云南省昆明市2024-2025学年高二年级上册期末考试数学试题（解析版）

云南省昆明市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设复数z满足（lT）z=2i,则|z|二（）

A.25/2B.2C.V2D.专

【答案】C

【解析】由（l—i）z=2i可得：z=2，

所以“匚T律而不=-1+匕g（T）+,=&•

故选：C.

2.已知集合人={-2,—1,0,1},Z?={XGN|X2<4）,则408=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1}

C.{-1,1}D.{-2,—1,0}

【答案】B

【解析】因为3=[£?4卜2K4}={xwN卜2c<2}={0,1,2},且A={—2,—1,0,1},

故4「5={0,1}.

故选:B.

3.过4-1,逝），5（2,0）两点的直线倾斜角为（）

5兀一3兀一2兀一兀

A.—B.—C.—D.一

6433

【答案】A

【解析】设直线48的倾斜角为，，所以tan〃=k=叵心=-正，

-1-23

因。£[0,兀），所以。二型，

6

故选：A.

4.己知向量Z，石满足访1=2,=[与行的夹角为兀，则|31+2〃|=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】因为[与B的夹用为加，故3=—23，故|3a+2$R2a|=2|a|=d,

故选：D.

5.昆明地铁1-2号线的开通运营后极大的方便了市民的出行，某趟列车从福德站到斗南站

的过程中，共10个站，各站上车的人数统计如下：70、50、60、55、60、45>35、

30、30、10,则该组数据的第90百分位数为（）

A.65B.60C.55D.50

【答案】A

【解析】根据从小到大排序为10、30、30、35、45、50、55、60、60、7（）,

则10x90%=9,所以第90百分位数为丝土卫=65.

故选：A.

6.已知x,yeR,且x>）',则（）

A.sinx-sin>f>0B.--->0

C.In戈+1”>0

【答案】D

【解析】因为工>>,且

对于A,取％=兀，j=—,满足人>y，但sinx-siny=sin兀-sin巴=-1<0,故A错

2'2

误；

对于B,取x=l,y=-,满足x>y,但1一'=1-2=-1<。，故B错误；

.2xy

对于C,取x=2,y=-,满足但lnx+lny=ln（xy）=lnl=O,故C错误；

对于D,因），=（；>是减函数，故由工>），可得（；）*<］；），故D正确.

故选：D.

7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天

体的星等是叫、m2,其亮度分别表示为E、E2,它们满足关系式吗一町二^坨春，

这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是-26.7,月亮（满月时）的星等是—12.7,则太

阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（）

A.5.6B.1056

C.1g5.6D.10-56

【答案】B

5,E.

【解析】两颗星的星等与亮度满足也一町二j】gU，

2E2

令呵=72.7,町二一26.7,1g盘=］（〃4-网）=］（-12.7+26.7）=5.6,-^-=1056,

E255E2

因此，太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为IO".

故诜：B.

8.已知函数/（》）二卜'一”卜加有且仅有一个零点，贝J实数机的取值范围是（）

A.（0,1）B.（一双-1）

c.（-co,-i）un,y）D.（Y,O）U［I,”）

【答案】C

【解析】依题意函数/⑶=卜'一时一加有且仅有一个零点，即方程|ev-/n|=nr有且仅

有一，个实数解，

即函数y=卜'一司图象与直线广外有且仅有一个交点.

①当m二0时，函数），=产一〃卜与直线y=>=o无交点，所以m=。不符合题意.

②当机<0时，m>0.函数y=e7=e'-tn与直线y=nr有且仅有一个交点，如图

1，则m2>-m，解得tn<-\.

③当相>0时.T"O.函数y=k'一司与宜线y=加有且仅有一个交点，如图2.

则加2>/〃，解得加21,.

图I图2

综上,故加,T）UU，”）.

故选：C.

二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得6分，三个答案的部分选对每个得2分，两个答案的部分选对

每个得3分，有选错的得。分）.

9.已知数歹」的前〃项和S,=〃2_5〃—3（〃eN*），则下列正确的是（）

又因为AB^AD.=A,u平面ABCI。，

所以A3_L平面ABG。，因为APu平面ABCQI,所以A,OJ,AP,

TT

所以直线”与直线A。所成角为不，故B正确；

直线AB与平面ARC所成的角和直线AC,与平面ARC所成的角不相等，故C错误;

二面角P-AD.-C也就是二面角B-AD.-D大小不变，故D正确.

故选：ABD.

II.已知———=3,下列说法正确的是（）

cosa-sin6?

A.tana=—

4

C.cos2a=——

25

【答案】AC

【解析】因为一任？一=3,当。=色+匕时，一任£一=一1=3,

cosof-sinQ2cos。一sina

所以aw—+kit.kGZ,可得cosaw0,

=3左边分子分母上同乘-----可得.3a二母

cosa-sinacosa1-tana

3

解得tano=一,故A正确;

由tan

1-tana

sina=

联立-------:—=3与sin?a+cos2a=1，解得

cosa—sinar

COSa=

、7

所以cos2a=2cos-a-1=—,故C正确；

25

由cosor=l—2sii?与得sinq=±Jl-c°sa,解得而巳=±典或sin2=土亚，故D

错误.

故选；AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.已知等比数列｛《J满足用一。〃＞0,其前〃项和S“满足S,用一S“＞0,则符合条件

的一个数列的通项公式耳=.

【答案】2'i（答案不唯一，只要填写满足4＞0,且夕＞1的通项公式即可）.

【解析】等比数列｛（｝满足q川-凤＞0,即。2＞为，数列｛4｝为单调递增的等比数

列，又S”+i-S”＞。，即

则符合上述条件的数列｛4｝只要满足q＞0,且。＞1即可，

令4=1,q=2,故〃“=2a.

（答案不唯一，只要填写满足％＞0,且“＞1的通项公式即可）.

故答案为：2〃T.（答案不唯一，只要填写满足q＞。，且。＞1的通项公式即可）.

1r-l

13.已知函数/（x）=（x+—+.）出一〕是偶函数，则。=______________.

XK十I

【答案】0

【解析】由｛H1*0解得fix）的定义域为（fO,T）U（l，田），

x-\

>0

7+T

因为/（A）是偶函数，所以/（-2）=/⑵，即（一5+“山3=吟即-55

(2)

解得。=0.

当〃=0时，告

(iYx+i(iv.x-n(x-\，/、

=-x+-In-=-x+--In=x+-In=/(x),

Ixjx-\Ix八x+\)\x)x+\

此时/（幻是偶函数，所以。=0符合题意.

故答案为：0.

22

14.已知双曲线C：与一与二1（〃＞0力＞0）的左右焦点分别为片，区,过片的直线

a~b~

与C的左支交于A,B两点,且3|打砌=2|匕人|,以线段A3为直径的圆恰好过点K，则。

的离心率为.

【答案】业i

5

【解析】如图,因为析£例=2|耳川,设16Al=3机，ILB|=2m,m>0,则|A5|=5〃z,

由双曲线定义知I入A1=2c+3m,|1=2。+2m,

以线段A3为直径的圆恰好过点工，则A5

由|A02。+1玛5『,得(5w)2=(2m+2a)2+(2a+3w)2，

化简得3m2-5am-2a2=0>即(35+a)(m-2a)=0,

因为3/v+awO,所以〃?-2〃=0,m=2a.

\BF\_8f/_4

在g中,2

\AB\~Wa~5

|A£『+|Ag『一|4月|225a2-/

在/XAf；居中,由余弦定理cosA=

2

2\AFl\-\AF2\24a

四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤）

15.已知数列｛4｝是等差数列，且满足q+%=18,%=13.

（1）求数列｛。“｝的通项公式；

n200

(2)设2=(-1)"”。”，符号表示4+生+〃3+…+4-1+%的和，求Z&.

i=\1=101

解：（1）设等差数列｛q｝的公差为

因为4+%=18,%=於,

2q+8d=184=1

解得

q+64=13d=2

.•・a“=4+(〃-l)d=2〃-l,〃wN".

⑵・.”“二(一1严可，喜二2〃-1,

・・・”=(-1严(2〃-1),

200

b]=bi。]4-4Q2+403+…+byj=(201—203)+(205—207)+…+(397—399)

i=IOI

=-2x50=-l(X).

16.已知抛物线E：=4x的焦点为尸，直线乙：x-my-4=0(〃zeR)与E交于A,

B两点,。为坐标原点，直线A。与直线4：x=-4交于点C.

(1)若I以1+1m1=12,求刑的值;

(2)证明:轴.

⑴解:由题意可知:/(1,0),

设443),B(x2,y2),由抛物线定义知|FA|=%+1,|FB|=X2+1,

^\FA\+\FB\=\2,即内+七+2=12,所以王+七印。.

联立方程,消X得y2—4my—16=0,

x=my+4

则△=(-4/n)2-4xlx(-8)=16(m2+4)>0显然成立，

可得乂+)’2=46，))%=-16,

则为+x,="Ky+y,)+8=4〃?2+8,即4〃?2+8=10，解得机=也或〃？=一立

22

(2)证明：要证Be4入轴，只需证攵8c=仇

k=A=JL=±4

因为°A内片y,则直线。4的方程为y=一孙

4

4

y=〜x—16,即十T

联立方程，y可得)'=—

y

x=-4

由)'跖二-16得%

y

-16士____-_1_6

所以_一--J_n»所以轴.

=-=-------：-----=U

-4一/-4-X2

17.已知。，b,c,分别为VABC三个内角AB,C的对边，且acosB+GisinB=8+c.

(1)求A：

(2)若。=26，求△H8C周长的取值范围.

解：(1)因acosB+GasinB=Z?+c，由正弦定埋得：

sinAcos/?+V5sinAsin=sin+sinC，则sin4cosB+6sinAsin8=sinB+sin(A+B)，

即sinAcos3+GsinAsinB=sinB+sinAcosB+cosAsinB，

即GsinAsinB-cosAsinB=sinB

因sin0,所以GsinA-cosA=1，即2sin(A-?=1,UPsinA--1,

kojI6)2

Lie.LL…兀,兀5兀LL,、I,兀兀,,4兀

因0<A<7i,所以—<A—<—,所以A—=—,故4=一.

666663

(2)记VA8C周长为L,则L=a+Z?+c,因〃=2>/J，acosB+gasin3=/?+。，

所以〃+c=2G(cos8+Gsin3)=4Gsi]】M+e,所以L=++，

^0<B<—,所以工+二<型，所以!vsin(8+m]«l,

366621

故46<26+4Gsin(K+弓上，则周长£的取值范围为(4后,6同

71

18.如图1,平面四边形48co中，AB=AC=BC,A£>=8且N4。。二一，现将△

2

ACO沿AC折起，使得=如图2.

(1)证明：平面ACO_L平面ABC；

(2)点E在线段上，平面ACE把三棱锥B—ACD分成体积相等的两部分，求二面

角C-4E-。的余弦值.

(1)证明：由题设可得，AD=DC.

又/4DC=90。，

取AC的中点。，连接。。，BOMlX）±AC,DO=AO,

又因为△A8C是正三角形，所以8O_LAC,

所以ZDOB为二面角D-AC—B的平面角.

在Rt^AQB中，BO2+AO2=AB2，

又OO=AO,BD=AB，所以5。2+0。2=。62，

故NDOB=90°.所以平面ADC1平面ABC.

（2）解：由题设及（1）知，OB,。。两两垂直，

以O为坐标原点，面的方向为x轴正方向，|函|为单位长度，建立如图所示的空间直角

图2

则41,0,0),B(0,A0),C(-L0,0),皿(0,0,1),

由题设知，四面体ABC石的体积为四面体4BC力的体积的;，从而E到平面ABC的距离

为。到平面A8C的距离的会，

即E为班）的中点,得国0,3一）.故而=（TOD，=（-2,0,0）,AE=

2222

设n=（xp）\,Z］）是平面DAE的法向量,

-内+Z]=0

万•而5=0

则〈

万•“二（）'61A

_内+]4=0

可取〃=(1,等,1).

设=（毛,K,Zi）是平面AEC的法向量,

-2X=0

nAC=02

则_即〈731八，

nAE=0一七+三月+/=0

可取而=(0,—1,6).

则c°s（〃，加=部=立.

7

由图知二面角C—AE-。为锐角，所以二面角C-4E-力的余弦值为—.

7

7-1v22

19.已知4一2,0)和8(6：)是椭圆C：J+v'=1(a>〃>0)上的两点，过点。。,0)

2a2b2

（2）若AAMN的面积为《，求直线/的方程；

（3）在％轴上是否存在点P,使ZMPD=/NPD,若存在求出点P坐标，若不存在，请

说明理由.

W：（1）由题设知。=2,因3（0，!）在。上，所以（/）2//,