圆的位置关系

A.内切B.相交C.外切D.相离

【答案】C

故选:C.

【详解】解：根据题意，作出如下所示的图形,

聋受茗＞直线与圆的综合问题

【答案】A

【详解】解法一（极限法）：如图所示，

若点p离原点越远趋向无穷远处时，|。尸|越来越长，|AP|、忸日也随着越来越长,

显然上式是/的单调递增函数,

故选:A.

A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线

【答案】A

【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.

故选：A.

【点睛】本题主要考查平面向量及其数量枳的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能

力和计算求解能力.

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

故选:B.

【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.

3.（2020年全国统一高考（新课标川））若直线/与曲线产五和如+）2=（都相切，则/的方程为（）

A.v=2x+1B.y=2x+—C.v=—x+1D.y=—x+—

,2-222

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义设出直线/的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.

此时该直线与抛物线只有一-个交点，即不存在不合题意;

一、单选题

A.2B.V?C.1D.—

2

【答案】B

【分析】求出“坐标及直线4M的方程，根据圆的弦长公式即可求解.

故选：B.

A.2B.—C.2D.；

22

【答案】C

【分析】根据两直线垂直，直接列出方程求解，即可得出结果.

故选：C.

【答案】A

故选:A

【答案】A

故选：A.

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】由条件求出参数〃，再根据切线的性质|尸。.

故选:B.

A.又一2y+1=0B.x+2y-l=0

C.2x+y-2=oD.x~2y-\=0

【答案】D

【分析】利用配方法求出圆心坐标，结合垂直直线之间斜率的关系进行求解即可.

因为直线法+厂3=0